第2章 2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”第1课时，核心知识点包括直线的方程与方程的直线概念，直线的点斜式方程和斜截式方程。通过从确定直线的条件出发，先建立点斜式方程，再特殊化得到斜截式方程，构建从概念到公式的学习支架。 资料以问题情境驱动学习，通过问题1、2引导学生从几何条件抽象出方程，培养数学眼光。例题涵盖斜率存在与不存在等多种情况，跟踪训练与课时对点练分层设计，强化数学思维与语言表达。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

2.2.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 学习目标　1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义. 导语 同学们，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面间的关系研究几何图形的性质，我们在平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，今天我们来探究直线的方程. 一、直线的方程的概念 问题1　已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一. ①已知l1的斜率不存在；②已知l1的斜率不存在且l1过点A(1，2)；③已知l2的斜率为2；④已知l2的斜率为2且过点B(2，3). 提示　显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都满足方程y－3＝2(x－2)，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上. 知识梳理 如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0. 二、直线的点斜式方程 问题2　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示　 y－y0＝k(x－x0). 知识梳理 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. (3)已知直线过某点，解题时可设点斜式方程，注意讨论直线斜率不存在的情况. 例1　若直线l满足下列条件，求其直线方程. (1)过点(－1，2)且斜率为3； (2)过点(－1，2)且与x轴平行； (3)过点(－1，2)且与x轴垂直； (4)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°. (5)过点(－1，2)且直线的方向向量为a＝(2，－1). 解　(1)由已知得直线的点斜式方程为 y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5. (2)y＝2. (3)x＝－1. (4)直线的斜率k＝tan 60°＝，AB的中点为(1，4)， 则该直线的点斜式方程为y－4＝(x－1)， 即y＝x－＋4. (5)直线的方向向量为a＝(2，－1)， 所以k＝＝－， 故直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋. 例1　(课本例1)已知直线l经过点P，且l的斜率为k，分别根据下列条件求直线l的方程： (1)P(0，3)，k＝2；(2)P(1，0)，k＝－3. 解　(1)根据已知可得直线l的点斜式方程为y－3＝2×(x－0)，化简得y＝2x＋3. (2)根据已知可得直线l的点斜式方程为y－0＝(－3)×(x－1)， 化简得y＝－3x＋3. 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外. 跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程. (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过点P(4，－2)，倾斜角为150°. 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)， 即y＝x－2－3. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 又直线上点的横坐标均为5， ∴直线的方程为x＝5. (3)∵直线的倾斜角为150°， ∴直线的斜率k＝tan 150°＝－， ∴直线的点斜式方程为y＋2＝－(x－4)，即y＝－x＋－2. 三、直线的斜截式方程 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 提示　y＝kx＋b. 知识梳理 1.直线的截距 当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距. 2.把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程. (4)已知直线的斜率存在时，可设方程为斜截式方程y＝kx＋b. 例2　(1)(多选)下列四个选项中，正确的是(　　) A.任何一条直线在y轴上都有截距 B.直线在y轴上的截距一定是正数 C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线 D.直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1 答案　CD 解析　平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确.直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确.直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确.直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确. (2)根据条件写出下列直线的斜截式方程. ①斜率为2，在y轴上的截距是5； ②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； ③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解　①由直线方程的斜截式可知， 所求直线的方程为y＝2x＋5. ②∵直线的倾斜角为150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得直线的方程为y＝－x－2. ③∵直线的倾斜角为60°， ∴斜率k＝tan 60°＝. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线的方程为y＝x＋3或y＝x－3. 反思感悟　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 跟踪训练2　(1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为　　　　　　　　，在y轴上的截距为　　　　.  答案　y＝－2x＋4　4 解析　y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4. (2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为　　　　　　　　.  答案　y＝－2x＋6 解析　l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2， 故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6， 所以直线l的方程为y＝－2x＋6. 1.知识清单： (1)直线的方程与方程的直线. (2)直线的点斜式方程. (3)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：截距与距离的概念易混淆. 1.方程y＝k(x－2)表示(　　) A.通过点(－2，0)的所有直线 B.通过点(2，0)的所有直线 C.通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2，0)且除去x轴的所有直线 答案　C 解析　易验证直线通过点(2，0)， 又直线斜率存在， 故直线不垂直于x轴. 2.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为，则此直线的方程为(　　) A.y＝x＋ B.y＝－x＋ C.y＝－x－ D.y＝x－ 答案　A 解析　直线的倾斜角为60°， 则其斜率为， 利用斜截式所得直线的方程为y＝x＋. 3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 答案　B 解析　如图， ∵直线经过第一、三、四象限， ∴k>0，b<0. 4.已知直线l过点P(2，1)，且直线l的斜率为直线y＝x＋的斜率的2倍，则直线l的点斜式方程为　　　　　　.  答案　y－1＝(x－2) 解析　由已知得，直线y＝x＋的斜率为， 故所求直线l的斜率为， 又直线l过点P(2，1)， 所以直线l的点斜式方程为y－1＝(x－2). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A.x＝3 B.x＝－2 C.y＝3 D.y＝－2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行，∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 2.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 答案　B 解析　该直线的斜率为－， 当x＝0时，y＝2－， ∴其倾斜角为120°， 在y轴上的截距为2－. 3.直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为(　　) A.(3，1) B.(2，3) C.(2，－3) D.(－2，3) 答案　B 解析　直线方程y＝k(x－2)＋3， 可化为y－3＝k(x－2)，所以过定点(2，3). 4.已知直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为(　　) A.－1 B.1 C.－5 D.5 答案　A 解析　因为直线l的方向向量为(1，－2)， 所以直线l的斜率k＝－2， 又直线l过点(－3，4)， 所以直线方程为y－4＝－2(x＋3)， 令y＝0，得x＝－1， 所以l在x轴上的截距为－1. 5.一条直线过点(－2，3)且直线的一个法向量为v＝(2，3)，则该直线的方程为(　　) A.y＝x＋ B.y＝x＋6 C.y＝－x D.y＝－x＋ 答案　D 解析　由已知得直线的一个法向量v＝(2，3)， 则该直线的一个方向向量为a＝(3，－2)， 故该直线的斜率k＝－，又直线过点(－2，3)， 所以直线的方程为y－3＝－(x＋2)， 即y＝－x＋. 6.(多选)给出下列四个结论，正确的是(　　) A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 答案　BC 解析　A不正确，方程k＝不含点(－1，2)；显然B，C正确；D不正确，只有斜率存在时，直线才有点斜式和斜截式方程. 7.(5分)已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝　　　　.  答案　4 解析　直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1， ∴2m－1＝7，解得m＝4. 8.(5分)设直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的斜率为　　　　，直线l的方程是　　　　.  答案　　y＝x±3 解析　y＝x＋1的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°，故斜率为tan 30°＝. 由题意知，直线l在y轴上的截距为±3， ∴直线l的方程为y＝x±3. 9.(10分)求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(－4，1)；(5分) (2)在y轴上的截距为－10.(5分) 解　由直线y＝－x＋1的斜率为－，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝. (1)因为直线过点(－4，1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝(x＋4)，即y＝x＋4＋1. (2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝x－10. 10.(11分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2. 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，即y＝x＋1. 综上可知，直线l的方程为x＝2或y＝x＋1. 11.(多选)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程为(　　) A.y＝x－6 B.y＝x－6 C.y＝－x－6 D.y＝－x－6 答案　AC 解析　因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为 y＝x－6或y＝－x－6. 12.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　) 答案　C 解析　①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立. 13.(5分)直线l的斜率k为方程x2－2x＋1＝0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为　　　　.  答案　y＝x＋5 解析　由题意，方程x2－2x＋1＝0的根为1， 所以k＝1，又在y轴上的截距为5， 则直线l的方程为y＝x＋5. 14.(5分)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是　　　　　　　　　　.  答案　 解析　由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示. 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， 因为kPA＝＝－2， kPB＝， 所以－2≤k≤. 15.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(－1，0)，C(0，3)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　　.  答案　y＝－x＋ 解析　因为AB＝AC，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC的垂直平分线的斜率为k， 则k·kBC＝－1， 因为kBC＝＝3，所以k＝－， 又因为BC的中点坐标为， 所以△ABC的欧拉线方程为y－＝－， 化成斜截式为y＝－x＋. 16.(12分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(4分) (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.(8分) (1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2，1). (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若要使当－3<x<3时， 直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1.所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $