第1章 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的数量积核心知识点，前承平面向量线性运算的类比推广，系统构建空间向量夹角的定义、表示及垂直概念，数量积的定义、几何意义、性质（垂直、共线、模、夹角公式）和运算律，形成从概念到性质再到应用的学习支架。 该资料以类比思想为主线，通过问题链引导学生从平面向量迁移到空间向量，结合正方体、正四面体模型培养几何直观与空间观念（数学眼光）。例题与训练注重定义辨析和推理应用，发展逻辑推理能力（数学思维），符号与图形语言结合助力数学表达（数学语言）。课中辅助教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　空间向量的数量积 学习目标　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直. 导语 同学们，上节课我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然本节课的关键词仍是“类比”. 一、空间向量的夹角 问题　空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？ 提示　可以，可以. 知识梳理　两个空间向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量a，b，在空间中任选一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉. (2)如果〈a，b〉＝，则称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. (3)约定零向量与任意向量都垂直. 例1　(课本例4)如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 解　(1)由于与的方向相同，所以 〈，〉＝〈，〉＝45°. (2)〈，〉＝〈，〉＝135°. (3)〈，〉＝〈，〉＝90°. (4)〈，〉＝〈，〉＝180°. 例1　(1)对于空间中任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　 B 解析　显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件. (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝　　　　；向量与的夹角〈，〉＝　　　　. 答案　90°　120° 解析　∵AB⊥平面BCC1B1，C1B⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥C1B， 故〈，〉＝90°， 连接BD，A1D(图略)， ∵∥， ∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD， ∵△A1BD为等边三角形， ∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°. 反思感悟　找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]. 跟踪训练1　在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　由题意，可得， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 二、空间向量的数量积 1.空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.数量积的几何意义 (1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影.如图所示. (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积.特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量. 3.空间向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2； (2)|a|＝； (3)|a·b|≤|a|·|b| 夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 注意点：(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量. (2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角). (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 例2　(课本例5)如图所示长方体ABCD－A'B'C'D'中，E是AA'的中点，AA'＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·；(2)·. 解　(1)方法一　因为是长方体，而且AA'＝AD＝2，所以 〈，〉＝∠B'BC'＝45°，||＝AA'＝1， ||＝BC'＝＝2， 因此·＝||||cos〈，〉＝2×1×＝2. 方法二　由图可以看出，在上的投影是，而且||＝AA'＝1， 注意到与的方向相同，所以·等于的长，即·＝||＝2. (2)由图可以看出，在上的投影是，而且||＝AA'＝1， 注意到与的方向相反，所以·等于的长的相反数，即·＝－||＝－2. 例2　已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心.求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a， ∴·＝||||cos〈，〉 ＝a×a×cos 60°＝a2. (2)如图所示，||＝a， 在上的投影为， ∵||＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2. (3)取AB的中点E，∴O1E⊥AB， ∴在上的投影为， 又||＝a，||＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2. 反思感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算. (2)利用数量积的几何意义求解. (3)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算. 跟踪训练2　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·； (4)·. 解　(1)·· ＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)··||2＝. (3)·· ＝||·||cos〈，〉 ＝cos 120°＝－. (4)··() ＝·· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 三、空间向量数量积的简单应用 例3　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记＝a，＝b，＝c.|a－b＋2c|等于(　　) A.5 B.6 C. D. 答案　C 解析　由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ ＝ ＝. 延伸探究1　本例条件不变，若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. 解　＋()＋)＝a＋(b－a)＋(c－b) ＝－a＋b＋c， 所以a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋b·c＝， 所以||＝，即E，G间的距离为. 延伸探究2　在延伸探究1的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 解　由延伸探究1知，＝－a＋b＋c， ||＝， 又＝c－a， 所以·(－a＋b＋c)·(c－a) ＝(－a·c＋b·c＋c2＋a2－a·b－a·c) ＝×， 又||＝1， 则cos〈·〉＝. 故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为. 延伸探究3　证明：异面直线AB与CD 垂直. 证明　＝c－b， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ＝＝0， 所以⊥，所以AB⊥CD. 反思感悟　利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.(a，b为非零向量) (1)a⊥b⇔a·b＝0. (2)cos〈a，b〉＝. (3)|a|2＝a2. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角. (2)空间向量的投影. (3)空间向量的数量积. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量. 1.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是(　　) A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 答案　ACD 解析　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角. 2.已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A.－6 B.6 C.3 D.－3 答案　B 解析　由a⊥b，得a·b＝0， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 所以2k－12＝0，所以k＝6. 3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝　　　　.  答案　－a2 解析　如图， · ＝||·||cos〈，〉＝a·a×cos 120°＝－a2. 4.已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝　　　　.  答案　22 解析　∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576， 则a2＋2a·b＋b2＝576， ∴2a·b＝576－132－192＝46. 又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A.12 B.8＋ C.4 D.13 答案　D 解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a ＝2|a|2－|a||b|·cos 120° ＝2×4－2×5×＝13. 2.已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝，则b在a上的投影的数量为(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　D 解析　b在a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝－2. 3.已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·等于(　　) A. B. C.－ D.－ 答案　D 解析　由正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，得，则··×1×1×cos 120°＝－. 4.在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则〈，〉等于(　　) A.60° B.45° C.120° D.90° 答案　D 解析　∵··() ＝·· ＝||·||cos －||·||cos ＝0， ∴〈，〉＝90°. 5.(多选)设a，b，c是空间中任意的非零向量，且互不共线，则下列结论中正确的有(　　) A.(a·b)c－(c·a)b＝0 B.|a|－|b|<|a－b| C.(c·b)a－(c·a)b不与c垂直 D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案　BD 解析　对于A，由向量数乘与数量积的区别，易知A不正确；对于B，设在△ABC中，＝a，＝b，则＝a－b，由三角形中两边之差小于第三边得||－||<||，即|a|－|b|<|a－b|，所以B正确；对于C，[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以C不正确；对于D，由向量的数量积运算可知D正确. 6.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有(　　) A.·＝2a2 B.·＝a2 C.·a2 D.·＝a2 答案　BC 解析　··()＝＝a2； ··()＝＝a2； ···()＝a2； ··()＝－＝－a2. 7.(5分)已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为　　　　.  答案　－ 解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0， 即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos 135°＝0， 所以λ＝－. 8.(5分)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是_________三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)  答案　锐角 解析　·＝()·()＝···>0，同理，·>0，·>0，∴△BCD的三个内角均为锐角. ∴△BCD为锐角三角形. 9.(10分)已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 解　由条件知(a＋3b)·(7a－5b) ＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2， 所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝， 所以〈a，b〉＝60°. 10.(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝1，求： (1)·；(2分) (2)·；(2分) (3)·；(3分) (4)·.(3分) 解　连接AC(图略)，因为PA⊥平面ABCD，AC，AB，BD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BD，PA⊥BC. 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC. (1)··()＝··＝0＋0＝0. (2)·＝()·()＝···＝1＋0＋0＋1××＝2. (3)··()＝··＝0＋1××＝1. (4)··()＝·＝1＋0＝1. 11.已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈，〉＝60°，则A，D两点间的距离为(　　) A. B. C. D.2 答案　B 解析　， 所以||＝ ＝ ＝. 12.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则· (i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 答案　D 解析　··() ＝·， ∵AB⊥平面BP2P8P6， ∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为1. 13.(多选)已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则(　　) A.||＝ B.||＝3 C.·＝－9 D.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 答案　BD 解析　设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝0，a·c＝3，b·c＝4， ＝b＋c，＝－a＋b－c， 则·＝－a·b＋b2－b·c－a·c＋b·c－c2＝9， ||＝＝2， ||＝＝3， 所以cos〈，〉＝. 14.(5分)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为　　　　.  答案　－13 解析　∵a＋b＋c＝0， ∴(a＋b＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 15.(5分)某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，AB是底面圆的一条直径，P是侧面上一动点，则·的最小值为　　　　　.  答案　－1 解析　设圆锥底面圆的圆心为O，圆锥顶点为V，则VA＝4，OA＝2，则圆锥的高VO＝＝2， ·＝()·()＝·()＋·－4，当PO垂直于过P点的母线时，PO长最小，即为， 故·的最小值为()2－4＝－1. 16.(12分)如图，在三棱柱OAB－CA1B1中，＝a，＝b，＝c，三向量夹角均为，M，N分别在CA1，BA1上，且，，||＝2，||＝2，||＝4. (1)求AM的长；(5分) (2)求与夹角的余弦值.(7分) 解　(1)因为 ＝－＝－a＋c. 又因为a·c＝4， 所以||＝， 即AM的长为. (2))＝) ＝(a＋b＋c). 因为a·b＝2，b·c＝c·a＝4， 所以· ＝·(a＋b＋c)＝， 又||＝， 所以cos〈，〉＝， 即与夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $