第1章 1.2.5 空间中的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“空间中的距离”核心知识点，系统梳理两点间距离、点线距、点面距、线面距和面面距的求解方法。从几何法过渡到向量法（基底表示求模）和坐标法（建系用公式），通过平行六面体棱长计算等例题及跟踪训练搭建学习支架，帮助学生逐步掌握距离求解逻辑。 资料以生活实例（如同学间距离、与黑板距离）引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过向量运算和坐标推理发展数学思维，如点面距用法向量公式推导体现逻辑推理。课中例题解析助力教师高效授课，课后跟踪训练和练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升应用意识。

1.2.5　空间中的距离 学习目标　掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距、点面距、线面距和面面距. 导语 同学们，生活中的距离问题非常常见，比如，任意两个同学之间的距离、每一个同学与黑板之间的距离、体育课上同学们和旗杆之间的距离等等，这些反映到我们数学上，实际上就是空间点、线、面之间的距离问题，今天我们就具体探究解决这些距离问题的方法. 一、空间中两点之间的距离 问题1　求空间两点之间的距离有哪些方法？ 提示　方法一：(几何法)通过把空间两点放到三角形中去，然后利用正弦定理或余弦定理求长度. 方法二：(向量法)选取空间向量的一组基底，要求该组基底的模已知，夹角已知，然后用基底表示目标向量，求模即可. 方法三：(坐标法)建系，写出相关点的坐标，利用公式即可. 知识梳理 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解. 例1　(课本例1)如图所示，已知ABCD－A'B'C'D'是平行六面体，AD＝3，AB＝4，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，求AC'的长. 解　由已知可得，，不共面，而且||＝3，||＝4，||＝5， 从而·＝0， ·＝3×5×cos 60°＝7.5， ·＝4×5×cos 60°＝10. 又因为， 所以||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝32＋52＋42＋2×7.5＋2×10＝85， 因此||＝，即所求长为. 例1　如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，有AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为(　　) A. B. C.2 D. 答案　B 解析　因为，||＝||＝||＝1，且···＝0，所以＝()2＝3，即AE的长为. 反思感悟　计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝求解. (2)用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时. 跟踪训练1　如图，正方形ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上.若CM＝BN＝，求MN的长. 解　建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1，0，0)，F(1，1，0)，C(0，0，1). ∵CM＝BN＝， 且四边形ABCD，ABEF为正方形， ∴M，N， ∴， ∴||＝，即MN＝. 二、点到直线的距离 问题2　求空间点到直线的距离有哪些方法？ 提示　方法一：(几何法)利用等面积法求点到直线的距离. 方法二：(坐标法)如图. 先求出垂足B的坐标，则|AB|即为点A到直线l的距离. 知识梳理 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 注意点：(1)点到直线的距离公式d＝，其中A为直线外一点，为直线的任一方向向量；(2)空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离. 例2　(课本例2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求点C1到直线BD1的距离. 解　以D为原点，，， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)， 因此＝(－1，－1，1). 设E满足＝λ且C1E⊥BD1，则 ＋λ＝(1，1，0)＋λ(－1，－1，1)＝(1－λ，1－λ，λ)， 即E(1－λ，1－λ，λ)，所以＝(1－λ，－λ，λ－1). 又因为C1E⊥BD1，所以·＝0，即 (－1)×(1－λ)＋(－1)×(－λ)＋1×(λ－1)＝0， 解得λ＝，因此，从而可知点C1到直线BD1的距离为||＝. 例2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 解　方法一　 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图. 令DA＝2，则A(2，0，0)， E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1). 设点M满足＝λ且AM⊥EF， 令M(x，y，z)，∴(x－1，y，z－2)＝λ(1，－2，1)， ∴x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2， ∴M(λ＋1，－2λ，λ＋2)， ∴＝(λ－1，－2λ，λ＋2)， ∵AM⊥EF，∴·＝λ－1＋4λ＋λ＋2＝0， 解得λ＝－.∴， ∴||＝， ∴点A到直线EF的距离为. 方法二　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图.设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， ＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2). ∴||＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影长度为. ∴点A到直线EF的距离 d＝. 反思感悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量. (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影. (4)利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 跟踪训练2　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离. 解　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，而＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝ ＝. 三、点到平面的距离 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度. 如图，A为平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝. 例3　(课本例3)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝1.求点D到平面PBC的距离. 解　依题意，AB，AD，AP是两两互相垂直的.以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 所以＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)， ＝(0，1，－1). 设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝1，则得x＝1，y＝0，此时n＝(1，0，1). 因为， 所以点D到平面PBC的距离为. 例3　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离. 解　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则G(0，0，2)， E(4，－2，0)，F(2，－4，0)，B(4，0，0)， ∴＝(4，－2，－2)， ＝(2，－4，－2)，＝(0，－2，0). 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z). 由得 ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1，1，－3). ∴点B到平面EFG的距离d＝ ＝. 反思感悟　利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 跟踪训练3　正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离. 