第2章 2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，从交通工程坡度问题引入倾斜角定义（0°~180°，唯一确定），延伸至斜率概念（tanθ，θ≠90°）及两点斜率公式，构建从具体情境到抽象概念再到应用的学习支架。 以坡度情境培养数学眼光观察现实，通过分类讨论（如倾斜角旋转）、数形结合（线段交点斜率范围）发展数学思维，知识点梳理与公式推导体现数学语言精确性。课中例题解析助教师授课，课后对点练帮学生查漏补缺。

2.2.1　直线的倾斜角与斜率 第1课时　直线的倾斜角与斜率 学习目标　1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系. 导语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线. 知识梳理 定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角. (1)倾斜角θ的取值范围是0°~180°. (2)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°. (3)每一条直线都有唯一的倾斜角. 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 反思感悟　(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答. (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 跟踪训练1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　.  答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　. 答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 二、直线的斜率 问题2　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示　(1)tan α＝. (2)tan α＝＝1－. (3)tan α＝. 知识梳理 1.定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.  2.两点的斜率公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在；当y1＝y2时，直线l的斜率为0. 注意点：(1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (2)k＝，要求分子、分母下标的顺序一致. (3)与x轴平行或重合的直线斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在. 例2　(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A(2，3)，B(4，5)； ②C(－2，3)，D(2，－1)； ③P(－3，1)，Q(－3，10). 解　①存在.直线AB的斜率kAB＝＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. ②存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°. ③不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率. 解　当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. 反思感悟　(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　.  答案　－ (2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　.  答案　1 解析　由斜率公式k＝＝1，得m＝1. 三、倾斜角和斜率的应用 问题3　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 知识梳理 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 例3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1， (1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 特别注意：找到斜率不存在的直线. 跟踪训练3　已知A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x＝　　　　，直线AB的倾斜角为　　　　.  答案　3　 解析　因为A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB＝kBC，即，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. 1.知识清单： (1)直线的倾斜角. (2)直线的斜率以及两点的斜率公式. (3)倾斜角和斜率的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180° 答案　C 解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 3.已知点A(2，3)，B(－1，x)，直线AB的倾斜角为，则x等于(　　) A.3－3 B.3－ C.3＋3 D.6 答案　A 解析　由题意知，tan ， 解得x＝3－3. 4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　　　.(其中m≥1)  答案　0°<α≤90° 解析　当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故α的取值范围是0°<α≤90°. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A.(4，2)与(－4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2，2)与(－2，5) 答案　D 解析　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 2.已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　B 解析　由题意知，kAB＝， ∴tan θ＝且0°≤θ<180°，∴θ＝30°. 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案　A 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0. 4.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 5.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为(　　) A.(0，1) B.(－1，0) C.(3，0) D.(0，－3) 答案　CD 解析　若设点P的坐标为P(x，0)， 则k＝＝tan 45°＝1，∴x＝3，即P(3，0). 若设点P的坐标为P(0，y)， 则k＝＝tan 45°＝1， ∴y＝－3，即P(0，－3). 6.(多选)下列各组中的点在同一条直线上的是(　　) A.(1，－3)，(－7，5)，(3，－5) B.(3，0)，(6，－4)，(－1，－3) C.(1，0)，，(7，2) D.(－2，－5)，(7，6)，(－5，3) 答案　AC 解析　过点(1，－3)，(－7，5)的直线的斜率m1＝＝－1，过点(－7，5)，(3，－5)的直线的斜率m2＝＝－1，两者相等，故三点在同一条直线上，A选项正确； 过点(3，0)，(6，－4)的直线的斜率n1＝＝－，过点(6，－4)，(－1，－3)的直线的斜率n2＝＝－，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误； 过点(1，0)，的直线的斜率k1＝，过点(1，0)，(7，2)的直线的斜率k2＝，两者相等，故三点在同一条直线上，C选项正确； 过点(－2，－5)，(7，6)的直线的斜率a1＝，过点(7，6)，(－5，3)的直线的斜率a2＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误. 7.(5分)若A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)三点能构成三角形，则实数k的取值范围为　　　　　　.  答案　(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析　因为A，B，C三点能构成三角形，所以A，B，C三点不共线， 所以kAB≠kAC， 即≠， 因此k－1≠0，解得k≠1. 故实数k的取值范围为(－∞，1)∪(1，＋∞). 8.(5分)若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是　　　　.  答案　(－2，1) 解析　由题意知，kAB＝.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝<0， 解得－2<t<1. 9.(10分)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？(2分) (2)直线l与y轴平行？(2分) (3)直线的倾斜角为45°？(3分) (4)直线的倾斜角为锐角？(3分) 解　(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1，解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得－1<m<1. 10.(10分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a，0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a等于(　　) A. B. C.1 D. 答案　B 解析　设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，所以，解得a＝. 12.已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A. B. C. D.{k|k<2} 答案　A 解析　∵kAP＝＝2， kBP＝，如图， ∵直线l与线段AB始终没有交点，∴斜率k的取值范围是. 13.(多选)已知在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为(　　) A.－ B.－ C.－2 D.－3 答案　AD 解析　设AB的倾斜角为α，BC的倾斜角为β，如图所示， 则β＝＋α或β＝＋α，tan α＝， 当β＝＋α时，tan β＝tan＝－3； 当β＝＋α时，tan β＝tan＝－. 14.(5分)已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P按顺时针方向旋转60°所得直线的斜率是　　　　.  答案　 解析　设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，因为kPQ＝－，所以tan θ＝－，则θ＝120°， 将直线绕点P按顺时针方向旋转60°， 所得直线的倾斜角为60°， 所以其斜率为tan 60°＝. 15.已知正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点P(x，y)是△ABC内部及其边界上一点，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)且顶点C在第一象限， 故顶点C的坐标为(1＋，2)， 可看作△ABC内部及其边界上一点与点(－1，0)的连线斜率， 当P运动到点B(1，3)时，直线的斜率最大， 故的最大值为. 16.(12分)已知过坐标原点O的一条直线与函数y＝log9x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log3x的图象交于C，D两点. (1)证明：点C，D，O在同一条直线上；(6分) (2)当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标.(6分) (1)证明　如图，设点A(x1，log9x1)，B(x2，log9x2)， 则C(x1，log3x1)，D(x2，log3x2). 由A，O，B三点共线，知kOA＝kOB， 所以， 即， 所以， 即kOC＝kOD. 所以点C，D，O在同一条直线上. (2)解　当直线BC的斜率为0时，BC∥x轴， 则log9x2＝log3x1， 即log3x2＝log3x1，所以x2＝. 由(1)知， 所以，解得x1＝2， 所以点A的坐标为(2，log92). 学科网（北京）股份有限公司 $