重点题型强化（二） 对称与最值问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦高中数学对称与最值问题核心知识点，系统梳理中心对称（点点、线点对称）、轴对称（点线、线线对称）的基本原理及解题策略，构建从基础对称关系到最值应用的学习支架，通过例题解析、方法技巧归纳与分层练习，帮助学生逐步掌握对称问题的求解思路。 该资料以素养培养为导向，通过多解法对比（如线关于点对称的坐标代换、特殊点法等）、类型化策略总结（如对称问题的“中点+垂直”模型）及“将军饮马”等情境题，提升学生直观想象、数学运算与逻辑推理素养。课中辅助教师高效授课，课后学生可借助测评练习巩固知识，查漏补缺，强化对称思想的灵活应用能力。

[学习目标] 知识层面 1.学会解决点点、点线、线线对称问题．　2.会应用对称问题解决最值问题. 素养层面 通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 题型一　对称问题 角度1　中心对称 (1)已知不同的两点P与Q(b＋1，a－1)关于点对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 (2)直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程为________． 答案：(1)C　(2)3x－y－10＝0 解析：(1)因为两点P与Q关于点对称，可得即解得a＝7，b＝－2，所以ab＝7×＝－14.故选C. (2)方法一：设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二：在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点A1(4，2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4)． 在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋C＝0上，所以3×4－2＋C＝0，所以C＝－10.所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法技巧 中心对称问题的常见类型及解题策略 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)，本质是中点问题，所以可利用中点坐标公式求得，即由得 2．直线关于点对称 直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行；(2)直线l上的任意一点关于点P的对称点在直线l′上．直线l关于点P(x0，y0)的对称直线l′的方程的三种求法：①设直线l′上任意一点N(x，y)，则其关于点P(x0，y0)的对称点M的坐标为(2x0－x，2y0－y)，且点M在直线l上，将点M的坐标代入直线l的方程，化简即可得直线l′的方程．②求出直线l上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求直线l′的方程．③若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，点P(x0，y0)，可设直线l′的方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)．由点P到直线l和l′的距离相等，可列方程＝求解，进而可得直线l′的方程．　　 对点练1．(1)(2024·四川绵阳高二检测)直线l：4x＋3y－2＝0关于点A对称的直线方程为(　　) A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 (2)在△ABC中，设A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________． 答案：(1)B　(2)(2，－7)或(－3，－5) 解析：(1)设直线l：4x＋3y－2＝0关于点A对称的直线上任意一点P，则P关于A的对称点为，又因为(2－x，2－y)在4x＋3y－2＝0上，所以4＋3－2＝0，即4x＋3y－12＝0.故选B. (2)设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为.由题意知，AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，或AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，所以或 所以或故点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)． 角度2　轴对称 (1)(2024·江苏苏州高二月考)点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) (2)(2024·吉林长春高二期末)已知点A(2，0)与点B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　　) A．1，3 B．－，－ C．－2，0 D．，－ 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)设点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标为(x，y)，可得PQ中点坐标为， 利用对称性可得kPQ＝＝1，且＋－2＝0，解得x＝－2，y＝5，所以点Q的坐标为(－2，5)．故选B. (2)kAB＝＝－2，若点A(2，0)与点B(0，4)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则直线AB与直线ax＋y＋b＝0垂直，直线ax＋y＋b＝0的斜率是－a，所以(－a)·(－2)＝－1，得a＝－.又线段AB的中点(1，2)在直线ax＋y＋b＝0上，所以a＋2＋b＝0，得b＝－，故选B. 学生用书↓第59页 已知直线l：x－y－1＝0，l1：x－y＋3＝0，l2：2x－y－1＝0. (1)求直线l1关于直线l的对称直线l′1的方程； (2)求直线l2关于直线l的对称直线l′2的方程． 解：(1)因为l1∥l，所以l′1∥l. 设直线l′1的方程为x－y＋C＝0(C≠3，且C≠－1)． 在直线l1上取点M，设点M关于直线l的对称点为M′， 则解得 即点M′的坐标为. 把点M′的坐标代入直线l′1的方程，得4－＋C＝0，解得C＝－5， 所以直线l′1的方程为x－y－5＝0. (2)由得 所以l2与l的交点坐标为A. 另取l2上不同于A的一点B，设B关于l的对称点为B′， 则得 即点B′的坐标为. 所以过A与B′的直线l′2的方程为y＝×，即x－2y－2＝0. 方法技巧 轴对称问题的常见类型及解题策略 1．点关于直线对称 (1)基本方法：设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． (2)常见结论： ①点P(x0，y0)关于x轴的对称点为P′(x0，－y0)； ②点P(x0，y0)关于y轴的对称点为P′(－x0，y0)； ③点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x0，y0)； ④点P(x0，y0)关于直线y＝b的对称点为P′(x0，2b－y0)； ⑤点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为P′(y0，x0)； ⑥点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点为P′(－y0，－x0)； ⑦点P(x0，y0)关于直线y＝x＋b的对称点为P′(y0－b，x0＋b)； ⑧点P(x0，y0)关于直线y＝－x＋b的对称点为P′(－y0＋b，－x0＋b)． 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点(除交点外)关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解；也可以求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，利用点斜式写出直线l2的方程． (3)常见结论： ①与直线Ax＋By＋C＝0关于x轴对称的直线的方程为Ax－By＋C＝0； ②与直线Ax＋By＋C＝0关于y轴对称的直线的方程为－Ax＋By＋C＝0； ③与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝x对称的直线的方程为Ay＋Bx＋C＝0； ④与直线Ax＋By＋C＝0关于直线y＝－x对称的直线的方程为－Ay－Bx＋C＝0. 对点练2．(1)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是(　　) A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋y＋22＝0 C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0 (2)点A与点B关于直线l对称，则直线l的方程为________________． (3)直线y＝2x＋1关于直线y＝2x＋3对称的直线方程为________________． 答案：(1)A　(2)x＋6y－16＝0　(3)y＝2x＋5 解析：(1)联立得取直线l1：x－2y－2＝0上一点，设点关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为，则解得直线l2的斜率k＝＝－，所以直线l2的方程为y＝－，整理为11x＋2y－22＝0.故选A. (2)直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为，kAB＝＝6，所以kl＝－，所以直线l的方程为y－2＝－，即x＋6y－16＝0. (3)设所求直线方程为y＝2x＋b，且b≠1，直线y＝2x＋1与直线y＝2x＋3间的距离为＝，则直线y＝2x＋b与直线y＝2x＋3间的距离为＝，又b≠1，得b＝5，所以所求直线方程为y＝2x＋5. 学生用书↓第60页 题型二　最值(范围)问题 已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)． (1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小，并求这个最小值； (2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大，并求这个最大值． 解：(1)设C关于直线l的对称点C′的坐标为(a，b)，则解得 即C′(－1，1)， 则AC′的直线方程为y＝1，联立 解得 即交点为P，此时|AP|＋|CP|最小，最小值为|AC′|＝＝4＋1＝5. (2)设B关于直线l的对称点B′的坐标为(m，n)，则解得得B′(3，3)， 直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0， 联立 解得即Q(2，5)， 由对称性知，|BQ|＝|B′Q|，|AQ|－|BQ|＝|AQ|－|B′Q|≤|AB′|(当且仅当Q，B′，A三点共线时取“＝”)， 所以l上的点Q(2，5)，是使||AQ|－|BQ||最大的点． 此时最大值为|AB′|＝＝. 方法技巧 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 对点练3．已知点M(3，5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小． 解：由点M(3，5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5，1)．同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3，5)． 由对称性可知，当P，Q在M1M2上时，△MPQ的周长|MP|＋|PQ|＋|MQ|＝|M1P|＋|PQ|＋|M2Q|有最小值． 由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0. 解方程组得交点P.令x＝0，得M1M2与y轴的交点Q. 所以当P和Q的坐标分别为，时，△MPQ的周长最小． 学科网（北京）股份有限公司 $