第1章 1.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的概念及线性运算核心知识点，通过平面向量到空间向量的推广，系统梳理空间向量的定义、特殊向量（零向量、单位向量等）及加法、减法、数乘运算，构建共线问题应用的学习支架。 以滑翔伞运动情境引入培养数学眼光，通过问题链引导与正方体、平行六面体模型训练数学思维，符号语言表达提升数学语言能力。课中例题与跟踪训练助力理解，课后对点练帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 学习目标　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念.2.掌握空间向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义.3.掌握空间向量线性运算的应用. 导语 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔伞运动呢？ 一、空间向量的概念 问题1　你还记得平面向量中有哪些与向量相关的概念？ 提示　①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量称为向量；②画法：用有向线段AB画出来；③表示方法：或a(书写时用带箭头的小写字母表示)；④零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的；⑤单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；⑥相等的向量：在平面中方向相同且大小相等的向量称为相等的向量；⑦相反向量：在平面中大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量. 知识梳理 1.空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的模(或长度).空间向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，记为0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a大小相等、方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线) 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小，空间向量的模可以比较大小. (3)零向量的方向是任意的. (4)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为0时，不具有传递性. (5)已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c. 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.空间向量就是空间中的一条有向线段 C.若向量，满足||>||，则> D.相等的向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量的长度相等，方向不确定，故A错误； B中，零向量不能用有向线段表示，故B错误； C中，向量不能比较大小，故C错误； D中，由相等的向量定义可知，D正确. (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 答案　 BC 解析　A为假命题，根据相等的向量的定义知，两向量为相等的向量，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等的向量、向量共线、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中： (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模. 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个. (2)向量的相反向量为，，，. (3)||＝ ＝＝3. 二、空间向量的加减法运算 问题2　同学们，你们还记得平面向量的运算法则吗？ 提示　①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则或向量加法的平行四边形法则，记为a＋b；几何意义：(图略).a＋b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边所对应的向量或以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线所对应的向量；口诀为：首尾相连，首向量的起点指向末向量的终点或相同起点对角线所对应向量.②向量减法的三角形法则：记为a－b，几何意义：(图略).a－b表示以a与b为邻边的平行四边形的另一条对角线所对应向量，口诀：共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量. 知识梳理　空间向量的加减法运算 加法 运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0 图形叙述 平行 四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋…＋. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋…＋＝0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 例2　(1)(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A. B. C. D. 答案　AB 解析　A中， ＝； B中，； C中， ＝≠； D中，≠. (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是(　　) A. B. C.||＋||＝|| D.||－||＝|| 答案　B 解析　根据空间向量的加减法运算， 对于A，恒成立； 对于C，当，方向相同时， 有||＋||＝||； 对于D，当，方向相同且||≥||时， 有||－||＝||； 对于B，由向量减法可知， 又为非零向量， 所以B一定不成立. 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)； (2). 解　(1)，如图中向量. (2)连接GF，则，如图中向量. 三、空间向量的数乘运算 问题3　平面中是如何表示a＋a＋a的？ 提示　在平面中a＋a＋a＝3a，我们称为向量的数乘运算，其结果仍是一个向量. 知识梳理　空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量 几何 意义 λ>0 且a≠0 λa与向量a的方向相同 |λa|＝|λ|·|a| λ<0 且a≠0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 或a＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定共线. (4)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算. 例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝a＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)∵N是BC的中点， ∴＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)∵M是AA1的中点， ∴ ＝－a＋a＋b＋c. 延伸探究1　若本例条件不变，试用a，b，c表示向量. 解　因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 所以＋(－)＋＝－a＋b－c. 延伸探究2　若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何表示？ 解　 ＝a＋b＋c. 反思感悟　(1)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，运用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)空间向量线性表示的常用结论 ①； ②在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有； ③若O为空间中任意一点，则 (i)点P是线段AB中点的充要条件是)； (ii)若G为△ABC的重心，则). 四、空间向量线性运算的应用：共线问题 例4　设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝　　　　.  答案　1 解析　＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以λ＝7且λk＝k＋6，解得k＝1. 反思感悟　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数λ，使＝λ成立. (2)对空间任一点O，有＋t(t∈R). (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1). 跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线. 证明　设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，， 所以，， 所以b，) ＝)＝a＋b－c. 所以a－b－c ＝. 又＝－b－c＋a＝a－b－c，所以，所以E，F，B三点共线. 1.知识清单： (1)向量的相关概念. (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)向量线性运算的应用. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 1.(多选)下列命题中，是真命题的是(　　) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等的向量或相反向量. 2.化简所得的结果是(　　) A. B. C.0 D. 答案　C 解析　＝0. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是(　　) A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 答案　A 解析　∵， ∴. ∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若＋x＋y，则x＝　　　　，y＝　　　　.  答案　－　－ 解析　由图可知， 因为 ＝) ＝， 所以x＝y＝－. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A.a＝b B.a＋b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|＝3 答案　D 解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反. 2.下列说法中正确的是(　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.在数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有 答案　C 解析　对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；对于B，的充要条件是||＝||，且，同向.但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误. 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 答案　C 解析　由正方体的性质可得，，由图形(图略)易知，，共面. 4.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　由向量加法知＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2，又，有公共点B，故A，B，D三点共线. 5.如图，在三棱锥O－ABC中，设＝a，＝b，＝c，若，＝2，则等于(　　) A.a＋b－c B.－a－b＋c C.a－b－c D.－a＋b＋c 答案　A 解析　连接OM，ON(图略)，)－()＝)－)－) ＝a＋b－c. 6.(多选)已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，则下列选项中正确的有(　　) A. B. C. D. 答案　ABC 解析　作出平行六面体ABCD－A'B'C'D'如图所示，可得，故A正确；，故B正确；C显然正确； ， 故D不正确. 7.(5分)已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，则λ＋m＋n＝　　　　.  答案　0 解析　因为λ≠0，所以＝－.由A，B，C三点共线得－＝1，所以λ＋m＋n＝0. 8.(5分)已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则)＝　　　　.  答案　 解析　如图所示.∵G是CD的中点， ∴)＝， ∴) ＝. 9.(10分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)；(3分) (2)；(4分) (3).(3分) 解　(1). (2)因为M是BB1的中点，所以. 又， 所以. (3).向量，，如图所示. 10.(10分)如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＋x＋y，求x，y的值. 解　∵ ＝ ＝－＝－) ＝－) ＝－) ＝， 又＋x＋y， ∴x＝，y＝－. 11.在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则的化简结果为(　　) A.0 B. C. D. 答案　A 解析　延长DE，交BC于点F(图略)，则F为BC的中点，所以，， 所以 ＝＝0. 12.(多选)已知正方体ABCD－A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有(　　) A.与是一对相等向量 B.与是一对相等向量 C.与是一对相反向量 D.与是一对相反向量 答案　BCD 解析　如图所示，＝－，＝－， 所以＝－()，故是一对相反向量，A错误； ，，而，故是一对相等向量，B正确； 又＝－，＝－， 所以 ＝－()， 故是一对相反向量，C正确； ，＝－，故是一对相反向量，D正确. 13.(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且，，则(　　) A. B. C. D.四边形EFGH是梯形 答案　ABD 解析　∵E，H分别是AB，AD的中点，∴，，∴EH是△ABD的中位线，则，又)＝，故A正确；×，故B正确；显然直线EF和直线HG相交，故C不正确；∵，，∴FG∥BD∥EH，且FG≠EH，又直线EF与HG相交，∴四边形EFGH是梯形，故D正确. 14.(5分)如图所示，P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　.  答案　 解析　因为P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点， 所以) ＝ ＝ ＝， 所以x＝，y＝，z＝， x＋y＋z＝. 15.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，则下列选项正确的为(　　) A.(a＋b＋c) B.(a＋2b＋c) C.a＋b＋c D.a＋b＋c 答案　AD 解析　因为P是CA1的中点，所以)＝)＝(a＋b＋c)，故A正确，B错误；因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，所以)＝)＋a＋b＋c，故C错误，D正确. 16.(11分)在平面四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝λ，则有. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；(6分) (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示.(5分) 解　(1)在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝λ， 则有.证明如下： ＝)＋) ＝ ＝. (2)由(1)的结论可得 ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $