第1章 1.1.3 第1课时 空间向量的坐标与运算（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示、坐标运算及平行垂直关系，通过“三力拉巨石”的实际情境导入，衔接平面向量坐标运算知识，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生构建空间向量的认知框架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合单位正交基底概念辨析、坐标运算公式推导及夹角求解步骤归纳，培养学生数学抽象与逻辑推理能力。通过分层例题与跟踪训练，强化数学运算素养，课堂小结系统梳理知识清单与方法，助力学生形成结构化认知，也为教师提供清晰的教学路径与丰富的练习资源。

第1课时 空间向量的坐标与运算 第一章　 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 <<< 1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示. 2.掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题. 3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系. 学习目标 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示. 导 语 一、空间中向量的坐标 二、空间向量的运算与坐标的关系 课时对点练 三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 随堂演练 内容索引 空间中向量的坐标 一 提示　p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标.实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标. 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？ 问题1 空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是 ，而且这三个向量 ，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的 . (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝ ，其中x，y，z都称为p的 . 单位向量 两两垂直 单位正交分解 (x，y，z) 坐标分量 知识梳理 (1)零向量的坐标为(0，0，0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 注 意 点 <<< 8 　(课本例1)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)p＝2e1＋3e2＋e3； 例 1 p＝(2，3，1). 解 (2)q＝－e1＋e2－2e3； q＝(－1，1，－2). 解 9 (3)r＝－2e2－e3； r＝(0，－2，－1). 解 (4)0. 因为0＝0e1＋0e2＋0e3，所以0＝(0，0，0). 解 10 　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是 A.若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3) B.若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2) C.若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1) D.若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3) 例 1 √ A中，p＝(2，－1，3)； B中，q＝(－1，2，0)； C中，r＝(1，3，－1)； D中，s＝(0，－3，0). 解析 11 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z). 反 思 感 悟 12 　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标. 跟踪训练 1 a＝(3，2，－1)；b＝(－1，0，3). 解 13 二 空间向量的运算与坐标的关系 提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝等. 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？ 问题2 空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b ______________________ 加法 a＋b _______________________ 线性运算 μa＋vb _____________________________ 数量积 a·b ________________ x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) x1x2＋y1y2＋z1z2 知识梳理 向量运算 向量表示 坐标表示 模 |a|＝ ___________________ 夹角 cos〈a，b〉＝ _________________________ 　(1)(课本例2)已知a＝(－2，3，5)，b＝(3，－3，2)，求下列向量的坐标： ①a－b； 例 2 a－b＝(－2，3，5)－(3，－3，2)＝(－2－3，3＋3，5－2)＝(－5，6，3). 解 ②2a＋b； 2a＋b＝2(－2，3，5)＋(3，－3，2)＝(－4，6，10)＋(3，－3，2) ＝(－1，3，12). 解 18 ③－5b. －5b＝－5(3，－3，2)＝(－15，15，－10). 解 19 (2)(课本例3)已知a＝(1，0，1)，b＝(2，－2，0)，求〈a，b〉. 因为a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2， |a|＝ |b|＝＝2 所以cos〈a，b〉＝ 因此〈a，b〉＝60°. 解 20 (1)向量a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，则a＋6b－8c＝　 　　　. a＋6b－8c ＝(2，0，5)＋6(3，1，－2)－8(－1，4，0) ＝(2，0，5)＋(18，6，－12)－(－8，32，0) ＝(28，－26，－7). 解析 例 2 (28，－26，－7) 21 (2)已知向量a＝(－4，2，4)，b＝(－6，3，－2). ①求|a|； ∵a＝(－4，2，4)， ∴|a|＝＝6. 解 22 ②求向量a与b夹角的余弦值. ∵a＝(－4，2，4)，b＝(－6，3，－2)， ∴a·b＝(－4，2，4)·(－6，3，－2) ＝24＋6－8＝22， 又∵|a|＝6，|b|＝＝7， ∴cos〈a，b〉＝. 故a与b. 解 23 求两向量夹角的步骤 反 思 感 悟 24 (1)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝　　 　　　，b＝　　 　　　，a·b＝ 　. 跟踪训练 2 (1，，) (1，0，) 4 a＋b＝(22 a－b＝(00)， ∴a＝(1b＝(1，0 ∴a·b＝1＋0＋3＝4. 解析 25 (2)已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝　　　　. － ∵a·b＝2k，|a|＝|b|＝ ∴cos〈a，b〉＝＝－ ∴k<0 解得k2＝39，∴k＝－. 解析 26 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 三 提示　a∥b⇔b＝λa⇔当x1，y1都不为0时，有＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数. 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？ 问题3 提示　a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔cos 90°＝＝0⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？ 问题4 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0). (1)空间向量的平行： a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔. (2)空间向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔ . x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 知识梳理 角度1　求参数 (1)已知向量a＝(x，2，－1)，b＝(2，4，－2)，如果a∥b，那么x等于 A.－1 B.1 C.－5 D.5 例 3 √ ∵向量a＝(x，2，－1)，b＝(2，4，－2)，a∥b， ∴ 解得x＝1. 解析 31 (2)已知向量a＝(3，1，1)，b＝(x，－3，0)，且a⊥b，则x等于 A.－3 B.－1 C.1 D.3 √ 因为向量a＝(3，1，1)，b＝(x，－3，0)，且a⊥b， 所以a·b＝3x＋1×(－3)＋1×0＝0，解得x＝1. 解析 32 角度2　平行、垂直的综合问题 　已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，求λ与m的值； 例 4 ∵a∥b， ∴ 解得λ＝m＝3. 解 33 (2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. |a|＝ 解得λ＝－1或λ＝. ① 又∵a⊥c，∴a·c＝0， 即(λ＋1)×2＋1×(－2λ)＋2λ·(－λ)＝0， 解得λ＝±1. ② 由①②得，λ＝－1. 故a＝(0，1，－2). 解 34 (1)关于向量平行与垂直问题的主要题型： ①平行与垂直的判断； ②利用平行与垂直求参数或解决其他问题； ③平行与垂直的综合应用. (2)解题时要注意以下几点： ①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程； ②选择坐标形式以简化运算. 反 思 感 悟 35 已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5). (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； 跟踪训练3 λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)，当(λa＋b)∥(a－3b)时， 存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)， λ＝－. 解 36 (2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值. 当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0， 所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 解得λ＝. 解 37 1.知识清单： (1)空间中向量的坐标. (2)空间向量的坐标运算. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区： (1)正确运用坐标表示空间的向量以及向量的运算. (2)向量坐标与点的坐标书写时的规范性. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于 A.(16，0，4) B.(8，－16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4) √ 4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0) ＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4). 解析 1 2 3 4 2.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为 A.0 B. C. D.π √ ∵cos〈a，b〉＝＝0， 〈a，b〉∈[0，π].∴〈a，b〉＝. 解析 1 2 3 4 3.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于 A.5 B.4 C.3 D.2 λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)， 由已知得|λa＋b|＝ 且λ>0，解得λ＝3. 解析 √ 4.已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝　　　. ∵a∥b，∴a＝tb， ∴ ∴λ＋μ＝. 解析 1 2 3 4 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A D C －2 题号 11 12 13 14 15 答案 ABC AC ∪ 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a∥by≠0， 解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1). 又由b⊥c得b·c＝0， 故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0， 得z＝2，此时c＝(3，－2，2). a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝－. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵＝(－2，－1，3＝(1，－3，2)， ∴||＝ ||＝ ∴cos∠BAC＝ ∵0°≤∠BAC≤180°，∴∠BAC＝60°， ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积 S＝××sin 60°＝7. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设a＝(x，y，z). ∵a⊥a⊥|a|＝ ∴ ∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)a＝(3，－4，2)，故||a||＝max{3，4，2}＝4， a＋b＝(0，－3，2)，故||a＋b||＝max{0，3，2}＝3. (2)a－c＝(3－x，2x－4，x－3)， 于是||a－c||＝max{|3－x|，|2x－4|，|x－3|} ＝max{|x－3|，|2x－4|}＝ 由一次函数的单调性可知， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x＝||a－c||min＝. (3)||a＋b||＝max{|x1＋x2|，|y1＋y2|，|z1＋z2|}≤max{|x1|＋|x2|，|y1|＋|y2|，|z1|＋|z2|}， 因为||a||＝max{|x1|，|y1|，|z1|}， ||b||＝max{|x2|，|y2|，|z2|}， 所以|x1|，|y1|，|z1|≤||a||， |x2|，|y2|，|z2|≤||b||， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|x1|＋|x2|≤||a||＋||b||， |y1|＋|y2|≤||a||＋||b||， |z1|＋|z2|≤||a||＋||b||， 所以||a＋b||≤max{||a||＋||b||，||a||＋||b||，||a||＋||b||}＝||a||＋||b||. 基础巩固 1.已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为 A.(－1，1，－1) B.(－1，1，1) C.(1，－1，－1) D.(1，－1，1) √ 根据空间向量坐标的定义， ＝(－1，1，－1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知向量a＝(2，3，1)，b＝(1，2，0)，则|a＋b|等于 A. B.3 C. D.9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，a＋b＝(3，5，1)， 故|a＋b|＝. 解析 3.已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)， 所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5. 解析 4.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为 A.(5，－1，4) B.(5，1，－4) C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4). 解析 5.已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k等于 A.－ B. C. D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4k＝－. 解析 6.已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是 A.a∥b，a∥c B.a∥b，a⊥c C.a⊥b，a∥c D.a⊥b，a⊥c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a， 所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b. 解析 7.已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的 夹角为　　. ∵a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2， 又|a|＝b＝(1，1，2)， ∴cos〈a，b〉＝ 且〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，－1，2)，若a，b，c是共面向量，则x＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1，2)＝(m－n，m，2n 解析 9.已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.求向量a，b，c及向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a∥by≠0， 解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1). 又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0， 得z＝2，此时c＝(3，－2，2). a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)， 因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝－. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知空间中两个向量＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的面积； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵＝(－2，－1，3＝(1，－3，2)， ∴||＝ ||＝ ∴cos∠BAC＝ ∵0°≤∠BAC≤180°，∴∠BAC＝60°， ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝××sin 60°＝7. 解 设a＝(x，y，z). ∵a⊥a⊥|a|＝ ∴ ∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1). 解 (2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为 A.0 B. C.9 D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)， 假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底， 则a，b，c三个向量共面， 又a与b不平行， ∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， λ＝ ∴当λ＝a，b，c三向量共面，当λ≠a，b，c三向量不共面. 即能作为一组基底. 解析 12.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则 A.PA⊥AB B.AP⊥BP C.BC＝ D.AP∥BC √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·＝0，故A正确； ＝(3，－3，－3·＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确； ＝(6，1，－4)，||＝ ＝(1，－2，1＝(6，1，－4)， 各个对应分量的比例不同，故D不正确. 解析 13.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角， 则实数t的取值范围为　　　　　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∪ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－ 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0，即3t－<0，所以t<. 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5，3，1)＝λ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t＝－ ∪. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy的最 大值为　　. 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0，即2＝2x2＋y2. 又2x2＋y2≥2xy(当且仅当y＝x时等号成立)， 所以2xy≤2， 所以xy≤. 解析 15.已知向量a＝(sin α，－cos α，1)，b＝(2cos θ，1，2sin θ)，则a·b的最大值为　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得|a|＝|b|＝a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|＝ 当且仅当cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0时等号成立， 下面验证等号可以取到： 由 ∴ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 要使a，b同向，可取cos θ＝sin θ＝ sin α＝cos α＝－＝－ 即a＝b＝b＝a. 所以a·b. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.对于空间向量m＝(a，b，c)，定义||m||＝max{|a|，|b|，|c|}，其中max{x，y，z}表示x，y，z这三个数的最大值. (1)已知a＝(3，－4，2)，b＝(－3，1，0)，写出||a||和||a＋b||的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a＝(3，－4，2)，故||a||＝max{3，4，2}＝4， a＋b＝(0，－3，2)，故||a＋b||＝max{0，3，2}＝3. 解 (2)已知a＝(3，－4，2)，c＝(x，－2x，5－x)，0≤x≤4，求||a－c||的最小值及此时x的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a－c＝(3－x，2x－4，x－3)， 于是||a－c||＝max{|3－x|，|2x－4|，|x－3|} ＝max{|x－3|，|2x－4|}＝ 由一次函数的单调性可知， 当x＝||a－c||min＝. 解 (3)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，求证：||a＋b||≤||a||＋||b||. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ||a＋b||＝max{|x1＋x2|，|y1＋y2|，|z1＋z2|} ≤max{|x1|＋|x2|，|y1|＋|y2|，|z1|＋|z2|}， 因为||a||＝max{|x1|，|y1|，|z1|}，||b||＝max{|x2|，|y2|，|z2|}， 所以|x1|，|y1|，|z1|≤||a||，|x2|，|y2|，|z2|≤||b||， 所以|x1|＋|x2|≤||a||＋||b||， |y1|＋|y2|≤||a||＋||b||， |z1|＋|z2|≤||a||＋||b||， 所以||a＋b||≤max{||a||＋||b||，||a||＋||b||，||a||＋||b||}＝||a||＋||b||. 证明 第一章　 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 <<< $