第2章 2.3.4 圆与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、内含、相交、外切、内切五种位置关系，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（判别式）进行判定，同时涵盖公切线条数、相交弦方程及长度计算、综合应用等内容，构建从直线与圆位置关系到圆与圆位置关系的知识迁移支架。 该资料以日食现象引入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过表格对比几何法与代数法培养推理能力，如例1通过配方求圆心半径并利用圆心距判断位置关系。课中例题解析助力教师突破重难点，课后课时对点练覆盖不同题型，帮助学生用数学语言表达问题，强化知识应用与查漏补缺。

2.3.4　圆与圆的位置关系 学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生，日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食. 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 一、两圆位置关系的判断 1.圆与圆的位置关系及判断 位置关系 相离 相交 相切 外离 内含 外切 内切 图示 交点个数 0 0 2 1 1 判定方法 几何法 d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| 代数法 Δ<0 Δ<0 Δ>0 Δ＝0 Δ＝0 说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式. 2.两圆的公切线 同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线.当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不同.具体情况如下表： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 切线图示 切线条数 4 3 2 1 0 注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. 例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 解　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 例1　(课本例1)分别判断下列两个圆的位置关系： (1)C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2； (2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0. 解　(1)由方程可知圆C1的圆心为(1，0)，半径r1＝2；圆C2的圆心为(2，－1)，半径r2＝. 因此两圆的圆心距d＝， 又因为2－<<2＋，所以r1－r2<d<r1＋r2，从而两个圆相交. (2)将两圆的方程化为标准方程，分别为 x2＋(y－1)2＝12，(x－)2＋y2＝32， 由此可知圆C1的圆心为(0，1)，半径r1＝1；圆C2的圆心为(，0)，半径r2＝3. 因此两圆的圆心距d＝＝2， 又因为3－1＝2，所以r2－r1＝d，从而可知两圆内切. 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. 跟踪训练1　(1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　) A.1或3 B.4 C.0 D.2 答案　D 解析　对两个圆的方程配方得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝， 则圆心距d＝|C1C2|＝， 因为1－<<1＋， 故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条. (2)圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为　　　　.  答案　外切 解析　两圆的圆心分别为O1(－2，2)，O2(2，5)， 半径分别为r1＝1，r2＝4， 所以|O1O2|＝＝5＝r1＋r2， 所以两圆相外切. 二、相交弦问题 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心C1(－3，0)，半径r1＝， ∴圆心C1到直线AB的距离d＝， ∴|AB|＝2＝2×＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心坐标为(a，b)， 因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则， 解得a＝，故所求圆的圆心坐标为， 半径为. 故所求圆的方程为. 反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 跟踪训练2　已知圆M：x2＋与圆x2＋y2＝m的公共弦经过点M，则m等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为圆M：x2＋的圆心M，圆x2＋y2＝m， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为x2＋y2－3y－4－(x2＋y2－m)＝0，即m－3y－4＝0， 又过点M， 所以m－3×－4＝0，所以m＝. 三、圆与圆的综合性问题 例3　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程. 解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题意知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，且切点为M，故. ② ＝r. ③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为 (x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求圆的方程？ 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 反思感悟　通过直线与圆、圆与圆的位置关系建立数学模型，利用方程思想解决与圆有关的综合性问题. 跟踪训练3　圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)只有一条公切线，则a＋b的最小值为　　　　.  答案　－ 解析　由题意可知两圆内切，又由两圆的标准方程分别为C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1， 可得两圆圆心分别为C1(－a，0)，C2(0，b)，半径分别为2和1. 则＝2－1＝1，所以a2＋b2＝1. 又由(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤1＋a2＋b2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以－≤a＋b≤， 所以a＋b的最小值为－. 1.知识清单： (1)两圆位置关系的判定及应用. (2)相交弦问题. (3)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种情况. 1.圆C1：x2＋y2－1＝0和C2：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案　B 解析　圆C1：x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交. 2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 答案　C 解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标(2，－3)代入，即可排除A，B，D. 3.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　) A.5 B.5 C.10 D.10 答案　D 解析　两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－10＝0， 圆x2＋y2－10x－10y＝0 可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，r＝5. 所以圆心(5，5)到直线4x＋3y－10＝0的距离 d＝＝5， 所求弦长为2＝2＝10. 4.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是　　　　.  答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　) A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 答案　C 解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切. 2.圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴＝1＋，解得a＝16. 3.已知圆A：x2＋(y－3)2＝1与圆B关于直线y＝x对称，则圆B的方程为(　　) A.x2＋y2＝1 B.(x－3)2＋(y－3)2＝1 C.x2＋(y＋3)2＝1 D.(x－3)2＋y2＝1 答案　D 解析　由题意可得，圆A的圆心坐标为(0，3)，圆A和圆B的半径均为1， 设圆心A(0，3)关于直线y＝x的对称点为B(a，b)， 则解得 所以圆B的标准方程为(x－3)2＋y2＝1. 4.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长为(　　) A. B. C.5 D. 答案　A 解析　由题意将圆C1和圆C2的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为 x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1，1)， 其到直线l的距离d＝， 由已知条件知，r2－d2＝(r为圆C3的半径)， 所以弦长为2×. 5.已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2＋x－y－m2＝0(m>0)，若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为(　　) A.3 B.2 C.4 D.1 答案　A 解析　圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0， 化为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，则圆心C1(1，－2)， 两圆方程相减可得3x－5y－m2－4＝0，即为两圆的公共弦所在的直线方程， 因为圆C2平分圆C1的圆周，所以圆心C1(1，－2)在公共弦所在的直线上， 所以3＋10－m2－4＝0，解得m＝3或m＝－3(舍去). 6.(多选)已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－a)2＝9，则下列结论正确的是(　　) A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<－2 B.若圆C1和圆C2外切，则a＝±2 C.当a＝0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切 D.当a＝2时，圆C1和圆C2内含 答案　ABC 解析　圆C1：(x＋2)2＋y2＝1的圆心为C1(－2，0)，半径r1＝1， 圆C2：x2＋(y－a)2＝9的圆心为C2(0，a)，半径r2＝3，所以|C1C2|＝， 若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|＝>r1＋r2＝4，解得a>2或a<－2，故A正确； 若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|＝＝4，解得a＝±2，故B正确； 当a＝0时，|C1C2|＝2＝r2－r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当a＝2时，2＝r2－r1<|C1C2|＝2<r1＋r2＝4，则圆C1和圆C2相交，故D错误. 7.(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是　　　　.  答案　4a2＋b2＝1 解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0， 化为标准方程为 (x＋2a)2＋y2＝4，圆心为C1(－2a，0)，半径为2. 圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1，圆心为C2(0，b)，半径为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆内切， 所以＝2－1＝1， 整理得4a2＋b2＝1. 8.(5分)经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为　　　　　　　　.  答案　x2＋y2－x－y－＝0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1，2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 9.(10分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(5分) (2)求公共弦的长.(5分) 解　(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆心C1(1，－5)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝.又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，r1－r2＝5，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交. (2)方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x＝2y－4， ③ 把③代入②得y2－2y＝0，解得y1＝0，y2＝2， 所以或 所以两圆交点坐标为(－4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 方法二　同方法一得x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆心C1(1，－5)，半径r1＝5， 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为2＝2＝2. 10.(11分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；(6分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.(5分) 解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为C(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在， 即直线为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心C(3，4)到直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2， 解得k＝，所以直线l1的方程为5x－12y＋7＝0. 综上，直线l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设圆心D(a，a＋2). 已知圆C的圆心为C(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D(－1，1)或D(6，8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 11.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A.5 B.1 C.3－5 D.3＋5 答案　C 解析　圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9， 圆心为C1(4，2)，半径为3； 圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为 (x＋2)2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C2(－2，－1)，半径为2， ∴两圆的圆心距|C1C2|＝＝3>5， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3－5. 12.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则圆心距|C1C2|等于(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 答案　C 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为 C1(a，a)，C2(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2， (4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根， 整理得x2－10x＋17＝0， ∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝8. 13.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为O1(1，0)，又kAB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，即线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r1＝1，所以|AB|＝2，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r1＝1，即点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确. 14.(5分)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为　　　　.  答案　4 解析　如图所示，由于☉O与☉O1在点A处的切线互相垂直， 因此OA⊥O1A， 所以|OO1|＝＝5. 又OO1垂直平分线段AB， 设线段AB与x轴的交点为C， 在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|， 所以|AC|＝＝2， 故|AB|＝2|AC|＝4. 15.(5分)为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6 mm(如图所示)，则R＝　　　　mm.  答案　 解析　如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N， 点D为线段OO2与圆O2的交点， 则|DE|＝h＝6，所以|NE|＝10，|O2M|＝10，|O2N|＝10－|DN|＝h＝6， 因为∠O1NO2＝∠OMO2＝90°，∠O1O2N＝∠OO2M， 所以△O1NO2∽△OMO2，所以， 所以，解得R＝. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1的方程为＋y2＝10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程；(5分) (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程.(7分) 解　(1)设圆C2的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 因为圆C1的方程为＋y2＝10， 所以圆C1的圆心坐标为C1， 因为圆C2与圆C1外切于点N， 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y＝－， 所以b＝－， 因为圆C2过点M， 且与圆C1外切于点N， 所以 解得 所以圆C2的方程为x2＋. (2)如图，设直线m的方程为y＝2x＋t(t>0)， 则A，B(0，t)， 因为圆C2的方程为x2＋， 所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点，所以圆心C2到直线m的距离满足 <且t>， 所以<t<， ① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE＝BF，所以EF，AB的中点重合. 所以EF的中点D， 因为C2D⊥EF，C2， 所以·kEF＝－1，即×2＝－1， 解得t＝4满足①式， 所以直线m的方程为y＝2x＋4，即2x－y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $