第2章 2.4 曲线与方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦“曲线与方程”核心知识点，从已学的直线与二元一次方程对应关系切入，系统构建“曲线的方程”与“方程的曲线”概念，梳理点与方程解的一一对应关系，整合定义法、直接法、代入法三种求曲线方程的方法，以及曲线范围、交点、对称性等性质研究内容，形成完整知识支架。 资料以问题驱动和实例分析为特色，通过“直线与方程对应”的旧知引入培养数学眼光，例题与跟踪训练中概念辨析（如充要条件判断）和分类讨论（如求轨迹方程的不同方法）发展数学思维，用方程精确描述曲线性质体现数学语言。课中助力教师突破概念难点，课后通过分层练习帮助学生巩固方法、查漏补缺。

学习目标　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法. 导语 同学们，前面我们学习了坐标平面上的直线，通过二元一次方程可以定量计算直线的倾斜角、距离、夹角等数量问题，也可以通过二元一次方程组判断直线的平行、垂直，这一切都源于二元一次方程与直线的对应，这种对应就是直线上的点都是二元一次方程的解，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，这实际上就是曲线与方程的对应关系，今天我们对曲线与方程进一步拓展学习. 一、曲线的方程与方程的曲线 问题　请同学们举出我们所学习过的曲线与方程的关系. 提示　一次函数：二元一次方程⇔直线；幂函数、三角函数、对数函数、指数函数等都可以用方程F(x，y)＝0表示.包括我们学习过的几何图形中的点、线、圆，也都可以用二元的方程来表示. 知识梳理 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程. 例1　(1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是(　　) A.方程F(x，y)＝0的曲线是C B.方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线C C.F(x，y)＝0是曲线C的方程 D.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 答案　ACD 解析　“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确. (2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是(　　) 答案　C 解析　由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1， 即y＝故选C. (3)已知方程x2＋(y－1)2＝10. ①判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； ②若点M在此方程表示的曲线上，求m的值. 解　①∵12＋(－2－1)2＝10， ()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上. ②∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， ∴＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－. 反思感悟　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性. (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程. 跟踪训练1　(1)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵y2＝4x⇒y＝2或y＝－2， 故点M在曲线y2＝4x上， 但不一定在曲线y＝－2上， ∴点M的坐标不一定满足方程y＝－2. 反过来，点M的坐标满足方程y＝－2， 则点M一定在曲线y＝－2上， 故也一定在曲线y2＝4x上， ∴“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的必要不充分条件，故选B. (2)方程x＝表示的图形是(　　) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆 答案　D 解析　∵x＝，∴x≥0， 平方得x2＋y2＝1(x≥0)，对应的曲线为半圆. (3)若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2，1)，则k＝　　　　.  答案　3或－2 解析　由定义知，方程的曲线上的点的坐标一定满足曲线的方程，即点P(2，1)满足方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0， 即4＋k2－6－k－4＝0，即k2－k－6＝0， 解得k＝3或k＝－2. 二、求曲线的方程 求动点M轨迹方程的一般步骤： (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 角度1　定义法求曲线的方程 例2　设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过坐标原点O作圆C的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程. 解　设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略). 由圆的性质，知BC⊥OA，记OC的中点为M，则点M的坐标为，连接BM，则|BM|＝|OC|. 所以点B在以点M为圆心，OC为直径的圆上， 故点B的轨迹方程为＋y2＝(x≠0). 反思感悟　如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. 角度2　直接法求曲线的方程 例3　已知平面上两定点A，B，|AB|＝2a(a>0)，平面上一动点M到A，B的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程. 解　以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略).设A(a，0)，则B(－a，0)，设M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则|MA|＝2|MB|. 由距离公式，得＝2， 两边平方化简，得3x2＋3y2＋10ax＋3a2＝0，即＋y2＝a2为动点M的轨迹方程. 反思感悟　直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 角度3　代入法(相关点法)求曲线的方程 例4　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程. 解　设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点， 所以则 又因为点M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，化简得＋y2＝， 所以P点的轨迹方程为＋y2＝. 反思感悟　代入法(相关点法)求解曲线方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”. 跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得 x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 三、根据方程研究曲线的性质 讨论曲线的性质一般从以下几个方面入手 曲线的组成和范围 由哪些基本曲线组成和求得曲线的大致范围 曲线与坐标轴的交点 令x＝0，y＝0求出曲线与坐标轴的交点坐标 曲线的对称性 如用－y代替y后方程不变，则曲线关于x轴对称；用－x代替x后方程不变，则曲线关于y轴对称；同时用－x代替x，－y代替y后方程不变，则曲线关于原点对称 研究曲线的变化趋势 y随x的增大或减小的变化情况 根据方程画出曲线的大致形状 通过列表、描点先画出一个象限内的图象，再根据对称性画出全部图象 例5　(多选)已知曲线C：＝1，则下列结论正确的有(　　) A.曲线C与坐标轴无公共点 B.曲线C关于原点对称 C.x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.曲线C与圆x2＋y2＝2有交点 答案　ABC 解析　对于A，因为xy≠0，所以曲线C与坐标轴无公共点，A正确； 对于B，用(－x，－y)替换(x，y)，＝ 1⇔＝1，所以曲线C关于原点对称，B正确； 对于C，因为＝1－>0，所以x2>1，即x的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，C正确； 对于D，联立＝1和x2＋y2＝2，方程组无解，D错误. 反思感悟　利用方程研究曲线性质的一般过程 跟踪训练3　已知曲线C的方程是x4＋y2＝1.关于曲线C的几何性质，给出下列结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y＝x对称； ③曲线C所围成的区域的面积大于π. 其中，所有正确结论的序号是　　　　　.  答案　①③ 解析　将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确； 将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1，与原方程不同，故②错误； 在曲线C上任取一点M(x0，y0)，＝1， 因为|x0|≤1， 所以≤， 所以≥＝1， 即点M在圆x2＋y2＝1上或圆x2＋y2＝1外，故③正确. 故正确结论的序号是①③. 1.知识清单： (1)曲线的方程与方程的曲线的定义. (2)求曲线的方程(动点的轨迹方程). (3)根据方程研究曲线的性质. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：动点的轨迹与动点的轨迹方程是不同的，易忽视，求得方程后易漏掉检验. 1.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为(　　) A.一条直线 B.一条射线 C.一条线段 D.不能确定 答案　B 解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线. 2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是(　　) 答案　D 解析　∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点. 3.曲线y＝与xy＝2的交点是(　　) A.(1，1) B.(2，2) C.直角坐标系内的任意一点 D.不存在 答案　D 解析　联立即1＝2方程无解， 即两曲线无交点. 4.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程为　　　　.  答案　y＝4x2 解析　设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)， 则∴ 又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2＋1， 即2y＋1＝8x2＋1， 即y＝4x2为所求的轨迹方程. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　结合曲线方程的定义易得. 2.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是(　　) A.(0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，7) 答案　CD 解析　由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的横坐标不满足题意，C，D项中的坐标代入满足方程. 3.平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足||＝4，则点P的轨迹是(　　) A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 答案　C 解析　以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－2，0)，B(2，0).设P(x，y)， 则＝2＝2(－x，－y).∴x2＋y2＝4. 4.与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是(　　) A.x2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1(x≠±1) C.y＝ D.x2＋y2＝9(x≠0) 答案　B 解析　设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝， 所以kPA·kPB＝·＝－1. 整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1. 所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1). 5.已知y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.0<a<1或a>1 D.a∈∅ 答案　A 解析　∵a>0，∴y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1. 6.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线 B.到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝－2 C.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点 D.曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0 答案　CD 解析　对于A，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2，0))，所以A错误； 对于B，到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以B错误； 对于C，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2，2)四个点，所以C正确；D显然正确. 7.(5分)两条直线x＋y＋5a＝0与x－y－a＝0的交点在曲线y＝x2＋a上，则实数a＝　　　　.  答案　0或－1 解析　由解得 因为两直线x＋y＋5a＝0与x－y－a＝0的交点在曲线y＝x2＋a上， 所以－3a＝(－2a)2＋a，化为a(a＋1)＝0， 解得a＝0或a＝－1. 8.(5分)已知P为圆(x＋2)2＋y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为　　　　　　　.  答案　(x＋1)2＋y2＝ 解析　设M(x，y)，P(x1，y1). ∵M为线段OP的中点， ∴即即P(2x，2y). 将P(2x，2y)代入圆的方程(x＋2)2＋y2＝1，可得(2x＋2)2＋(2y)2＝1，即(x＋1)2＋y2＝，此方程为点M的轨迹方程. 9.(10分)已知曲线C1的方程是x2－y＝0，曲线C2的方程是|y|＝|x|，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 解　联立两个方程得方程组 解方程组可得或或 因此C1与C2有三个交点， 且交点坐标为(0，0)，(1，1)，(－1，1). 10.(10分)如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程. 解　以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系， 则O1(－2，0)，O2(2，0). 连接PO1，MO1，PO2，NO2. 由已知|PM|＝|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. 又∵两圆的半径均为1， ∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1). 设P(x，y)， 则(x＋2)2＋y2－1 ＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33. 11.点集Ω＝{(x，y)|(x＋y－1)(y－)＝0}表示的曲线总长度等于(　　) A.2π＋2 B.π＋4 C.π＋2 D.π＋4 答案　C 解析　由题意可知1－x2≥0，解得－1≤x≤1， 因为(x＋y－1)(y－)＝0，则x＋y－1＝0或y－＝0， 若x＋y－1＝0，且－1≤x≤1，表示以(－1，2)，(1，0)为端点的线段，此时表示的曲线总长度为＝2； 若y－＝0，整理得x2＋y2＝1(y≥0)， 表示以O(0，0)为圆心，半径为1的上半圆， 此时表示的曲线总长度为×2π×1＝π， 综上所述，点集Ω表示的曲线总长度等于π＋2. 12.以下曲线方程能表达如图所示的图象的是(　　) A.(x2＋y2)3＝16x2y2 B.(x2＋y2)3＝16x2y3 C.(x2＋y3)3＝16x2y2 D.(x3＋y3)3＝16x2y2 答案　A 解析　由图象知曲线关于两坐标轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形， 当x换成－x，y不变时，D选项方程变为(－x3＋y3)3＝16x2y2，与原方程不相同，D错误； 当y换成－y，x不变时，B选项方程变为(x2＋y2)3＝－16x2y3，与原方程不相同，B错误； 当y换成－y，x不变时，C选项方程变为(x2－y3)3＝16x2y2，与原方程不相同，C错误； 只有A中用－x代替x，y不变或用－y代替y，x不变或同时用－x代替x，－y代替y，方程均不变，满足题意. 13.(多选)在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点A(－2，0)和点B(2，0)连线的斜率之和等于2，则关于曲线C的结论正确的有(　　) A.曲线C是轴对称图形 B.曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外 C.曲线C是中心对称图形 D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2 答案　BC 解析　设P(x，y)，则kPA＋kPB＝2，即＝2(x≠±2)，整理得x2－xy＝4(x≠±2)，所以曲线C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C正确，A错误；由x2－xy＝4(x≠±2)得x≠0，y＝x－，x2＋y2＝2x2＋－8≥8－8>2，故B正确；由B分析可知，x∈R且x≠0，x≠±2，故D错误. 14.(5分)如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　. 答案　x＋2y－5＝0 解析　设点M的坐标为(x，y)， 因为M为线段AB的中点， 所以A点的坐标为(2x，0)，B点的坐标为(0，2y)， 则＝(2x－2，－4)，＝(－2，2y－4)， 因为l1⊥l2，所以·＝0， 则－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 整理得x＋2y－5＝0， 所以点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0. 15.已知曲线C：＝a(x2－y2)(a>0)是双纽线，则下列结论正确的是(　　) A.曲线C的图象不关于原点对称 B.当a＝9时，曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点) C.当a＝9时，若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.当a＝4时，若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(－∞，－1] 答案　C 解析　曲线C的方程是＝a(x2－y2)，a>0，设P(x0，y0)是曲线C上任意一点， 即＝a()， 此方程可变形为＝a[]，所以点(－x0，－y0)也在曲线C上， 而点(－x0，－y0)与点(x0，y0)关于原点对称，所以曲线C上任意一点关于原点的对称点也在曲线C上，从而曲线C关于原点对称，A错误； 当a＝9时，曲线C：＝9(x2－y2)， 令y＝0，则＝9x2，解得x＝±3或x＝0， 令x＝±1，则＝9(1－y2)， 解得y2＝<1， 令x＝±2，则＝9(4－y2)， 解得y2＝<2，故曲线C经过的整点只能是(0，0)，(3，0)，(－3，0)，B错误； 直线y＝kx与曲线C显然有一个交点(0，0)，下面考虑x≠0的情形， 由 得x4＝9(1－k2)x2， 若k2＝1，则x4＝0，x＝0(舍去)， 若k2>1，方程无实数解， 若k2<1，则x＝0(舍去)或x＝±， 综上，直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则k2≥1，即k≤－1或k≥1，C正确； 与C选项解法相同，k≤－1或k≥1，D错误. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(－1，0)，B(9，0)，且点P满足|PA|2＋|PB|2＝82. (1)求点P的轨迹C的方程；(3分) (2)若直线l：xcos θ＋ysin θ－4cos θ－4＝0，θ∈[0，2π)，点Q∉l，求满足条件的所有点Q构成的图形的面积；(4分) (3)过点A作直线l交曲线C于M，N两点，D(5，0)，求△DMN面积的最大值.(5分) 解　(1)设P(x，y)，由|PA|2＋|PB|2＝82可得(x＋1)2＋y2＋(x－9)2＋y2＝82， 化简可得(x－4)2＋y2＝16， 所以点P的轨迹C的方程为(x－4)2＋y2＝16. (2)由题意可得(x－4)cos θ＋ysin θ＝4，θ∈[0，2π)， 因为(x－4)cos θ＋ysin θ∈[－，]， 所以点Q的集合为<4， 即(x－4)2＋y2<42， 所以点Q构成的图形为以(4，0)为圆心，4为半径的圆的内部， 所以面积为S＝π×42＝16π. (3)设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)， 联立 消去x并整理可得(m2＋1)y2－10my＋9＝0， Δ＝100m2－36(m2＋1)＝64m2－36>0， 即m2>， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 由弦长公式可得|MN|＝· ＝· ＝·， 又D(5，0)到直线x＝my－1的距离d＝， 所以S△DMN＝|MN|·d ＝··· ＝， 令t＝，则t>0，则m2＝t2＋， 所以S△DMN＝≤， 当且仅当t＝，即t＝，m＝±时取等号， 所以△DMN面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $