第2章 2.2.1 第2课时 直线的方向向量、法向量（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学直线的方向向量、法向量核心知识点，承接上节课倾斜角和斜率内容，通过方向向量建立与倾斜角、斜率的联系，进而引出法向量，构建从概念理解到计算应用的学习支架。 以问题链驱动探究，如“两点能否描述直线方向”引导学生用数学眼光抽象概念，例题中方向向量与斜率关系推导培养数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。课中助力教师互动教学，课后对点练帮助学生查漏补缺。

第2课时　直线的方向向量、法向量 学习目标　1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用. 导语 同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知道直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题. 一、直线的方向向量 问题1　如图，A，B为直线l上任意两点，向量或可以描述直线l相对于x轴的倾斜程度吗？若非零向量a在如图位置，那么a也可以描述直线l相对于x轴的倾斜程度吗？ 提示　可以，可以. 知识梳理 定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. (1)a＝(1，0)表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量. b＝(0，1)表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量. (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线. (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量. 注意点：(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量. 例1　过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y等于(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案　C 解析　由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)， 得＝(－2，－3－y)， 又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)， ∴n∥， ∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0， 解得y＝－1. 反思感悟　直线的方向向量的求法 (1)在直线上任找两点P，Q，则)为直线l的一个方向向量. (2)a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量. 跟踪训练1　已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为(　　) A.(－3，－4) B. C. D.± 答案　D 解析　由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)， 则||＝＝5， 因此直线l的单位方向向量为 ±＝±(－3，－4)＝±. 二、直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系 问题2　直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？ 提示　我们知道如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，它可以表示任意直线的方向向量，当x2≠x1，即θ≠90°时，则＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·＝(x2－x1)(1，k)＝(x2－x1)·(1，tan θ)＝(x2－x1)(x2－x1)·(cos θ，sin θ). 知识梳理 1.如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量.  如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量. 2.如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则 当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u≠0时，直线l的斜率存在，且k＝tan θ＝. 注意点：(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0，1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ). 例2　(1)直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角的取值范围是　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　∵α≠＋kπ，k∈Z， ∴cos α≠0，sin α≠±1. 令直线l的倾斜角为θ， ∴tan θ＝sin α. ∵sin α∈(－1，1)，∴tan θ∈(－，)， 又θ∈∪， 故θ∈∪. (2)直线l过点P(1，－3)，Q(4，－3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角. 解　方法一　＝(4，－3)－(1，－3)＝(3，). ∴＝(3，)为直线l的一个方向向量， ∴k＝，令直线l的倾斜角为θ， ∴tan θ＝，则θ＝30°. 故该直线的斜率为，倾斜角为30°. 方法二　由题意得，直线l的斜率为 kPQ＝， 令直线l的倾斜角为θ，∴tan θ＝，∴θ＝30°. 直线l的一个方向向量a＝(1，k)＝. (2)(课本例4)已知直线l通过点A(0，1)与B(1，1－)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角. 解　由已知可得＝(1，1－)－(0，1)＝(1，－) 是直线l的一个方向向量. 因此，直线的斜率k＝＝－， 直线的倾斜角θ满足tan θ＝－， 从而可知θ＝120°. 反思感悟　直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系 如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos θ，sin θ)为直线l的一个方向向量. 如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量. 跟踪训练2　(1)直线l的倾斜角θ为150°，则该直线的斜率为　　　　，一个方向向量为　　　　.  答案　－　(答案不唯一) 解析　∵直线l的倾斜角θ＝150°，∴k＝tan 150°＝－.∴a＝为直线的一个方向向量. (2)经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　D 解析　由已知得k＝＝－2. 三、直线的法向量 问题3　若a＝(1，2)是直线l的一个方向向量.你能求出与a垂直的一个向量吗？ 提示　设v＝(x，y)，且v⊥a，则x＋2y＝0，令x＝2，则y＝－1.故v＝(2，－1)即为与a垂直的一个向量. 知识梳理 定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l. (1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直. (2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝(y0，－x0)为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝(y0，－x0)为直线l的方向向量. 注意点：(1)任意直线都有法向量. (2)直线的法向量不唯一. (3)直线的法向量是非零向量. 例3　(1)直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的法向量为(　　) A.(－1，4) B.(2，5) C.(5，－2) D.(－1，－4) 答案　D 解析　由题意得＝(3，2)－(－1，3)＝(4，－1)为直线l的一个方向向量，∴直线l的法向量v＝(－1，－4). (2)直线l的法向量为v＝(，－3)，则直线l的斜率为　　　　，倾斜角为　　　　.  答案　　30° 解析　v＝(，－3)为直线l的法向量， 则a＝(－3，－)为直线l的方向向量. ∴k＝， 令直线l的倾斜角为θ，∴tan θ＝，θ＝30°. ∴直线l的斜率为，倾斜角为30°. 反思感悟　直线的法向量的求法 若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可. 跟踪训练3　(1)直线PQ的斜率为－，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　A 解析　由题意得kPQ＝－， 所以PQ的倾斜角为120°， 又直线PQ的法向量与直线PQ垂直， 故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°. (2)直线l上两点A(－2，3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝　　　　.  答案　7 解析　∵＝(4，m)－(－2，3)＝(6，m－3)， ∴为直线l的一个方向向量.∴⊥v， ∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，∴m＝7. 1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系. (3)直线的法向量. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区： (1)斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量、法向量易混淆. (2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚. 1.直线过点(－3，0)，(－2，)，则该直线的一个方向向量为(　　) A.(－1，) B.(1，－) C.(1，) D.(5，) 答案　C 解析　直线的方向向量为a＝(－2，)－(－3，0)＝(1，). 2.直线AB的方向向量a＝(3，－)，则该直线的倾斜角θ为(　　) A.45° B.60° C.120° D.150° 答案　D 解析　由已知得a＝(3，－)＝3， ∴k＝－，∴tan θ＝－， 又0°≤θ<180°，∴θ＝150°. 3.直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为(　　) A.k1>k2 B.k1＝k2 C.k1<k2 D.不确定 答案　C 解析　v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)， ∴斜率k1＝. v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)， ∴斜率k2＝＝3，∴k2>k1. 4.若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＝　　　　.  答案　 解析　∵A，B，C三点共线，∴∥， 又＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)， ∴(a－2)(b－2)＝4， 即ab＝2a＋2b，两边同除以ab，得1＝， 即. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.直线AB的方向向量为a＝(－1，2)，则直线AB的斜率为(　　) A.＋1 B.－1 C. D. 答案　A 解析　由已知得a＝(－1，2)， ∴直线AB的斜率k＝＋1. 2.(多选)已知直线l过点A(4，2)，B(－1，2＋)，则直线l的方向向量可以是(　　) A.(－5，) B.(5，－) C.(，5) D.(5，－3) 答案　ABD 解析　直线l的一个方向向量为 ＝(－1，2＋)－(4，2)＝(－5，)， 所以与共线的向量都能作为直线的方向向量. 3.过点A(，3)，B(0，－2)的直线的一个法向量为(　　) A.(－5，－) B.(－，－5) C.(－5，) D.(5，) 答案　C 解析　因为＝(0，－2)－(，3)＝(－，－5)为直线的一个方向向量， 所以该直线的一个法向量v＝(－5，). 4.已知直线的倾斜角为120°，一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为(　　) A.1－ B.＋1 C. D.－ 答案　D 解析　由题意得，k＝tan 120°＝－， ∴直线的一个方向向量为a＝(1，－). ∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)， ∴m－(m＋1)＝0，解得m＝－. 5.在平面直角坐标系中，正△ABC的BC边所在的直线的方向向量为a＝(－，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为(　　) A.－2 B.0 C. D.2 答案　B 解析　∵a＝(－，0)，∴BC所在直线的斜率为0. 又△ABC为等边三角形， ∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，∴kAB＋kAC＝tan 60°＋tan 120°＝0. 6.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0)，一个法向量为(0，1) B.若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝ C.若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量 D.任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 答案　ACD 解析　由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中当a＝0时，不成立. 7.(5分)直线l的一个法向量为u＝(3，－)，则直线l的倾斜角θ为　　　　.  答案　 解析　直线l的一个法向量为u＝(3，－)， 则直线l的一个方向向量a＝(－，－3)， 则直线l的斜率k＝. 所以tan θ＝，且θ∈[0，π)，故θ＝. 8.(5分)已知直线的倾斜角θ为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m＝　　　　.  答案　－4 解析　∵θ＝120°，∴k＝tan 120°＝－. ∴直线的一个方向向量为a0＝(1，－)， ∵a∥a0，∴1×m－4×(－)＝0，∴m＝－4. 9.(10分)已知直线m的一个方向向量为v＝(3，)，直线l的倾斜角为直线m倾斜角的2倍，求直线l的一个方向向量和一个法向量. 解　设直线m的倾斜角为θ， ∵直线m的一个方向向量v＝(3，)， ∴斜率km＝＝tan θ，∴θ＝30°， 则直线l的倾斜角为2θ＝60°， 故斜率kl＝tan 60°＝. ∴直线l的一个方向向量为(1，)，直线l的一个法向量为(，－1).(答案不唯一) 10.(10分)已知a>0，b>0，且向量u＝(a，3)和v＝(1－b，2)都是直线l的法向量.求的最小值. 解　∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v， ∴2a－3(1－b)＝0，即2a＋3b＝3， ∴(2a＋3b)＝1，且a>0，b>0. ∴·(2a＋3b) ＝＋2 ≥＋2×2， 当且仅当，即a＝b＝时，等号成立. ∴当a＝b＝时，最小，最小值为. 11.(多选)已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案　BD 解析　∵A，B，C不能构成一个三角形， ∴A，B，C三点共线. 又＝(4，a＋1)，＝(8，a2＋2)， ∴∥，4(a2＋2)－8(a＋1)＝0， 即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2. ∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形. 12.已知直线l的倾斜角的取值范围为，直线l的方向向量为(2，3m)，则m的取值范围为(　　) A. B.∪ C.∪ D. 答案　B 解析　易知tan ， tan ＝－1， 画出正切函数的图象， 如图所示， 当θ∈时，tan θ∈(－∞，－1]∪ [，＋∞)， 由题意知k＝，所以≤－1或≥， 解得m≤－或m≥， 所以m的取值范围为∪. 13.将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位，得到直线l'，此时直线l'与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为(　　) A. B.1 C.2 D.4 答案　B 解析　设直线l上一点为A(m，n)， 则平移后的坐标为A'(m＋a＋1，n－a). ∵A与A'都在直线l上， ∴＝(m＋a＋1，n－a)－(m，n)＝(a＋1，－a)为直线l的一个方向向量. ∴∥a，∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1. 14.(5分)直线l的一个法向量为n＝(cos θ，1)，θ∈R，则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　　.  答案　∪ 解析　由题意，知l的一个方向向量为(1，－cos θ)， 则tan α＝－cos θ∈[－1，1]， 所以α的取值范围为∪. 15.(5分)已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　.  答案　[－3，－1] 解析　直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)， 则k＝＝－·， ∵＝－2＋， 又∵2≤x≤3，∴≤≤4，∴≤≤2， ∴－3≤－·≤－1，即k∈[－3，－1]. 16.(12分)在平行四边形ABCD中，A(－1，－2)，B(2，1)，直线BC的一个方向向量为a＝(3，6)，直线BD的一个法向量为v＝(－2，－3)，求点C的坐标. 解　设点C的坐标为(x0，y0)， 则＝(x0－2，y0－1)，＝(－3，－3)， ∵∥a， ∴(x0－2)×6－(y0－1)×3＝0， 即2x0－y0－3＝0， ① ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝(x0－2，y0－1)＋(－3，－3)＝(x0－5，y0－4)， 又直线BD的一个法向量为v＝(－2，－3)， ∴v·＝－2(x0－5)－3(y0－4)＝0， 即2x0＋3y0－22＝0， ② 由①②可得∴点C的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $