2.3.1 圆的标准方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“圆的标准方程”，通过“南昌之星”摩天轮情境导入，引导学生从几何要素（圆心、半径）出发，结合自我诊断夯实定义与方程基础，为典例研析中求方程、位置关系判断等题型搭建学习支架。 其特色在于以数学眼光观察现实（摩天轮问题），通过一题多解（待定系数法与几何法）培养数学思维，结合拱桥等实际应用强化数学语言表达。分层训练覆盖基础到综合，助力学生提升直观想象与运算能力，也为教师提供系统教学资源。

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 第二章　平面解析几何 1 课标要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（直观想象、数学运算）.　 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　 “南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高. 【问题】　（1）游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ （2）若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任 一点（x，y）的坐标满足什么关系？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫作圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2. 确定圆的要素是 和 ，如图所示. 定点　 定长　 圆心　 半径　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 圆的标准方程：圆心为A（a，b），半径长为r的圆的标准方程 是 ⁠. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以 为圆心、半径为r的 圆. 提醒：（1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义： 圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2. （x－a）2＋（y－b）2＝r2　 原点　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　点与圆的位置关系 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方 法： 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 ｜CM｜＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 点M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2 点M在圆内 ｜CM｜＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆. （　×　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径. （　√　） （3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4. （　×　） × √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则a的取值范围是 （　　） A. －1＜a＜1 B. a＜－1 C. a＜－1或a＞1 D. a＞1 解析：　∵点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，∴（1 －a）2＋（1＋a）2＜4，解得－1＜a＜1.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知圆的方程：（x－2）2＋（y＋8）2＝9，则圆心坐标 ⁠ ，半径为 ⁠. 4. 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是 ⁠ ⁠. 解析：圆心是（－2，0），半径是2，所以圆的方程是（x＋2）2＋y2＝4. （2，－ 8）　 3　 （x＋2）2 ＋y2＝4　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　求圆的标准方程 （链接教科书第104页例1）（1）求圆心为点C（－2，1），且过点A （2，－2）的圆的方程； 解： 将圆心（－2，1）代入圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝ r2（r＞0）， 有（x＋2）2＋（y－1）2＝r2，再将点A（2，－2）代入方程有r2＝（2＋ 2）2＋（－2－1）2＝52. 从而圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝25. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y＋1＝0上的圆的方程. 解：法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－ b）2＝r2， 则有 解得 ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由 得 即圆心坐标为（4，－3），半径r＝ ＝5. ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求圆的标准方程的方法 　　确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的 方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方 程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有 关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.三是已知圆的直 径的两端点A（x1，y1），B（x2，y2），直接写出圆的方程为（x－x1） （x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0，再化简成标准方程. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 〔一题多解〕已知点A（1，－1），B（－1，1），则以线段AB为直 径的圆的方程是（　　） A. x2＋y2＝2 B. x2＋y2＝ C. x2＋y2＝1 D. x2＋y2＝4 解析：　法一　AB的中点坐标为（0，0），｜AB｜＝ ＝2 ，所以圆的方程为x2＋y2＝2. √ 法二　以AB为直径的圆的方程为（x－1）（x＋1）＋（y＋1）（y－1） ＝0，即x2＋y2＝2. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋（y＋a）2＝1的一条对称轴，则圆心坐标 为  　. 解析：圆x2＋（y＋a）2＝1的圆心为（0，－a），因为直线2x＋y－1＝0 是圆的一条对称轴，所以圆心（0，－a）在直线2x＋y－1＝0上，所以 2×0＋（－a）－1＝0，解得a＝－1，故圆心坐标为（0，1）. （0，1） 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　点与圆的位置关系 （链接教科书第106页练习A3题）已知圆N的标准方程为（x－5）2＋ （y－6）2＝a2（a＞0）. （1）若点M（6，9）在圆上，求a的值； 解： 因为点M在圆上， 所以（6－5）2＋（9－6）2＝a2， 又a＞0，可得a＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）已知点P（3，3）和点Q（5，3），线段PQ（不含端点）与圆N有 且只有一个公共点，求a的取值范围. 解： 由两点间距离公式可得， ｜PN｜＝ ＝ ， ｜QN｜＝ ＝3. 因为线段PQ（不含端点）与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个 在圆N内，另一个在圆N外，又3＜ ，所以3＜a＜ .即a的取值范 围是（3， ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 判断点与圆的位置关系的方法 （1）确定圆的方程：化为（x－a）2＋（y－b）2＝r2； （2）将点的坐标（x0，y0）代入代数式（x－a）2＋（y－b）2，比较代 数式的值与r2的大小关系； （3）下结论：若（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2，表示点在圆上；若（x0－ a）2＋（y0－b）2＞r2，表示点在圆外；若（x0－a）2＋（y0－b）2＜ r2，表示点在圆内. 　　此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断.当d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根，则点P（a， b）与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（　　） A. 点P在圆C内 B. 点P在圆C外 C. 点P在圆C上 D. 无法确定 解析：　由题意，得a＋b＝1，ab＝－ ，∴a2＋b2＝（a＋b）2－ 2ab＝1＋2 ＜8，∴点P在圆C内. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知点P（2，1）和圆C：（x＋ ）2＋（y－1）2＝1，若点P在圆C 上，则实数a＝ ；若点P在圆C外，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：由题意，得（x＋ ）2＋（y－1）2＝1，当点P在圆C上时，（2＋ ）2＋（1－1）2＝1，解得a＝－2或－6.当点P在圆C外时，（2＋ ）2＋ （1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. －2或－6　 （－∞，－6）∪（－2，＋∞）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　圆的方程的应用 为了开发古城旅游观光，某市决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面 跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图所示的 直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程； 解：B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2， 由圆过点B、C可得 解得b＝－12，r＝20， 所以拱桥所在圆的方程是x2＋（y＋12）2＝400. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与 拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱 桥，并说出理由. 解：可设船右上角竖直方向0.5米处点 为P（4，7.5）， 代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在 圆内，故船可以通过. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 坐标法解决此类问题的“三步曲” 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱 高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度 （精确到0.01 m）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心 在y轴上.设圆心的坐标是（0，b），圆的半径 是r，那么圆的方程是x2＋（y－b）2＝r2. 因为P，B都在圆上，所以它们的坐标（0， 4），（10，0）都满足方程x2＋（y－b）2＝ r2.于是，得到方程组 解得b＝－10.5，r2＝14.52. 所以圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52. 把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得（－2）2＋（y＋10.5）2＝14.52， 即y＋10.5＝ （P2的纵坐标y＞0，平方根取正值）.所以y＝ －10.5≈14.36－10.5＝3.86（m）. 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 圆心为（－1，0），半径为5的圆的方程是（　　） A. （x＋1）2＋y2＝ B. （x＋1）2＋y2＝25 C. （x－1）2＋y2＝ D. （x－1）2＋y2＝25 解析：　因为圆心为（－1，0），半径为5，则圆的方程是（x＋1）2＋ y2＝25.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 点P（a，10）与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2的位置关系是（　　） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 解析：∵（a－1）2＋（10－1）2＝81＋（a－1）2＞2，∴点 P在圆外. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则圆C：（x＋a）2＋（y ＋b）2＝1的圆心位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞ 0，因为圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心为（－a，－b），所以 圆心位于第三象限，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 经过点（－2，0），（－2，2）且圆心在直线l：x＋y＝0上的圆的标 准方程为 ⁠. 解析：若经过点（－2，0），（－2，2），则圆心在直线y＝1上，又圆心 在直线l：x＋y＝0上，令y＝1，则x＝－1，故圆心坐标为（－1，1）， 半径为r＝ ＝ ，故所求圆的标准方程为 （x＋1）2＋（y－1）2＝2. （x＋1）2＋（y－1）2＝2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. 圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圆心坐标为（　　） A. （2，1） B. （2，－1） C. （－2，1） D. （－2，－1） 解析：　结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为（2，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知圆C的圆心为（2，－3），且过点（0，0），则圆的方程为 （　　） A. （x＋2）2＋（y－3）2＝5 B. （x－2）2＋（y＋3）2＝5 C. （x＋2）2＋（y－3）2＝13 D. （x－2）2＋（y＋3）2＝13 解析：　根据题意可设圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2（r＞ 0），因为圆C过点（0，0），所以（0－2）2＋（0＋3）2＝r2，解得r2＝ 13，所以圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线x－y＝0对称 D. 关于直线x＋y＝0对称 解析：　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆 关于直线x＋y＝0对称，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9与圆C2关于x轴对称，则C2的方 程为（　　） A. （x－1）2＋（y＋2）2＝9 B. （x＋1）2＋（y－2）2＝9 C. （x＋1）2＋（y＋2）2＝9 D. （x－2）2＋（y－1）2＝9 解析：　圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9的圆心（1，2）关于x轴对称 的点（1，－2），故圆C2的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 〔一题多解〕过点A（1，－1），B（－1，1），且圆心在直线x＋y－ 2＝0上的圆的方程是（　　） A. （x－3）2＋（y＋1）2＝4 B. （x＋3）2＋（y－1）2＝4 C. （x－1）2＋（y－1）2＝4 D. （x＋1）2＋（y＋1）2＝4 解析：　法一　设圆心C的坐标为（a，b），半径为r.因为圆心C在直 线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又｜CA｜2＝｜CB｜2，所以（a－1）2 ＋（2－a＋1）2＝（a＋1）2＋（2－a－1）2，所以a＝1，b＝1，所以r ＝2.所以方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x，由 解得 所以圆心坐标为（1，1），所以r2＝（1－1）2＋[1－（－ 1）]2＝4，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 A. （x－3）2＋（y＋1）2＝4 B. （x－1）2＋（y－1）2＝4 C. （x＋1）2＋（y＋1）2＝4 D. （x＋3）2＋（y－1）2＝4 6. 〔多选〕过点A（1，－1）与B（－1，1）且半径为2的圆的方程可以 为（　　） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为圆过点A（1，－1）与B（－1，1），所以圆心在线段 AB的垂直平分线上，其中kAB＝ ＝－1，设圆心所在的直线为l， 则kAB·kl＝－1，解得kl＝1，又因为A（1，－1）与B（－1，1）的中点 坐标为（0，0），所以直线l为y＝x，设圆心坐标为（m，m），因为半 径为2，所以圆的方程为（x－m）2＋（y－m）2＝4，代入A（1，－1） 得（1－m）2＋（－1－m）2＝4，解得m＝±1，综上圆的方程为（x－ 1）2＋（y－1）2＝4或（x＋1）2＋（y＋1）2＝4.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 已知点A（2，1），B（－2，3），C（0，1），则△ABC的外接圆方 程为 ⁠. 解析：设△ABC外接圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，因为A （2，1），B（－2，3），C（0，1）在圆上，所以 解得 因此△ABC外接圆的 方程为（x－1）2＋（y－4）2＝10. （x－1）2＋（y－4）2＝10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出圆C的一个标准 方程 ⁠. 解析：由题可知，圆C关于直线2x－y－4＝0对称，半径为1，则圆心C在 直线2x－y－4＝0上，则当x＝2时，y＝0，所以当圆心C为（2，0）时， 圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝1. （x－2）2＋y2＝1（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知圆C：（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1，当m变化时，圆C上的点 到原点的最短距离是 ⁠. 解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为（2，4－m），半径为1，圆C上的 点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即dmin＝ －1，当m＝4时，dmin最小，此时dmin＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）. （1）求周长最小的圆的方程； 解： 当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周 长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝ ｜AB｜＝ . 则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 解： 直线AB的斜率k＝ ＝－3， 即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝ x，即x－3y＋3＝0. 由 解得 即圆心的坐标是C（3，2）. ∴r2＝｜AC｜2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20. ∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 若直线l：ax＋by－5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x－3）2＋（y －2）2＝25的周长，则 ＋ 的最小值为 ⁠. 解析：∵直线l：ax＋by－5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x－3）2＋ （y－2）2＝25的周长，∴圆心C（3，2）在直线l上，可得3a＋2b＝5， 又ab＞0，∴a＞0，b＞0，则 ＋ ＝ （3a＋2b）＝ ≥ ＝5，当且仅当a＝b＝1时等号成立.∴ ＋ 的最小值为5. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 已知两点A（－1，0），B（0，2），点P是圆（x－1）2＋y2＝1上任 意一点，则△PAB面积的最大值为 　 （4＋ ）　，最小值为 　 （4－ ⁠. （4＋ ）　 （4－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：点A（－1，0），B（0，2）所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆 （x－1）2＋y2＝1的圆心到直线的距离为 ＝ ，又｜AB｜ ＝ ，所以△PAB面积的最大值为 × × ＝ （4＋ ），最 小值为 × × ＝ （4－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 已知实数x，y满足y＝ ，则t＝ 的取值范围是 　t≤－ 或 ⁠. 解析：曲线y＝ 表示x2＋y2＝9（y≥0）的上半圆， t可以看成该上半圆上的动点P（x，y）与定点A（－1， －3）连线的斜率kAP，如图所示，A（－1，－3）， B（3，0），C（－3，0），则kAB＝ ，kAC＝－ ， AQ⊥x轴，Q点在上半圆上，当动点P由Q点运动到C点时，－∞＜AP≤kAC，当动点P由B点运动到Q点时，kAB≤kAP＜＋∞，所以t≤－ 或t≥ . t≤－ 或 t≥ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 已知圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝10，直线l：x＋y－6＝0. （1）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线l1恰 好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：因为l1恰好平分圆C的圆周，所以l1经过圆心C（3，3）， 设点M（4，1）关于直线y＝－x的对称点为N（x，y）， 则直线MN与直线y＝－x垂直，且线段MN的中点在y＝－x上， 即 解得 所以N（－1，－4）， 所以直线CN即为直线l1，且 ＝kCN＝ ＝ ， 所以直线l1方程为y－3＝ （x－3），即7x－4y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若点Q在直线l上运动，A（4，0），B（0，4），求｜QA｜2＋｜ QB｜2的最小值. 解： 由点Q在直线l：x＋y－6＝0上，设Q（m，6－m），　 则｜QA｜2＋｜QB｜2＝（4－m）2＋（－6＋m）2＋（－m）2＋（4－6 ＋m）2＝4m2－24m＋56＝4（m－3）2＋20， 所以当m＝3时，｜QA｜2＋｜QB｜2取得最小值为20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $