第2章 2.3.2 圆的1般方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本高中数学讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开切入，系统梳理一般方程的定义、表示圆的条件（D²+E²-4F>0）、与标准方程的转化方法，构建从已知到未知的学习支架。 资料通过问题链引导学生用数学眼光观察方程与图形的联系，结合配方推理培养数学思维，以实例教学（如待定系数法求外接圆）提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练和对点练帮助学生巩固查漏。

2.3.2　圆的一般方程 学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 一、圆的一般方程的理解 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 知识梳理 1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其中D，E，F都是常数. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点：(1)二元二次方程表示圆时，需满足x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.x2，y2系数不为1时，要把系数都化为1再判断. 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 例1　(课本例2)判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由： (1)x2＋y2＋4x－6y－12＝0； (2)4x2＋4y2－8x＋4y－15＝0； (3)x2＋y2－6x＋10＝0. 解　(1)原方程可以化为x2＋4x＋4＋y2－6y＋9＝25，即(x＋2)2＋(y－3)2＝25， 所以是圆心坐标为(－2，3)，半径为5的圆的方程. (2)方程两边除以4，得x2＋y2－2x＋y－＝0.将左边配方，得(x－1)2＋＝5，所以是圆心坐标为，半径为的圆的方程. (3)因为原方程可以化为x2－6x＋9＋y2＝－1，即(x－3)2＋y2＝－1，又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义知，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 跟踪训练1　(1)已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　) A.2，4，4 B.－2，4，4 C.2，－4，4 D.2，－4，－4 答案　B 解析　依题意 解得 (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　　　　.  答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　已知点A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 延伸探究　若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？ 解　∵kAB＝，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝－3. 联立方程得 即圆心C的坐标为， r＝， ∴圆C的方程为. 例2　(课本例1)已知A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)是☉P上的三点，求这个圆的方程. 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都是圆上的点，所以它们的坐标都是方程的解，因此可得 解方程组可得D＝6，E＝－2，F＝－15. 因此所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程. 跟踪训练2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程. 解　方法一　(待定系数法) 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将点P，Q的坐标分别代入上式，得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③ 由已知，得|y1－y2|＝4， 其中y1，y2是方程③的根， ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2 ＝E2－4F＝48. ④ 联立①②④，解得或 故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二　(几何法) 由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为 x－y－1＝0， ∴所求圆的圆心在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1). 又圆的半径r＝|CP|＝. ① 由已知得圆截y轴所得的线段长为4，而圆心到y轴的距离为|a|， ∴r2＝a2＋，代入①整理得a2－6a＋5＝0， 解得a＝1或a＝5，∴r＝或r＝. 故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 三、圆的一般方程的综合应用 例3　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1. (1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线C过定点； (3)若曲线C与x轴相切，求k的值. (1)证明　原方程可化为 (x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2. ∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0. 故方程表示圆心为(－k，－2k－5)， 半径为|k＋1|的圆. 设圆心为(x，y)，有 消去k，得2x－y－5＝0. ∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上. (2)证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.上式关于参数k是恒等式， ∴解得 ∴曲线C过定点(1，－3). (3)解　∵圆C与x轴相切， ∴圆心到x轴的距离等于半径， 即|－2k－5|＝|k＋1|. 两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2. 解得k＝5±3. 反思感悟　与圆有关的含有参数的二元二次方程的解题策略 (1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的取值范围，并可求得有关的最值. (2)可化为k(Ax＋By＋C)＋(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0，通过联立方程组求待定系数. 跟踪训练3　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围. 解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0. 即7t2－6t－1<0，解得－<t<1. (2)r＝. 当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大， 对应的圆的方程是. (3)当t2＋1<－7t2＋6t＋1时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0，即0<t<. 1.知识清单： (1)圆的一般方程的定义及其理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的综合应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合法. 3.常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0. 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 所以m>－. 2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，－6 B.－4，－6 C.－4，6 D.4，6 答案　A 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)， ∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6. 3.经过A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)三点的圆的方程为(　　) A.x2＋y2＋x－3y－2＝0 B.x2＋y2＋3x＋y－2＝0 C.x2＋y2＋x＋3y＝0 D.x2＋y2－x－3y＝0 答案　D 解析　设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 代入A，B，C三点有 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0. 4.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5， 即圆心的坐标为(2，0). A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形， 而点(2，0)是圆心，故A正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故B正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故C正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故D不正确. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是(　　) A.(1，1)， B.(1，2)， C.(－3，0)，3 D.(－3，0)， 答案　D 2.若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A.－2或2 B.或 C.2或0 D.－2或0 答案　C 解析　x2＋y2－2x－4y＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝，所以a＝2或a＝0. 3.“k>4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆的方程”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆， 则k2＋(k－2)2－4×5>0，解得k<－2或k>4， k>4可以推出x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，满足充分性， x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆不能推出k>4，不满足必要性， 所以“k>4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆的方程”的充分不必要条件. 4.△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，则△ABC外接圆的方程为(　　) A.x2＋y2－4x－2y－20＝0 B.x2＋y2＋4x－2y－20＝0 C.x2＋y2－4x＋2y－20＝0 D.x2＋y2＋4x＋2y－20＝0 答案　A 解析　设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 代入A，B，C三点有 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 5.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆， 又方程可化为＋(y－a)2＝－a2－3a， 故圆心坐标为，r2＝－a2－3a. 又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4<a<0， 故该圆的圆心在第四象限. 6.(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m2＝0外，则下列m的取值范围中满足条件的有(　　) A.m>0 B.－<m<0 C.－<m< D.0<m< 答案　BD 解析　方程x2＋y2－x＋y＋m2＝0可化为－m2， ∴－m2>0，即－<m<， 又点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m2>0， 即m2>0，∴m≠0， 综上有－<m<且m≠0. 7.(5分)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点A'仍在该圆上，则a＝　　　　.  答案　 解析　依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上， 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， ∴圆心为(－1，2)，代入直线x－ay＋2＝0， 得a＝. 8.(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为　　　　　　　　.  答案　x2＋y2－4x－5＝0 解析　设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)， 由题意可得， 解得a＝2(a＝－2舍去)， 所以圆C的半径为＝3， 所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 9.(10分)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程. 解　圆心C的坐标为， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－1＝0，即D＋E＝－2. ① 又r＝，所以D2＋E2＝20. ② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－<0，－>0， 即D>0，E<0，所以 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 10.(11分)已知在△ABC中，A(1，1)，B(2，4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称. (1)求直线l的方程；(4分) (2)求△ABC外接圆的方程.(7分) 解　(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0， ∵直线l经过点B(2，4)， ∴2－4＋c＝0，∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1， 即＝－1， ① 又∵线段AC的中点D在直线l上，即＋2＝0， ② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1，3)， 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1，1)，B(2，4)，C(－1，3)都在圆上， ∴解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. 11.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 12.(多选)已知三角形的三个顶点分别为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)，则(　　) A.边MN的垂直平分线的方程是3x＋y－9＝0 B.△OMN的面积为1 C.△OMN外接圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25 D.△OMN外接圆的圆心坐标为(－4，3) 答案　ABC 解析　对于A，因为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)， 所以kMN＝，MN的中点为， 所以边MN的垂直平分线的方程为y－＝－3，即3x＋y－9＝0，故A正确； 对于B，|MN|＝， 边MN所在直线方程为y－1＝(x－1)，即x－3y＋2＝0， 则顶点O到边MN的距离为d＝， 所以△OMN的面积为|MN|·d＝××＝1，故B正确； 对于C，D，设△OMN外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 所以解得 所以△OMN外接圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，化为标准方程得(x－4)2＋(y＋3)2＝25， 所以△OMN外接圆的圆心坐标为(4，－3)，故C正确，D错误. 13.(5分)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　(x－8)2＋y2＝36(y≠0) 解析　设C(x，y)(y≠0)， 则D. ∵B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3， ∴＝9， 即(x－8)2＋y2＝36(y≠0). 14.(5分)当m变化时，圆x2＋y2＋(m＋2)x＋y－2＝0恒过定点　　　　　　　　　.  答案　(0，－2)和(0，1) 解析　方程x2＋y2＋(m＋2)x＋y－2＝0可化为(x2＋y2＋2x＋y－2)＋mx＝0.由得所以定点坐标是(0，－2)和(0，1). 15.(5分)已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为　　　　.  答案　－2 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在x，y轴上运动. (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；(4分) (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于点M，直线PA2交直线l于点N，求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标.(8分) 解　(1)设G(x，y)， 由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)， ∴|EF|＝＝2， 整理得x2＋y2＝1， ∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为 x2＋y2＝1. (2)由已知不妨取A1(－1，0)，A2(1，0)， 设P(x0，y0)，x0≠±1， ＝1， 直线PA1的方程为y＝(x＋1)， 令x＝3，得y＝， 则M， 同理，可求N， MN的中点坐标为， |MN|＝＝2， ∴以MN为直径的圆的方程为 (x－3)2＋. 令y＝0， 得(x－3)2＝－ ＝＝8. ∴x＝3±2，∴该圆总过定点， 定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0). 学科网（北京）股份有限公司 $