第2章 2.5.1 第2课时 椭圆及其标准方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆及其标准方程的综合问题，系统梳理椭圆方程的设法（待定系数法、共焦点方程）、定义的应用（焦点三角形面积与周长）、轨迹问题（定义法、相关点法），构建“基础-应用-拓展”的学习支架。 以生活轨迹现象为导语培养数学眼光，通过焦点三角形计算、轨迹方程推导等实例训练推理能力，规范解题步骤培养数学语言。课中助力教师高效教学，课后通过跟踪训练与对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　椭圆及其标准方程的综合问题 学习目标　1.熟练掌握椭圆的定义和椭圆标准方程的特点.2.会求与椭圆有关的轨迹方程. 导语 生活中我们处处可见轨迹的影子. 例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹.研究与椭圆有关的轨迹问题及其综合问题是本节的重点，下面就让我们共同学习吧！ 一、椭圆的方程的设法 例1　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)以点F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点，经过点P； (2)过点(，－)，且与椭圆＝1有相同焦点； (3)中心在原点，过点(，－2)，和(0，2). 解　(1)设椭圆的标准方程为＝1(m>n>0)，焦距为2c0. 由题意有c0＝1，|PF1|＝， |PF2|＝， 有m＝， n＝＝2， 故椭圆的标准方程为＝1. (2)设所求椭圆方程为＝1(k<9)， 将点(，－)代入， 可得＝1， 解得k＝5(k＝21舍去)， 故所求椭圆的标准方程为＝1. (3)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m，n>0)， 椭圆过点(，－2)，和(0，2)， 则解得 所以椭圆的标准方程为＝1. 反思感悟　(1)求椭圆标准方程的一般步骤 ①定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能. ②设方程：根据上述判断设方程＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). ③找关系：根据已知条件建立关于a，b(或m，n)的方程组. ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求. (2)与椭圆＝1(a>b>0)有相同焦点的椭圆方程为＝1(λ>－b2). 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (2)经过A，B两点. 解　(1)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1，0)， ∵椭圆过点， ∴2a＝＝4， ∴a＝2，b＝， ∴椭圆的标准方程为＝1. (2)设所求的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 把A，B两点代入， 得解得 ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1. 二、椭圆定义的应用 例2　已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝3， 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△F1PF2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝3. 从而|F1F2|＝2c＝6. 在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|. 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝. 所以△F1PF2的面积 S＝·|PF1|·|F1F2|＝××6＝， 即△F1PF2的面积是. 反思感悟　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解. 跟踪训练2　椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为　　　　　　.  答案　120° 解析　∵a2＝9，b2＝2， ∴c＝， ∴|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， ∴|PF2|＝2，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝－， ∴∠F1PF2＝120°. 三、与椭圆有关的轨迹问题 例3　如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程. 解　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|>|CA|. 因为圆C的半径为5， 所以|MC|＋|MA|＝5. 所以M点的轨迹为椭圆，其中2a＝5， 焦点为C(－1，0)，A(1，0)， 所以a＝，c＝1，所以b2＝a2－c2＝－1＝. 所以点M的轨迹方程为＝1. 例3　(课本例2)已知B，C是平面内的两个定点，|BC|＝8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 解　以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示. 由|BC|＝8，可知B(－4，0)，C(4，0).又因为|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，所以|AB|＋|AC|＝10. 从而点A在以B，C为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，又焦距2c＝8，因此a＝5，c＝4.从而b2＝a2－c2＝25－16＝9. 因此点A的坐标必须满足＝1，再注意到因为是三角形，所以A，B，C三点不能共线，因此可知点A的轨迹方程为＝1(y≠0). 反思感悟　求解与椭圆相关的轨迹问题的方法 跟踪训练3　已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是(　　) A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1 C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9 答案　B 解析　设动点M(x，y)，Q(m，n)，∵， ∴化简得 又点Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上， 故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16， 则动点M的轨迹方程是(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1. 1.知识清单： (1)椭圆的方程的设法. (2)椭圆定义的应用. (3)与椭圆有关的轨迹问题. 2.方法归纳：定义法、待定系数法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在求动点轨迹方程时，易忽略是否有需要删除(或增加)的点. 1.已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长等于(　　) A.20 B.10 C.16 D.8 答案　A 解析　因为椭圆的方程为＝1，所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20. 2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.以上均不正确 答案　A 解析　设经过点P和点Q的椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 则解得 ∴所求椭圆方程为＋x2＝1. 3.椭圆＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　D 解析　由椭圆＝1可得a＝5，b＝4， 所以c＝＝3， 令x＝0可得y＝±4，所以P(0，±4)， 所以△PF1F2的面积为×|yP|×|F1F2|＝×4×6＝12. 4.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是　　　　　　.  答案　＝1 解析　设点M的坐标为(x，y)， 点P的坐标为(x0，y0)， 则点D的坐标为(x0，0)，∵， ∴∴ ∵点P在x2＋y2＝4上， ∴＝4，∴x2＋＝4， ∴点M的轨迹方程是＝1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知椭圆C经过点A(－5，0)，B(0，4)，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　因为椭圆C经过点A(－5，0)，B(0，4)， 所以a＝5，b＝4，且焦点在x轴上， 所以椭圆的方程为＝1. 2.已知点F为椭圆C：＝1的右焦点，点P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点，则|PF|等于(　　) A.2 B.4 C.6 D.2 答案　A 解析　由题意，点F为椭圆C： ＝1的右焦点， 则F(2，0)，左焦点为F1(－2，0)， 圆(x＋2)2＋y2＝16的圆心坐标为(－2，0)， 半径为4， 可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点， 又由P为椭圆C与圆(x＋2)2＋y2＝16的一个交点， 根据椭圆的定义可得 |PF|＋|PF1|＝2a＝6，|PF1|＝4， 所以|PF|＝2a－|PF1|＝6－4＝2. 3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＝1(x≠0) B.＝1(x≠0) C.＝1(x≠0) D.＝1(x≠0) 答案　B 解析　由△ABC的周长为20， 且顶点B(0，－4)，C(0，4)， 可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|， 所以顶点A的轨迹为椭圆， 其中2a＝12，2c＝8，所以a＝6，c＝4. 所以b2＝36－16＝20，方程为＝1. 因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线， 所以x≠0， 故点A的轨迹方程为＝1(x≠0). 4.P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　A 解析　由椭圆的定义得 |PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40， 在△F1PF2中， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝， ∵0°<∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2＝60°. 5.已知椭圆C：＝1的右焦点为F，点P在椭圆上，若|PF|＝，则点P的横坐标为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　D 解析　因为椭圆C：＝1， 所以a2＝3，b2＝2，所以c2＝1，所以F(1，0)， 设P(x0，y0)， 则|PF|＝， 又＝1，解得x0＝或x0＝， 而－≤x0≤，所以x0＝. 6.若椭圆＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(　　) A.64 B.16 C. D. 答案　C 解析　由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20， |F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝， ∴|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 7.(5分)已知椭圆＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是　　　　.  答案　4 解析　设椭圆的另一个焦点为E， 则|MF|＋|ME|＝10， 又∵|MF|＝2， ∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线， ∴|ON|＝|ME|＝4. 8.(5分)设F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则△PF1F2是　　　　　　三角形.  答案　直角 解析　因为椭圆的方程为＝1， 所以a＝2，b＝，c＝＝1， 由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 因为点P到两个焦点的距离之差为1， 不妨设|PF1|>|PF2|，由题意可得|PF1|－|PF2|＝1， 则|PF1|＝，|PF2|＝， 因为|F1F2|＝2c＝2， 所以， 所以△PF1F2为直角三角形. 9.(10分)已知圆C1：x2－4x＋y2＝0和圆C2：x2＋4x＋y2－60＝0. (1)过点A(4，3)作圆C1的切线，求此切线的方程；(5分) (2)动圆M在圆C2的内部，并且与圆C2内切，与圆C1外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程.(5分) 解　(1)圆C1的圆心为C1(2，0)，半径为r1＝2， 当切线斜率不存在时，显然x＝4满足要求； 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为y－3＝k(x－4)， 即kx－y－4k＋3＝0， 所以圆心(2，0)到切线的距离等于半径2， 即＝2⇒k＝， 则切线方程为5x－12y＋16＝0， 综上，切线方程为5x－12y＋16＝0或x＝4. (2)圆C2的圆心为C2(－2，0)，半径为r2＝8，设M(x，y)，动圆M的半径为r， 所以|MC1|＝2＋r，|MC2|＝8－r⇒|MC1|＋|MC2|＝10>4＝|C1C2|， 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 所以a＝5，c＝2，b＝， 所以M的轨迹方程为＝1. 10.(11分)已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程；(5分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.(6分) 解　(1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±. 又＝1，所以，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为，，，. 11.已知椭圆C：＝1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足，则||等于(　　) A.6 B.4 C. D.2 答案　B 解析　设椭圆C的右焦点为F2，连接PF，PF2，取PF的中点为N，如图所示， 由椭圆定义可知|PF|＋|PF2|＝2a＝12，又|PF|＝8，可得|PF2|＝4. 易知＝2，所以||＝2||， 又因为O为FF2的中点， 所以ON∥PF2，且|ON|＝|PF2|＝2， 可得||＝4. 12.(多选)已知P为椭圆C：x2＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆C的上焦点和下焦点，若P，F1，F2构成直角三角形，则P点坐标可能是(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　椭圆C：x2＋＝1的焦点F1(0，)，F2(0，－)，设P(x，y)， 由△PF1F2为直角三角形，则直角可能为∠F1PF2，∠PF1F2，∠PF2F1， 若∠PF1F2为直角，则P(x，)， 由x2＋＝1，得P； 若∠PF2F1为直角，则P(x，－)， 由x2＋＝1，得P； 若∠F1PF2为直角，则P(x，y)在圆x2＋y2＝3上， 由解得P， 所以P点坐标可能是A，D. 13.(多选)已知P是椭圆E：＝1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(＋1) D.△F1PF2的内切圆半径为 答案　CD 解析　由已知得a＝2，b＝2，c＝2. F1(－2，0)，F2(2，0) 不妨设P(m，n)，m>0，n>0， 则·2c·n＝3，解得n＝， ∴＝1，解得m＝， ∴P， ∴|PF1|2＝＋2， |PF2|2＝－2， ∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝×2－16＝>0， ∴cos∠F1PF2＝>0， ∴∠F1PF2<，故A，B错误； △F1PF2的周长＝2a＋2c＝4＋4，故C正确； 设△F1PF2的内切圆半径为r， 则(4＋4)r＝3，∴r＝，故D正确. 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆＝1上，则＝　　　　.  答案　 解析　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3. ∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)， 顶点B在椭圆＝1上， ∴|BC|＋|AB|＝2a＝10， ∴由正弦定理可知 . 15.(5分)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P为C上一点，若△PF1F2的内切圆的直径为2，则||PF1|－|PF2||＝　　　　　　.  答案　2 解析　设椭圆的半焦距为c，△PF1F2内切圆的半径为r， 由题可得c＝＝4，r＝1，|PF1|＋|PF2|＝10， 所以△PF1F2的面积S＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝×(10＋8)×1＝9. 设∠F1PF2＝α(0<α<π)，则S＝|PF1|·|PF2|sin α＝9， 在△PF1F2中，由余弦定理得－2|PF1|·|PF2|cos α， 得64＝－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos α＝100－2|PF1|·|PF2|(cos α＋1)， 即|PF1|·|PF2|(cos α＋1)＝18， 由 解得 所以－4|PF1|·|PF2|＝100－72＝28. 所以||PF1|－|PF2||＝2. 16.(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程. 解　圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16， 点A的坐标为(－1，0)， 如图所示， 因为|AD|＝|AC|， 所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2. 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1，所以a2＝4，b2＝3， 所以点E的轨迹方程为＝1(y≠0). 学科网（北京）股份有限公司 $