解　如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(0，2，1)， F(1，0，2)，G(2，1，0)， ∴＝(1，－2，1)， ＝(2，－1，－1)， ＝(0，－1，0). 设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量， 则∴ ∴x＝y＝z，可取n＝(1，1，1)， ∴d＝， 即点A到平面EFG的距离为. 四、直线到平面的距离、平面到平面的距离 1.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. 2.当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. 3.与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线. 公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段. 公垂线段的长即为两个平行平面之间的距离. 4.直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离. 例4　(课本例4)已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，判断直线AC与平面EMN的关系.如果平行，求出AC与平面EMN之间的距离；如果不平行，说明理由. 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由正方体的棱长为2个单位长度，有M(1，0，0)，E(2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)， 所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0). 设平面EMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝1，则得n＝(－1，－1，1). 因为·n＝(－2)×(－1)＋2×(－1)＋0×1＝0， 所以⊥n，又因为点A显然不在平面EMN内，所以AC与平面EMN平行. 又因为＝(1，0，0)，所以， 因此点A到平面EMN的距离为，这也是AC与平面EMN之间的距离. 例4　在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离. 解　如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则A1(1，0，2)，A(1，0，0)， E(0，，1)，C(0，，0). 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1，2，0)， ∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1). 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1). ∵＝(0，0，2)， ∴直线A1B1与平面ABE的距离 d＝. 反思感悟　(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可. 跟踪训练4　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离. 解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)， ＝(－1，0，0). 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1). ∴点D1到平面A1BD的距离 d＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 1.知识清单： (1)空间中两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到面的距离. (4)直线到平面、平面到平面的距离. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：线到平面、平面到平面的距离，前提是线与面平行、平面与平面平行，并不是所有的线面、面面都有距离. 1.已知空间两点A，B的坐标分别为(1，1，1)，(2，2，2)，则A，B两点的距离为(　　) A.3 B.3 C. D. 答案　C 解析　AB＝||＝. 2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) A.a B. C. D. 答案　D 解析　方法一　连接BD，交AC于点O(图略)， 则D1O＝为所求. 方法二　如图建立空间直角坐标系， 易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)， 取a＝＝(－a，0，2a)， u＝， 则点D1到直线AC的距离为 . 3.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 答案　A 解析　方法一　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，易知＝(－2，2，0)为平面B1D1DB的一个法向量.又＝(2，0，0)， 所以A1A到平面B1D1DB的距离为. 方法二　由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离.连接A1C1(图略)，交B1D1于O1，A1O1即为所求. 由题意可得A1O1＝A1C1＝. 4.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B.1 C. D.2 答案　A 解析　∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)， ＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)， ∴点A到直线BC的距离为 d＝. 2.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1).已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离为(　　) A. B.2 C.4 D.2 答案　D 解析　d＝＝2. 3.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，AD的中点，则平面PAB与平面CMN之间的距离为(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　B 解析　∵在△PAD中，M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA， ∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴MN∥平面PAB.又AN∥BC，且AN＝BC＝1， ∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB. 又CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CN∥平面PAB，又CN∩MN＝N， ∴平面CMN∥平面PAB， 又AD⊥AB，AD⊥PA，且AB∩PA＝A， ∴AD⊥平面PAB，AD⊥平面CMN， ∴线段AN为平面PAB与平面CMN的公垂线段，且AN＝1， ∴平面PAB与平面CMN之间的距离为1. 4.如图，已知直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　C 解析　由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0). 以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，6，0)，A1(2，0，t)，B1(0，6，t)， 则D(1，3，t)，所以＝(－2，6，－t)，＝(1，3，t)， 所以·＝－2＋18－t2＝0，所以t＝4. 5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)， E(2，0，1)，F(2，2，1)， 所以＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1). 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，0，2)为平面D1EF的一个法向量， ∴点G到平面D1EF的距离 d＝. 6.(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的可能取值为(　　) A. B.3 C. D.3 答案　ABC 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以＝(－3，－3，3)，＝(3，0，0)，＝(－2，－2，2)，＝(－1，－1，1)，所以＝(2，2，1)，＝(1，－2，－1).所以PA＝PC＝PB1＝，PD＝PA1＝PC1＝＝3，PB＝，PD1＝＝2，故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2. 7.(5分)如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且它们所在的平面互相垂直，AB＝2BE＝4，M为对角线AC上的一个定点，且3AM＝MC，则点M到直线BF的距离为　　　　. 答案　 解析　如图，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)， F(4，2，0)， C(0，0，4)，A(4，0，0)， 因为3AM＝MC， 所以， 所以＝(4，2，0)，＝(4，0，0)＋(－4，0，4)＝(3，0，1)， 令a＝＝(3，0，1)， u＝， 所以a2＝10，a·u＝， 则点M到直线BF的距离为. 8.(5分)如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为　　　　. 答案　 解析　如图，取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)， C(0，1，2)，从而＝(0，0，2)， ＝(1，1，0)，＝(0，2，2). 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令y＝1，则x＝－1，z＝－1，所以n＝(－1，1，－1)为平面ACE的一个法向量，故点D到平面ACE的距离d＝. 9.(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D. (1)求BP的长；(6分) (2)求点P到平面EC1D的距离.(4分) 解　(1)以A1为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，0，1)，D(0，2，1)，F(1，1，1)，E(0，1，0)，C1(1，2，0)， ＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，2，0)，设＝λ，λ∈[0，1]， 则＝(－λ，2λ，0)， ∴P(1－λ，2λ，1)，＝(λ，1－2λ，0). 设平面EC1D的法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1， 得n＝(1，－1，1). ∵PF∥平面EC1D， ∴·n＝λ－1＋2λ＝0， 解得λ＝.∴P， ∴||＝. (2)由(1)得平面EC1D的法向量n＝(1，－1，1)，， ∴点P到平面EC1D的距离d＝. 10.(11分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离；(6分) (2)求直线AC到平面PEF的距离.(5分) 解　(1)建立以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示. 则D(0，0，0)，P(0，0，1)， A(1，0，0)，C(0，1，0)， E，F， ，， . 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)， 所以点D到平面PEF的距离 d＝. (2)因为， 所以点A到平面PEF的距离 d＝. 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF， 所以AC∥平面PEF， 所以AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，为. 11.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)， C(0，1，0)，C1(0，1，2). 根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0，1]， 点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0，1]， 则PQ＝ ＝ ＝， 当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值. 12.(多选)已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，则下列说法中正确的是(　　) A.AC∥平面EMN B.AC与平面EMN相交但不垂直 C.点A到平面EMN的距离为 D.AC到平面EMN的距离为 答案　ACD 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由正方体的棱长为2，则M(1，0，0)，E(2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0). 所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0). 设平面EMN的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则n＝(－1，－1，1). 因为·n＝(－2)×(－1)＋2×(－1)＋0×1＝0， 所以⊥n，又因为点A∉平面EMN. 所以AC∥平面EMN，故A正确，B不正确； 因为＝(－1，0，0)， 所以点A到平面EMN的距离 d＝. 又AC∥平面EMN，所以AC到平面EMN的距离也为，故C，D正确. 13.(5分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为　　　　.  答案　 解析　如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC， 则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. ∵AO1∥OC1，OB∥O1B1， AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O， ∴平面AB1O1∥平面BC1O， ∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离即为点O1到平面BC1O的距离. ∵O(0，0，0)，B(，0，0)，C1(0，1，2)，O1(0，0，2)， ∴＝(，0，0)，＝(0，1，2)，＝(0，0，2)， 设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量， 则即 ∴可取n＝(0，2，－1). 记点O1到平面BC1O的距离为d， 则d＝， ∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为. 14.(5分)如图，某正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C，D到平面α的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为　　　　. 答案　48π 解析　设正方体的棱长为a，取{，，}作为空间向量的一组基底，设单位向量n是平面α的一个法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得n＝x＋y＋z. 由题意，在n上的投影向量的长度为， 所以n·⇒(x＋y＋z)·⇒xa2＝⇒x＝， 同理y＝，z＝.所以|n|＝， 又|n|＝1，所以a＝4. 所以正方体外接球半径为r＝a＝2. 所以外接球表面积为S＝4πr2＝4π×(2)2＝48π. 15.(5分)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为　　　　　　　　. 答案　 解析　如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB， 显然射线AB，Ay，AA1两两垂直， 以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 因为正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C1， 所以＝(1，0，1)，， 因为动点P在线段AB1上， 则令＝t＝(t，0，t)，0≤t≤1， 即点P(t，0，t)，所以＝(t－1，0，t)， 则||2＝(t－1)2＋t2＝2t2－2t＋1， 从而(t＋1)， 因此点P到直线BC1的距离 d＝ ＝ ＝≥， 当且仅当t＝时取等号， 所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为. 16.(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 解　假设存在点E满足题意.以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2，0，0)，A1(2，0，2)， D(0，0，1)，B(0，2，0)， ＝(0，0，2)，＝(2，－2，2). 设＝λ，λ∈(0，1)， 则E(2λ，2(1－λ)，2λ)， ＝(－2，0，1)， ＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则即 取x＝1，则y＝，z＝2， 即n＝为平面AED的一个法向量. 因为点A1到平面AED的距离 d＝，所以， 又λ∈(0，1)，所以λ＝. 故存在点E，且当点E为A1B的中点时， 点A1到平面AED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $