2.2.4 点到直线的距离(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式及平行直线间距离，通过铁路仓库情境导入，先回顾点到坐标轴距离，再引导探究点到一般直线距离，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境创设与问题驱动结合，通过自我诊断、分题型典例研析及规律方法总结提升数学运算与直观想象素养，如跟踪训练一题多解培养思维。助力学生巩固基础，教师可高效开展分层教学。

2.2　直线及其方程 2.2.4　点到直线的距离 第二章　平面解析几何 1 课标要求 探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 （直观想象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 【问题】　（1）平面直角坐标系中，若点P（x0，y0），则点P到x轴， y轴的距离分别是多少？ （2）若已知直线l的方程和点P的坐标（x0，y0），如何求点P到直线l的 距离？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 提醒：使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般 式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线 的距离. 2. 在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 提示：直线方程为一般式. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　　 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离 公式就不适用了. （　×　） （2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为 . （　×　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. （　√　） （4）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离. （　×　） × × √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 原点到直线x＋2y－5＝0的距离为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 解析：　d＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为 （　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为 ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 若点A（－2，m）和B（m，4）到直线x－y－3＝0的距离相等，则m ＝ ⁠. 解析：由题意，可列式 ＝ ，得｜m＋5｜＝｜m－ 7｜，解得m＝1. 1 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　点到直线的距离 （1）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐 标为 ⁠； 解析： 设点P的坐标为（x，0），则 ＝6，解得x＝8或 x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）. （8，0）或（－12，0）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线 l的方程为 ⁠. 解析： 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点 到直线l的距离等于2；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3 ＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0，由原点到直线l的距离d＝ ＝2，得k＝－ ，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.综 上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. x＋2＝0或5x＋12y－26＝0　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式； （2）点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用； （3）直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线 是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解. 2. 若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程 求解参数即可. 3. 根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合 应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征， 然后由已知条件写出l的方程. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 〔一题多解〕点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为 （　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　法一　由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x ＋1）的距离d＝ ＝ ＝ ＝ . 当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝ ＝ ，要使d最大， 需k＞0且k＋ 最小，∴当k＝1时，dmax＝ ，故选B. 法二　记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当 AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1） 的距离最大，且最大值为｜AB｜＝ ，故选B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知点A（1，－2），B（5，6）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相 等，则实数a的值为 ⁠. 解析：∵A（1，－2），B（5，6）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等， ∴ ＝ ，解得a＝－2或a＝－1. －2或－1　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　两平行线间的距离 （1）已知直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－（m＋1）y＋1－m ＝0平行，则l1与l2之间的距离为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： ∵直线l1与l2平行，∴ ＝ ≠ ，解得m＝7.∴l2的方程 为3x－4y－3＝0，∴l1与l2之间的距离d＝ ＝2.故选B. B 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：2x＋4y＋a＝0之间的距离为 ，则实数a＝ ⁠. 解析：把l1：x＋2y－3＝0变形为l1：2x＋4y－6＝0，则 ＝ ，解得a＝4或－16. 4或－16　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 使用两平行直线间的距离公式时，直线的方程必须化为一般式，而且方 程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相 等后再求距离. 2. 当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来求两直线间 的距离. （1）两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝｜x2－ x1｜； （2）两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝｜y2－ y1｜. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知A（－1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方 程为（　　） A. 3x－4y＋21＝0 B. 3x－4y－1＝0 C. 3x－4y＋21＝0或3x－4y＋1＝0 D. 3x－4y－21＝0或3x－4y－1＝0 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意得kAB＝ ＝ ，直线AB的方程为y－2＝ （x＋1）， 即3x－4y＋11＝0，设所求直线的方程为3x－4y＋m＝0（m≠11），则 ＝2，解得m＝1或m＝21，∴所求直线的方程为3x－4y＋1 ＝0或3x－4y＋21＝0.故选C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知两平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分 别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是 （　　） A. （0，＋∞） B. [0，5] C. （0，5] D. [0， ] 解析：　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大， 此时d＝ ＝5，∴0＜d≤5. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　距离的综合应用 已知△ABC的顶点C在直线l：x－y＋2＝0上运动，点A为（0，－ 2），点B为（2，0）. （1）求直线AB的方程； 解： 由A（0，－2），B（2，0）得kAB＝ ＝1，由点斜式方程得 直线AB的方程为y－（－2）＝x－0，化简得x－y－2＝0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解： △ABC的面积为定值. 因为kAB＝1＝kl，所以AB∥l.又点C在直线l：x－y＋2＝0上运动，所以 点C到直线AB的距离为定值，即为两平行直线间的距离，所以点C到直 线AB的距离d＝ ＝2 ，｜AB｜＝ ＝2 ，所以 S△ABC＝ ｜AB｜·d＝ ×2 ×2 ＝4. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法 （1）重要结论：平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距 离的最小值； （2）数形结合：解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题，通常利 用图形帮助解决问题. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则｜ PQ｜的最小值为 ⁠. 解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，则两直线平行，｜PQ｜的最 小值即为两平行线之间的距离，故｜PQ｜min＝ ＝ ＝3. 3　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于 ，则实 数a的取值范围是 ⁠. 解析：直线2x＋y－3＝0可化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝ ≤ ，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4.所以实数a的取值范 围为[－16，4]. [－16，4]　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 点（0，－1）到直线y＝x＋1的距离为（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　（0，－1）到直线y＝x＋1的距离为d＝ ＝ ， 故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 两平行直线l1：x－2y－ ＝0，l2：2x－4y＋3 ＝0之间的距离 为（　　） A. B. 3 C. D. 2 解析：　直线l1：x－2y－ ＝0⇔l1：2x－4y－2 ＝0，两平行直 线之间的距离为d＝ ＝ .故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（　　） A. x＋2y－5＝0 B. 2x＋y－4＝0 C. x＋3y－7＝0 D. x＋3y－5＝0 解析：　设所求直线斜率为k，因为所求直线过点A（1，2）且与原点距 离最大，则k× ＝－1，解得k＝－ ，又因为其经过点A（1，2），故 其方程为y－2＝－ （x－1），整理得x＋2y－5＝0.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知直线x＋ay＋2＝0和直线x－y－1＝0平行，则两条直线之间的距 离为 ⁠. 解析：由于直线x＋ay＋2＝0和直线x－y－1＝0平行，所以 ＝ ≠ ，解得a＝－1，所以两条直线之间的距离为 ＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. 点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　　） A. 3 B. C. 1 D. 解析：　点P（1，－1）到直线l的距离d＝ ＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 若点A（－2，6），B（12，6）到直线l的距离都等于7，则直线l的不 同位置有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 解析：　由题意可得｜AB｜＝14，所以当直线l的斜率不存在时可得x＝ 5；当直线l的斜率为零时可得y＝13或y＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 若两平行直线l1：ax＋8y＝0与l2：3x＋4y＋b＝0之间的距离是1，则 a＋b＝（　　） A. －4或11 B. －4或16 C. 1或11 D. 1或16 解析：　因为直线l1：ax＋8y＝0与l2：3x＋4y＋b＝0平行，所以4a＝ 3×8，解得a＝6，则直线l1：6x＋8y＝0，即为3x＋4y＝0.又l1与l2之间 的距离是1，所以d＝ ＝1，解得b＝5或b＝－5，所以a＋b＝11或 a＋b＝1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 若动直线l经过点P（1，3），当点Q（3，－3）到直线l的距离最远 时，直线l的方程为（　　） A. 3x＋y－6＝0 B. 3x＋y＋6＝0 C. x－3y＋8＝0 D. x＋3y－10＝0 解析：　∵直线l经过P（1，3），∴当Q（3，－3）与直线l的距离最 远时有PQ⊥l，则PQ的斜率等于 ＝－3，故直线l的斜率等于 ，用点 斜式求得直线l的方程为y－3＝ （x－1），即x－3y＋8＝0.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 已知点A（1，0），B（3，1），C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点， 则△ABC的面积为（　　） A. 5 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为直线AB的方程为 ＝ ，即x－2y－1＝0，则l∥AB， 所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝ ＝ . 又因为｜AB｜＝ ＝ ，所以S△ABC＝ ｜AB｜ ×d＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 〔多选〕已知直线l过点P（3，4）且与点A（－2，2），B（4，－2） 等距离，则直线l的方程可能是（　　） A. x＋2y＋2＝0 B. 2x－y－2＝0 C. 2x＋3y－18＝0 D. 3x－2y＋18＝0 解析： 　设所求直线的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y－3k＋4＝ 0，由已知及点到直线的距离公式可得 ＝ ， 解得k＝－ 或k＝2，即所求直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0， 故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为 .⁠ 解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在 直线的方程为l：x＋y＋m＝0（m≠－7且m≠－5），根据平行线间的距 离公式，得 ＝ ⇒｜m＋7｜＝｜m＋5｜⇒m＝－6，即 l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小 值为 ＝3 . 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋（2m－2）y＋m＝0，则l1 与l2的距离是 ⁠. 解析：因为l1∥l2，则2（2m－2）－1×4＝0，解得m＝2，此时l1：2x＋y －1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，即l2：2x＋y＋1＝0，所以l1与l2的距离是 ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是x＋y－1＝0， 3x－y＋4＝0，对角线的交点是M（3，3），则平行四边形ABCD的面积 为 ⁠. 50　 解析：设直线CD为x＋y＋m＝0，M到直线CD的距离d等于M到直线 AB的距离，所以d＝ ＝ ，解得m＝－11或m＝－1（舍去）. 即m＝－11.直线CD为x＋y－11＝0.由 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 即B .由 得 即C ，所以｜BC｜ ＝ .M到BC的距离为h1＝ ＝ ，所以S＝｜BC｜·2h1 ＝ ×2× ＝50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 已知直线l过点P（0，1），且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－ 3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分. （1）求直线l的方程； 解：∵点B在直线l1上，∴可设B（a，8－2a）. 又P（0，1）是AB的中点，∴A（－a，2a－6）. ∵点A在直线l2上， ∴－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4，即B（4，0）. 故直线l的方程是x＋4y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）设点D（0，m），且AD∥l1，求△ABD的面积. 解：由（1）知A（－4，2）. 又AD∥l1，∴kAD＝ ＝－2，∴m＝－6. 点A到直线l1的距离d＝ ＝ ， ｜AD｜＝ ＝4 ， ∴S△ABD＝ ｜AD｜·d＝ ×4 × ＝28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 原点到直线l：3x＋4y－2＋λ（2x＋y＋2）＝0的距离的最大值为 （　　） A. B. 2 解析：　由 可得 所以直线l过定点A（－ 2，2），所以原点与点A（－2，2）的连线垂直于直线l，即点A（－2， 2）为垂足时，原点到直线l的距离最大，所以原点到直线l距离最大值 为｜OA｜＝ ＝2 ，故选B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕设两条直线的方程分别为x＋ y＋a＝0，x＋ y＋b＝ 0，已知a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤ ，则下列关于 这两条直线之间的距离d的说法，正确的是（　　） A. d的最大值为2 B. d的最大值为1 C. d的最小值为 D. d的最小值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，所以a＋b＝－ 2，ab＝c，又因为0≤c≤ ，所以｜a－b｜＝ ＝ ∈[，2]，所以两条平行直线之间的距离d＝ ＝ ∈［ ，1］.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（ cos θ， sin θ），θ∈R，则P到 直线y＝x－2 的距离的最大值为 ⁠. 解析：点P（ cos θ， sin θ）到直线x－y－2 ＝0的距离d＝ ＝2＋ sin （θ－ ）≤3，当且仅当θ－ ＝ ＋2kπ， k∈Z，即θ＝ ＋2kπ，k∈Z时取等号，所以所求最大值为3. 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 已知点P（2，－1）. （1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程； 解：过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为（2，－1）， 显然，过点P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存 在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），即kx－y－2k－1＝0. 由已知得 ＝2，解得k＝ . 此时直线l的方程为3x－4y－10＝0. 综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离； 解：作图可得过点P与原点O的距离最大的直线 是过点P且与PO垂直的直线，如图. 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 因为kOP＝－ ，所以kl＝－ ＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），即2x－y－5＝0. 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若 不存在，请说明理由. 解：由（2）可知，过点P不存在与原点的距离超过 的直线，因此 不存在过点P且与原点的距离为6的直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $