2.2.2 直线的方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦“直线的方程”核心知识点，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式五种方程形式。以确定直线的几何要素为起点，通过问题链引导推导各方程，明确适用条件，最终统一到一般式，构建“几何要素-方程形式-应用转化”的学习支架。 资料以核心素养为导向，通过问题驱动（如探究直线确定性）培养数学抽象，题型分层（五种方程应用）提升逻辑推理与运算能力。课中微提醒和方法技巧助教师高效授课，课后测评覆盖基础与提升，助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2．2.2　直线的方程 [学习目标] 知识层面 1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．　2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．　3.灵活选用恰当的方式求直线方程. 素养层面 通过直线方程的学习，培养数学抽象核心素养；通过直线方程适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算核心素养. 问题1．(1)在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？斜率为k的直线有多少条？ (2)在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 提示：(1)无数条；无数条．(2)有且只有一条． 问题2．(1)如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试用点斜式写出l的方程． (2)给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么kPP1与kP1P2有什么关系？ 提示：(1)y－y1＝(x－x1)． (2)kPP1＝kP1P2，即＝. 问题3．(1)平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：(1)可以．直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． (2)可以．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，B≠0时，y＝－x－；B＝0时，x＝－均表示直线． 知识点一　直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 知识点二　直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 定义：若直线l与y轴的交点(0，b)，则称l在y轴上的截距为b. 符号：可正，可负，也可为零． 2．直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 学生用书↓第47页 微提醒 1．直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0＝0时的特殊情况．斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在． 2．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程． 3．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数．当直线l与y轴正半轴相交时，截距b>0；当直线l与y轴负半轴相交时，截距b<0；当直线l经过原点时，截距b＝0.但并非所有的直线都与y轴有交点，当直线l与y轴平行时，l在y轴上没有截距． 4．当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，这时其方程可以表示为x＝x1(x1为直线与x轴交点的横坐标)． 5．方程y＝kx＋b中，y的系数是1，x的系数是k，常数项是b.k，b有明显的几何意义，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴交点的纵坐标，即在y轴上的截距．　　 知识点三　直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝ 适用条件 斜率存在且不为零 知识点四　直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适用条件 斜率存在且不为零，直线l不过原点 微提醒 1．y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)与＝(x1≠x2，y1≠y2)，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． 2．对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． 3．直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即两点式方程不适用于直线的斜率不存在(x1＝x2)及斜率为零(y1＝y2)的情况． 4．把直线的两点式方程化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，则该方程表示过平面内任意已知两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线．　　 知识点五　直线的一般式方程 1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0．(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． 微提醒 当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列关系时，这条直线有以下性质： 1．当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交； 2．当A≠0，B＝0，C≠0时，直线与y轴平行； 3．当A＝0，B≠0，C≠0时，直线与x轴平行； 4．当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； 5．当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．　　 1．下面说法中，正确的是(　　) A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示 学生用书↓第48页 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 答案：B 解析：A错，直线斜率不存在时，不能用点斜式表示直线方程；C错，a，b中有一个或两个都为0时，不能用截距式表示直线方程；D错，斜率不存在时，不能用斜截式表示直线方程． 2．直线方程为y＋2＝2x－2，则(　　) A．直线过点(2，－2)，斜率为2 B．直线过点(－2，2)，斜率为2 C．直线过点(1，－2)，斜率为 D．直线过点(1，－2)，斜率为2 答案：D 解析：把直线方程写成点斜式方程：y－(－2)＝2(x－1)，故直线过点(1，－2)，斜率为2. 3．已知A(3，0)，B(0，4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是(　　) A．2 B．3 C．8 D．12 答案：B 解析：易求得直线AB的方程为＋＝1，因为P(m，n)在直线AB上，所以m＝3－n，所以mn＝3n－n2＝[－(n－2)2＋4]≤3，当n＝2时，mn取得最大值3.故选B. 4．直线y－2＝－(x＋3)的倾斜角是________，在y轴上的截距是________． 答案：120°　2－3 解析：因为直线斜率为－，所以倾斜角为120°， 又因为x＝0时，y＝2－3，所以在y轴上的截距是2－3. 题型一　求点斜式方程 (链教材P85例1、例2)求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． [思路点拨]　求出斜率，再根据已知点写出点斜式方程． 解：(1)因为直线y＝x的斜率为， 所以直线y＝x的倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率kPQ＝＝＝－1. 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 方法技巧 求直线的点斜式方程的步骤 对点练1．分别求出经过点P(3，4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 解：(1)由点斜式方程得y－4＝2(x－3)． (2)与x轴平行时，k＝0， 所以y－4＝0×(x－3)，即y＝4. (3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3. 题型二　求斜截式方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [思路点拨]　 结合截距、斜率的几何意义→明晰各题中直线的截距、斜率→写出直线的斜截式方程 解：(1)由直线的斜截式方程可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. (2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 由斜截式可得直线方程为y＝－x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 学生用书↓第49页 方法技巧 求直线的斜截式方程 1．先求参数k和b，再写出斜截式方程． 2．斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率． 3．b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．　　 对点练2．一直线过点A(0，2)，它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的方程是(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2 D．y＝x－2 答案：B 解析：方法一：因为直线y＝x的斜率为， 所以其倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，则斜率k＝.直线过点A(0，2)，即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得直线的方程为y＝x＋2. 方法二：所求直线斜率为，过点A(0，2)，则点斜式方程为y－2＝(x－0)，即y＝x＋2. 题型三　求两点式方程 (链教材P86例3)(1)已知三角形的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)．求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． (2)求过点A(2，1)和点B(a，2)的直线方程． [思路点拨]　 (1)利用两点式求AC边所在直线的方程→求AC的中点→与点B结合，利用两点式写出中线所在直线的方程 (2) 解：(1)过点A(－5，0)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，此为AC边所在直线的方程． 设边AC的中点为D(x，y)， 则所以点D的坐标为. 由两点式得直线BD的方程为＝，整理得8x＋11y＋9＝0，此为AC边上的中线所在直线的方程． (2)①当a＝2时，A，B两点的横坐标均为2，直线AB垂直于x轴，故所求直线的方程为x＝2，即x－2＝0. ②当a≠2时，由直线方程的两点式可得＝， 整理得x＋(2－a)y＋a－4＝0.　(*) 又当a＝2时，(*)式可化为x－2＝0， 所以综合①②可知， 所求直线方程为x＋(2－a)y＋a－4＝0. 方法技巧 由两点式求直线方程的步骤 1．设出直线所经过点的坐标． 2．根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． 3．由直线的两点式方程写出直线的方程．　　 对点练3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求： (1)BC边所在直线的方程； (2)BC边上的中线AD所在直线的方程． 解：(1)BC边所在直线的方程为＝， 即x＋2y－4＝0. (2)设BC边的中点D(x，y)，则 所以D(0，2)． 由两点式可得直线AD的方程为＝，即2x－3y＋6＝0. 题型四　求截距式方程 (1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． (2)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． (3)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． [思路点拨]　 解：(1)设直线在x轴、y轴上的截距都为a. ①当a≠0时，设l的方程为＋＝1. 因为点(4，－3)在直线上，所以＋＝1，解得a＝1， 直线方程为x＋y－1＝0. ②当a＝0时，设l的方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. (2)①当截距均为零时，由(1)知，l的方程为3x＋4y＝0. ②当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＋＝1.把点(4，－3)代入得＋＝1，解得a＝7，l的方程为＋＝1，即x－y－7＝0. 故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0. (3)当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括： ①两截距均为零，即3x＋4y＝0. ②两截距均不为零且相等，即x＋y－1＝0. ③两截距均不为零且相反，即x－y－7＝0. 故所求l的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. 学生用书↓第50页 方法技巧 利用截距式求直线方程的注意事项 1．下列三种情况，不能用截距式表示直线： (1)k不存在．(2)k＝0.(3)直线过原点． 2．(1)截距相等且不为0，可设直线方程为：x＋y＝a. (2)截距相反且不为0，可设直线方程为：x－y＝a. (3)截距均为0，可设直线方程为：y＝kx.　　 对点练4．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点A(6，－2)，则直线l的方程为________________． 答案：x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0 解析：设直线l在y轴上的截距为a.当a＝0或－1时，不符合题意，所以a≠0且a≠－1.由截距式方程得＋＝1，代入点A(6，－2)的坐标，得－＝1，即a2－3a＋2＝0，所以a＝2或a＝1.所以直线l的方程为＋y＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋3y－6＝0. 题型五　求一般式方程 (1)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝__________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝__________． (2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)，若l不经过第二象限，则实数a的取值范围是________． [思路点拨]　 一般式方程→化成斜截式方程或截距式方程→建立关于参数的方程(或不等式)→求解即得参数的值(或取值范围) 答案：(1)5　1　(2)(－∞，－1] 解析：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5. 直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. (2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. 若l不经过第二象限， 则或 所以a≤－1. 方法技巧 1．求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．　　 对点练5．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 易错点　忽略了直线方程成立的条件致错 求过点M(m，0)和点N(2，1)的直线方程． [正解]　当m＝2时，过点M(m，0)和点N(2，1)的直线的斜率不存在，直线方程为x＝2； 当m≠2时，直线的斜率为k＝＝－. 又直线过点N(2，1)， 所以直线的点斜式方程为y－1＝－(x－2)． 综上，当m＝2时，所求的直线方程为x＝2； 当m≠2时，所求的直线方程为y－1＝－(x－2)． [易错探因]　解本题时容易忽略m－2＝0，即m＝2的情形，此时直线的斜率不存在． [误区警示]　用点斜式求直线的方程时，要讨论斜率的存在性，注意方程成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $