第2章 2.5.1 第1课时 椭圆的标准方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的标准方程核心知识点，从圆的定义实验过渡，通过细绳固定两点画轨迹抽象出椭圆定义（平面内到两定点距离和为2a且2a>|F1F2|），推导焦点在x轴、y轴的标准方程（x²/a²+y²/b²=1与y²/a²+x²/b²=1，a²=b²+c²），并结合例题应用定义与方程解决问题。 以“嫦娥二号”卫星轨道为导语，用实验操作抽象椭圆几何条件，培养数学眼光与几何直观。推导过程逻辑严谨，例题融入彗星轨道等现实情境，提升数学思维与表达能力。课中辅助教师引导探究，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.5.1　椭圆的标准方程 第1课时　椭圆的标准方程 学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 导语 “嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像.“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，那么椭圆到底有怎样的几何特征，我们该如何研究椭圆呢？就让我们开始今天的探究之旅吧！ 一、椭圆的定义 问题1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 知识梳理 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. 注意点：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，则对应的点的轨迹分别如下表： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 例1　已知点A(－1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝1，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在 答案　D 解析　由题设知|PA|＋|PB|＝1<|AB|＝2， 则动点P的轨迹不存在. 反思感悟　椭圆定义的理解 (1)椭圆定义中包含一动点和两定点. (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离. 跟踪训练1　下列说法中正确的是(　　) A.到点M(－4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0，－4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C.到点M(－4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆 D.到点M(0，－4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案　C 解析　由椭圆定义知，C正确. 二、椭圆的标准方程的推导 问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求方程. 提示　观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c，0)和F2(c，0). 根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.因为|MF1|＝，|MF2|＝， 所以＝2a. ① 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－. ② 对方程②两边平方，得 (x＋c)2＋y2＝4a2 －4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a， ③ 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＝1， ⑤ 由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0， 所以a2－c2>0. 令b＝，那么方程⑤就是＝1(a>b>0). ⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程. 问题3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示　＝1(a>b>0). 知识梳理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 a>b>0，a>c>0，a2＝b2＋c2 注意点：(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁对应的坐标轴上. 三、求简单的椭圆的标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以所以 所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知， 2a＝ ＋ ＝2，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. (3)①当椭圆焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0). 依题意，有解得 由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0). 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 例2　(课本例1)分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8； (2)两个焦点分别是F1(0，－4)，F2(0，4)，并且椭圆经过点(，－). 解　(1)由已知得2a＝8，因此a＝4. 又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝42－32＝7， 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为＝1(a>b>0). 由已知得c＝4.又因为c2＝a2－b2，所以a2＝b2＋16. 因为点(，－)在椭圆上， 所以＝1，即＝1. 从而有＝1， 解得b2＝4或b2＝－12(舍去). 因此a2＝4＋16＝20， 从而所求椭圆的标准方程为＝1. 反思感悟　求椭圆的标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解. 跟踪训练2　(1)已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　由题意可得解得 故椭圆的方程为＝1. (2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0，4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　依题意，得c＝4，且焦点在y轴上， 又∵2a＝10，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9， 故所求椭圆的标准方程为＝1. 1.知识清单： (1)椭圆的定义. (2)椭圆的标准方程. (3)椭圆定义及标准方程的简单应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区： (1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视. (2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况. (3)易忽视条件中椭圆定义的使用. 1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案　D 解析　∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|， ∴动点M的轨迹是线段. 2.若椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　因为椭圆的焦点在x轴上且其图象经过点(－4，0)，焦距为6， 设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， 所以a＝4，2c＝6，则c＝3，b2＝a2－c2＝7， 椭圆的标准方程为＝1. 3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A.(0，＋∞) B.(0，2) C.(1，＋∞) D.(0，1) 答案　D 解析　∵方程x2＋ky2＝2，即＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<k<1. 4.动点P(x，y)的坐标满足＝8，则点P的轨迹为　　　　.  答案　椭圆 解析　设A(2，0)，B(－2，0)，则表示|PA|，表示|PB|， 又|AB|＝4，所以|PA|＋|PB|＝8>4， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.点P为椭圆＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A.13 B.1 C.7 D.5 答案　D 解析　由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5. 2.椭圆＝1的焦点坐标是(　　) A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 答案　C 解析　椭圆的焦点在y轴上， 且a2＝169，b2＝25， 所以c2＝a2－b2＝144， 所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12). 3.(多选)使方程＝1表示椭圆的m的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.0 答案　BCD 解析　∵方程＝1表示椭圆， 则解得－1<m<5且m≠2. 4.已知椭圆C1：＝1的两个焦点与椭圆C2：＝1(m>0)的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m等于(　　) A. B. C.7 D.5 答案　A 解析　根据题意，椭圆C1的两个焦点为(3，0)，(－3，0)， 椭圆C1的两个焦点与椭圆C2的两个焦点构成正方形的四个顶点，所以椭圆C2的两个焦点为(0，3)，(0，－3)， 所以16－m2＝9，且m>0，解得m＝. 5.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1或＝1 答案　D 解析　依题意2c＝6，2a＝10， 即a＝5，c＝3，b＝4， 但该椭圆的焦点位置不明确， 故椭圆的标准方程为＝1或＝1. 6.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 答案　AC 解析　当a＝2时，2a＝4<|AB|， 故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8>|AB|， 故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6， B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|， 故点P的轨迹为线段AB，D错误. 7.(5分)设F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　.  答案　＝1 解析　由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，得a＝2， ∴椭圆方程化为＝1. 将A代入，得＝1，解得b2＝3. ∴椭圆C的方程为＝1. 8.(5分)已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为　　　　.  答案　＋x2＝1 解析　由已知2a＝8，2c＝2， 得a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 9.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；(5分) (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.(5分) 解　(1)由焦距是4可得c＝2， 且焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 由椭圆的定义知， 2a＝＝8， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＝1. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13， 又c∶a＝5∶13，所以c＝5， 所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为 ＝1或＝1. 10.(10分)设k为实数，若椭圆的方程为＝1，求满足下列条件的k的取值范围. (1)椭圆的焦点在x轴上；(5分) (2)椭圆的焦点在y轴上.(5分) 解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为＝1，∴解得1<k<5， ∴k的取值范围为(1，5). (2)∵椭圆的焦点在y轴上，椭圆的方程为 ＝1，∴解得5<k<9， ∴k的取值范围为(5，9). 11.(多选)彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，某慧星的运行轨道是以太阳中心为一个焦点的椭圆，测得该彗星轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心约4个天文单位，远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则该彗星轨道方程可以为(以“天文单位”为单位)(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　AC 解析　由题意可得a－c＝4，a＋c＝6， 则a＝5，c＝1，b＝＝2， 以近日点与远日点的中心为原点， 当椭圆焦点在x轴上时，椭圆方程为＝1； 当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为＝1，即＝1. 12.椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.± B.± C.± D.± 答案　D 解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)， ∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3， ∵点P在椭圆上，∴＝1， 即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±. 13.椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B(0，2)，且·＝4＋4，则椭圆C的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　C 解析　由已知得F(c，0)，A(a，0)，B(0，2)， 所以·＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4＋4， 所以解得 所以椭圆C的方程为＝1. 14.(5分)设P为椭圆＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是　　　　.  答案　9 解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， |PF1|·|PF2|≤＝9， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时取等号. 15.(多选)方程x2＋y2cos θ＝1表示的曲线可能是(　　) A.一条直线 B.圆 C.椭圆 D.线段 答案　BC 解析　当θ＝0时，则cos θ＝1，可得x2＋y2＝1，即表示的曲线是圆； 当θ＝时，则cos θ＝0，可得x2＝1，即x＝±1，表示的曲线是两条直线； 当θ∈，则cos θ∈，可得>1， 则x2＋y2cos θ＝x2＋＝1，表示的曲线是椭圆. 16.(11分)在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程. 解　以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为＝1(a>b>0). 因为|AB|＝2，|AC|＝， 所以|BC|＝， 则2a＝|AC|＋|BC|＝＝4，2c＝|AB|＝2， 所以a＝2，c＝1， 所以b2＝a2－c2＝3，所以曲线E的方程为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $