第2章 2.5.2 第1课时 椭圆的几何性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，承接椭圆标准方程，通过问题引导、表格梳理（对比焦点在x轴和y轴的范围、对称性等）、例题解析及跟踪训练构建学习支架，系统讲解范围、对称性、顶点、离心率等性质及应用。 以问题驱动学生用数学眼光观察椭圆特征，通过焦点位置分类讨论培养数学思维的推理能力，用表格精确呈现性质体现数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后课时对点练帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

2.5.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 学习目标　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆的标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 导语 类比利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质，我们可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括范围、形状、大小、对称性和特殊点等. 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0，0) 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)中心O既是长轴中点又是短轴中点，也是F1F2的中点. (3)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (4)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度. 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆. 知识梳理 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比e＝称为椭圆的离心率，e∈(0，1). 当e越趋近于1时，椭圆越扁. 当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆. 注意点：e＝. 例1　求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1)＝1； (2)4x2＋y2＝16. 解　(1)由椭圆方程知，a＝，b＝，c＝＝1，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2，离心率为， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－)，(0，)，焦点坐标为(－1，0)，(1，0). (2)椭圆方程可变形为＝1， 所以a＝4，b＝2，c＝＝2，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，(0，－4)，(0，4)，焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 例1　(课本例1)求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)＝1；(2)8x2＋3y2＝24. 解　(1)由36>24可知这个椭圆的焦点在x轴上，且a2＝36，b2＝24，因此长轴长2a＝12，半短轴长b＝2. 又因为c2＝a2－b2＝36－24＝12，即c＝2.因此，椭圆的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 离心率e＝. (2)已知椭圆的方程可化为＝1， 由8>3可知这个椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3，因此长轴长2a＝4，半短轴长b＝. 又因为c2＝a2－b2＝8－3＝5，即c＝.因此，椭圆的焦点坐标为(0，－)，(0，).离心率 e＝. 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 跟踪训练1　已知椭圆C1：＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质. 解　(1)由椭圆C1：＝1，可得其半长轴长为10，半短轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)， 短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12； ⑤离心率：e＝. 二、由几何性质求标准方程 例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； (3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，0). 解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＝1. (2)由已知得 ∴从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为 ＝1或＝1. (3)依题意得a＝3b， 若点(3，0)为长轴端点，则a＝3，b＝1， 椭圆方程为＋y2＝1， 若点(3，0)为短轴端点，则b＝3，a＝9， 椭圆的方程为＝1， 综上，所求椭圆的标准方程为 ＋y2＝1或＝1. 反思感悟　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是 跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； (2)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2； (3)过点M(1，2)，且与椭圆＝1的离心率相同. 解　(1)当焦点在x轴上时， 设椭圆方程为＝1(a>b>0). 依题意有 解得 ∴椭圆的标准方程为＝1. 同理可求出当焦点在y轴上时， 椭圆的标准方程为＝1. 故所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. (2)椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为＝1， 焦点坐标为(0，±)，即c＝， 又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6， 故所求的椭圆方程为x2＋＝1. (3)设所求椭圆方程为 ＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＝k1 或＝k2，解得k1＝，k2＝， 故或， 即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. 三、椭圆的离心率 例3　设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　　　.  答案　 解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±， 所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac， 等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去). 延伸探究　若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 解　如图， 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°， ∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有， ∴， ∴e＝. 例3　(课本例2)已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，求椭圆C的离心率. 解　因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c，所以依据题意可知a＝2c，从而有e＝. 反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围. 跟踪训练3　设e是椭圆＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A.(0，3) B. C.(0，3)∪ D.(0，2) 答案　C 解析　当k>4时，c2＝k－4， 由条件知<<1，解得k>； 当0<k<4时，c2＝4－k， 由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C. 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的简单几何性质求椭圆方程. (3)椭圆的离心率. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：(1)焦点位置不确定时应讨论焦点在x轴上和y轴上两种情况. (2)对含有a，c的齐次方程或不等式，不会转化为关于离心率e的方程或不等式求解. 1.椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A.7，2， B.14，4， C.7，2， D.14，4， 答案　B 解析　将椭圆方程化为标准形式＝1， 其中b＝2，a＝7，c＝3. 所以长轴长、短轴长、离心率依次为14，4，. 2.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　由题意知c＝3，，则a＝6， ∴b2＝a2－c2＝27，∴椭圆的方程为＝1. 3.已知椭圆＝1(a>b>0)的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题设，焦点三角形的周长为2(a＋c)，面积为bc， 又其内切圆半径为， 所以bc＝××2(a＋c)＝⇒2c＝a⇒e＝. 4.若椭圆C：＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为　　　　.  答案　2 解析　∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1， 由于＝1表示的是椭圆， 则m>1，∴m＝2， 则椭圆方程为＝1， ∴a＝，2a＝2. 故长轴长为2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　) A. B.2 C. D.4 答案　C 解析　椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以＝2，所以m＝. 2.已知椭圆＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是(　　) A.(±，0) B.(0，±) C.(±，0) D.(0，±) 答案　A 解析　在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴于点(2，0)，交y轴于点(0，1)， 依题意得a＝2，b＝1，则c＝，显然，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点坐标是(±，0). 3.焦点在x轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　依题意得c＝2， a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.∴椭圆的方程为＝1. 4.曲线＝1与＝1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 答案　B 解析　曲线＝1的焦距为2c＝8，而曲线＝1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同. 5.已知椭圆＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，且|OA|＝|OB|(O为坐标原点)，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意可知a＝b，即， 所以该椭圆的离心率e＝. 6.(多选)若椭圆＝1的离心率为，则k的值为(　　) A. B.－3 C.3 D. 答案　AB 解析　若焦点在x轴上， 则＝1－，∴k＝； 若焦点在y轴上，则，∴k＝－3. 7.(5分)已知椭圆的半短轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为　　　　.  答案　(2，4] 解析　∵e＝， b＝1，0<e≤， ∴≤， 则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 8.(5分)在平面直角坐标系中，椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝　　　　.  答案　 解析　如图，切线PA，PB互相垂直， 又半径OA垂直于PA， 所以△OAP是等腰直角三角形，a. 解得，则离心率e＝. 9.(10分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 解　椭圆方程可化为＝1，m>0. ∵m－>0，∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝，得， ∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为，，四个顶点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，. 10.(11分)如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(5分) (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程.(6分) 解　(1)若∠F1AB＝90°， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1，得＝1， 即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 11.(多选)若椭圆绕其对称中心旋转90°，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”.下列方程所表示的椭圆是“对称椭圆”的有(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　AC 解析　因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点， 所以2b＝2c，即b＝c， 对于A，a2＝6，b2＝3，则c2＝a2－b2＝3，所以b＝c，所以A正确； 对于B，a2＝12，b2＝8，则c2＝a2－b2＝4，所以b≠c，所以B错误； 对于C，a2＝10，b2＝5，则c2＝a2－b2＝5，所以b＝c，所以C正确； 对于D，a2＝5，b2＝3，则c2＝a2－b2＝2，所以b≠c，所以D错误. 12.椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a， |PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 13.如图，过点P分别作平面α，β，γ截圆柱得到椭圆C1，C2，C3.其中，椭圆C1，C3所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，它们的大小关系为(　　) A.e1>e2>e3 B.e1＝e2>e3 C.e1＝e3>e2 D.e2>e1＝e3 答案　C 解析　方法一　设椭圆C1，C2，C3的长轴长分别为2a1，2a2，2a3，短轴长分别为2b1，2b2，2b3，焦距分别为2c1，2c2，2c3，由题意得a1＝a3>a2，b1＝b2＝b3，则e1＝，e2＝，e3＝，由a1＝a3>a2，b1＝b2＝b3得，<，故e1＝e3>e2. 方法二　根据椭圆的扁平程度确定离心率，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆，由此可得e1＝e3>e2. 14.(5分)焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C2与椭圆C1：＋y2＝1的离心率相同，且C1，C2在第一象限内公共点的横坐标为1，则C2的方程为　　　　　　.  答案　＝1 解析　椭圆C1中，a＝，c＝＝1， 故椭圆C1的离心率为， 在＋y2＝1中，令x＝1，得y＝±， 故C1，C2在第一象限内公共点的坐标为， 设C2：＝1(a1>b1>0)， 将代入可得＝1， 又，解得，， 故C2的方程为＝1. 15.已知F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，P是椭圆E上一点，PF1与y轴交于点M.若|OP|＝|OF1|，|MF1|＝，则椭圆E的离心率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 答案　B 解析　连接PF2(图略)， 由|OP|＝|OF1|，得|OP|＝|F1F2|， 则PF1⊥PF2，易得△PF1F2∽△OF1M， 则， 即， 解得|PF1|＝， 则|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－， 因为PF1⊥PF2，所以， 即＝4c2， 整理得72c4－85a2c2＋25a4＝0， 则72e4－85e2＋25＝0，解得e2＝或e2＝， 故e＝或e＝. 16.(12分)设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(4分) (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.(8分) 解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4， 得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a＝16， |AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，k>0，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)， 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0， 故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2， 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝. 学科网（北京）股份有限公司 $