第1章 1.1.3 第1课时 空间向量的坐标与运算（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的坐标与运算核心知识点，从平面向量坐标表示切入，通过单位正交基底构建空间向量坐标体系，系统梳理线性运算、数量积的坐标表示，以及模、夹角公式和平行垂直的坐标关系，搭建从二维到三维的知识迁移支架。 该资料以“抢修队员拉巨石”情境导入，用数学眼光观察现实问题，通过平面与空间向量的类比提问链发展数学思维，例题、跟踪训练与分层对点练结合，强化符号化运算的数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标与运算 学习目标　1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示.2.掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系. 导语 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示. 一、空间中向量的坐标 问题1　平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？ 提示　p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标.实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标. 知识梳理　空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 注意点：(1)零向量的坐标为(0，0，0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 例1　(课本例1)已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)p＝2e1＋3e2＋e3；(2)q＝－e1＋e2－2e3； (3)r＝－2e2－e3；(4)0. 解　(1)p＝(2，3，1). (2)q＝(－1，1，－2). (3)r＝(0，－2，－1). (4)因为0＝0e1＋0e2＋0e3，所以0＝(0，0，0). 例1　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　) A.若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2，1，3) B.若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1，2) C.若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1，3，－1) D.若s＝－3e2，则s＝(0，0，－3) 答案　C 解析　A中，p＝(2，－1，3)；B中，q＝(－1，2，0)；C中，r＝(1，3，－1)；D中，s＝(0，－3，0). 反思感悟　在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z). 跟踪训练1　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标. 解　a＝(3，2，－1)；b＝(－1，0，3). 二、空间向量的运算与坐标的关系 问题2　在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？ 提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝等. 知识梳理　空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 例2　(1)(课本例2)已知a＝(－2，3，5)，b＝(3，－3，2)，求下列向量的坐标： ①a－b；②2a＋b；③－5b. 解　①a－b＝(－2，3，5)－(3，－3，2)＝(－2－3，3＋3，5－2)＝(－5，6，3). ②2a＋b＝2(－2，3，5)＋(3，－3，2)＝(－4，6，10)＋(3，－3，2)＝(－1，3，12). ③－5b＝－5(3，－3，2)＝(－15，15，－10). (2)(课本例3)已知a＝(1，0，1)，b＝(2，－2，0)，求〈a，b〉. 解　因为a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2， |a|＝， |b|＝＝2， 所以cos〈a，b〉＝， 因此〈a，b〉＝60°. 例2　(1)向量a＝(2，0，5)，b＝(3，1，－2)，c＝(－1，4，0)，则a＋6b－8c＝　　　　.  答案　(28，－26，－7) 解析　a＋6b－8c ＝(2，0，5)＋6(3，1，－2)－8(－1，4，0) ＝(2，0，5)＋(18，6，－12)－(－8，32，0) ＝(28，－26，－7). (2)已知向量a＝(－4，2，4)，b＝(－6，3，－2). ①求|a|； ②求向量a与b夹角的余弦值. 解　①∵a＝(－4，2，4)， ∴|a|＝＝6. ②∵a＝(－4，2，4)，b＝(－6，3，－2)， ∴a·b＝(－4，2，4)·(－6，3，－2) ＝24＋6－8＝22， 又∵|a|＝6，|b|＝＝7， ∴cos〈a，b〉＝. 故a与b夹角的余弦值为. 反思感悟　求两向量夹角的步骤 跟踪训练2　(1)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝　　　　　，b＝　　　　　，a·b＝　　　　.  答案　(1，，)　 (1，0，)　4 解析　a＋b＝(2，，2)， a－b＝(0，，0)， ∴a＝(1，，)，b＝(1，0，)， ∴a·b＝1＋0＋3＝4. (2)已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝　　　　.  答案　－ 解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝＝－， ∴k<0，且， 解得k2＝39，∴k＝－(正值舍去). 三、空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 问题3　已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？ 提示　a∥b⇔b＝λa⇔当x1，y1都不为0时，有＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数. 问题4　已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？ 提示　a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔cos 90°＝＝0⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 知识梳理 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0). (1)空间向量的平行： a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔. (2)空间向量的垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 角度1　求参数 例3　(1)已知向量a＝(x，2，－1)，b＝(2，4，－2)，如果a∥b，那么x等于(　　) A.－1 B.1 C.－5 D.5 答案　B 解析　∵向量a＝(x，2，－1)，b＝(2，4，－2)，a∥b， ∴， 解得x＝1. (2)已知向量a＝(3，1，1)，b＝(x，－3，0)，且a⊥b，则x等于(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 答案　C 解析　因为向量a＝(3，1，1)，b＝(x，－3，0)，且a⊥b， 所以a·b＝3x＋1×(－3)＋1×0＝0，解得x＝1. 角度2　平行、垂直的综合问题 例4　已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2). (1)若a∥b，求λ与m的值； (2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解　(1)∵a∥b， ∴， 解得λ＝，m＝3. (2)|a|＝， 解得λ＝－1或λ＝. ① 又∵a⊥c，∴a·c＝0， 即(λ＋1)×2＋1×(－2λ)＋2λ·(－λ)＝0， 解得λ＝±1. ② 由①②得，λ＝－1. 故a＝(0，1，－2). 反思感悟　(1)关于向量平行与垂直问题的主要题型： ①平行与垂直的判断； ②利用平行与垂直求参数或解决其他问题； ③平行与垂直的综合应用. (2)解题时要注意以下几点： ①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程； ②选择坐标形式以简化运算. 跟踪训练3　已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5). (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值. 解　(1)λa＋b＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)，当(λa＋b)∥(a－3b)时， 存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)， 所以解得λ＝－. (2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0， 所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 解得λ＝. 1.知识清单： (1)空间中向量的坐标. (2)空间向量的坐标运算. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区： (1)正确运用坐标表示空间的向量以及向量的运算. (2)向量坐标与点的坐标书写时的规范性. 1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　) A.(16，0，4) B.(8，－16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4) 答案　D 解析　4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0) ＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4). 2.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A.0 B. C. D.π 答案　C 解析　∵cos〈a，b〉＝＝0， 〈a，b〉∈[0，π].∴〈a，b〉＝. 3.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　λa＋b＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝， 且λ>0，解得λ＝3. 4.已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，且a∥b，则λ＋μ＝　　　　.  答案　 解析　∵a∥b，∴a＝tb， ∴解得 ∴λ＋μ＝. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为(　　) A.(－1，1，－1) B.(－1，1，1) C.(1，－1，－1) D.(1，－1，1) 答案　A 解析　根据空间向量坐标的定义， 知＝(－1，1，－1). 2.已知向量a＝(2，3，1)，b＝(1，2，0)，则|a＋b|等于(　　) A. B.3 C. D.9 答案　C 解析　由题意可得，a＋b＝(3，5，1)， 故|a＋b|＝. 3.已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)， 所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5. 4.已知向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　) A.(5，－1，4) B.(5，1，－4) C.(－5，1，4) D.(－5，－1，4) 答案　A 解析　向量a＝(3，5，－1)，b＝(2，2，3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c＝(3，5，－1)－(2，2，3)＋4(1，－1，2)＝(5，－1，4). 5.已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　D 解析　ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则，解得k＝－. 6.已知向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A.a∥b，a∥c B.a∥b，a⊥c C.a⊥b，a∥c D.a⊥b，a⊥c 答案　C 解析　因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a， 所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b. 7.(5分)已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为　　　　.  答案　 解析　∵a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2， 又|a|＝，b＝(1，1，2)， ∴cos〈a，b〉＝， 且〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为. 8.(5分)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，－1，2)，若a，b，c是共面向量，则x＝　　　　.  答案　－2 解析　由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1，2)＝(m－n，m，2n)，即解得 9.(10分)已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.求向量a，b，c及向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值. 解　因为a∥b，所以，且y≠0， 解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1). 又由b⊥c得b·c＝0， 故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0， 得z＝2，此时c＝(3，－2，2). a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)， 因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝－. 10.(11分)已知空间中两个向量＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的面积；(5分) (2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标.(6分) 解　(1)∵＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， ∴||＝， ||＝， ∴cos∠BAC＝， ∵0°≤∠BAC≤180°，∴∠BAC＝60°， ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝××sin 60°＝7. (2)设a＝(x，y，z). ∵a⊥，a⊥，且|a|＝， ∴即 解得或 ∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1). 11.(多选)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为(　　) A.0 B. C.9 D. 答案　ABC 解析　∵a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)， 假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底， 则a，b，c三个向量共面， 又a与b不平行， ∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 即解得λ＝， ∴当λ＝时，a，b，c三向量共面，当λ≠时，a，b，c三向量不共面.即能作为一组基底. 12.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则(　　) A.PA⊥AB B.AP⊥BP C.BC＝ D.AP∥BC 答案　AC 解析　因为·＝0，故A正确； ＝(3，－3，－3)，·＝3＋6－3＝6≠0， 故B不正确； ＝(6，1，－4)，||＝，故C正确；＝(1，－2，1)，＝(6，1，－4)， 各个对应分量的比例不同，故D不正确. 13.(5分)已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　∪ 解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b<0，即3t－<0，所以t<. 若a与b的夹角为180°， 则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5，3，1)＝λ， 所以所以t＝－，故实数t的取值范围是∪. 14.(5分)已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1，2，1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为　　　　.  答案　 解析　由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0， 即2＝2x2＋y2. 又2x2＋y2≥2xy(当且仅当y＝x时等号成立)， 所以2xy≤2， 所以xy≤，即xy的最大值为. 15.(5分)已知向量a＝(sin α，－cos α，1)，b＝(2cos θ，1，2sin θ)，则a·b的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　由题意得|a|＝，|b|＝，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|＝， 当且仅当cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0时等号成立， 下面验证等号可以取到： 由， 得 ∴ 要使a，b同向，可取cos θ＝，sin θ＝， sin α＝，cos α＝－＝－， 即a＝，b＝，b＝a. 所以a·b的最大值为. 16.(12分)对于空间向量m＝(a，b，c)，定义||m||＝max{|a|，|b|，|c|}，其中max{x，y，z}表示x，y，z这三个数的最大值. (1)已知a＝(3，－4，2)，b＝(－3，1，0)，写出||a||和||a＋b||的值；(3分) (2)已知a＝(3，－4，2)，c＝(x，－2x，5－x)，0≤x≤4，求||a－c||的最小值及此时x的值；(4分) (3)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，求证：||a＋b||≤||a||＋||b||.(5分) (1)解　a＝(3，－4，2)，故||a||＝max{3，4，2}＝4， a＋b＝(0，－3，2)，故||a＋b||＝max{0，3，2}＝3. (2)解　a－c＝(3－x，2x－4，x－3)， 于是||a－c||＝max{|3－x|，|2x－4|，|x－3|} ＝max{|x－3|，|2x－4|}＝ 由一次函数的单调性可知， 当x＝时，||a－c||min＝. (3)证明　||a＋b||＝max{|x1＋x2|，|y1＋y2|，|z1＋z2|}≤max{|x1|＋|x2|，|y1|＋|y2|，|z1|＋|z2|}， 因为||a||＝max{|x1|，|y1|，|z1|}， ||b||＝max{|x2|，|y2|，|z2|}， 所以|x1|，|y1|，|z1|≤||a||， |x2|，|y2|，|z2|≤||b||， 所以|x1|＋|x2|≤||a||＋||b||， |y1|＋|y2|≤||a||＋||b||， |z1|＋|z2|≤||a||＋||b||， 所以||a＋b||≤max{||a||＋||b||，||a||＋||b||，||a||＋||b||}＝||a||＋||b||. 学科网（北京）股份有限公司 $