2.2.1 直线的倾斜角与斜率(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率、方向向量与法向量，通过交通工程“坡度”情境导入，从生活实例抽象出倾斜角定义，结合两点坐标推导斜率公式，搭建从直观到代数的学习支架。 其亮点是以数学抽象和直观想象为核心，情境贴近生活助理解，典例研析分题型总结规律提升数学运算能力。自我诊断与跟踪训练巩固知识，教师可高效教学，学生能发展数学思维与应用意识。

2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 第二章　平面解析几何 1 课标要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（数学抽象）. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（直观想象）. 3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量判定直线的平行（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度. 如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为 AD，竖直方向上升的高度为DB（如果是下降，则DB的值为负实数）， 则坡度k＝ ＝ .若k＞0，则表示上坡，若k＜0，则表示下坡， 为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小. 【问题】　“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1. 直线的倾斜角 （1）定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴 ⁠ ，将x轴绕着它们的交点按 ⁠方向旋转到与直线重合时所转 的 记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角； （2）范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行 或重合的直线的倾斜角为0°. 相 交　 逆时针　 最小正角　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 直线的斜率 （1）直线的斜率：如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ 为直线l的斜率； （2）斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线 的斜率公式为k＝ .当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在. 提醒：（1）直线倾斜角的范围是θ∈[0，π）；（2）当θ＝ 时，直线l的 倾斜角为 ，但斜率不存在. 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　直线的方向向量和法向量 1. 直线的方向向量 （1）定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ⁠ ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作 ⁠； （2）直线的斜率与方向向量的关系 如果已知a＝（u，v）为直线l的一个方向向量，则： ①当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°； ②当u≠0时，直线l的斜率k＝ . 平行或 重合　 a∥l　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 直线的法向量 如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线 l的一个法向量，记作v⊥l. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直 线的方向向量吗？ 提示：（1，1）. 2. 如果a＝（－1，2）是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向 量吗？ 提示：（2，1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任一直线都有倾斜角，都存在斜率. （　×　） （2）任何一条直线有且只有一个斜率和它对应. （　×　） （3）若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°. （　×　） （4）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. （　×　） × × × × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A. 45° B. 135° C. 45°或135° D. －45° √ 解析：　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（　　） A. B. C. 1 D. 解析：　由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知直线l经过点A（－1，3）与B（2，0），则直线l的一个方向向量 为 ，斜率k＝ ，倾斜角θ ＝ ⁠. 解析： ＝（3，－3）＝3（1，－1），则k＝－1，θ＝135°. （1，－1）（答案不唯一）　 －1　 135°　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　直线的倾斜角 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋 转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　　） A. α＋45° B. α－135° C. 135°－α D. α＋45°或α－135° 解析：　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜ 180°（0°≤α＜180°），即0°≤α＜135°时，l1的倾斜 角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180° 时，l1的倾斜角为α－135°（如图）. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求直线的倾斜角的方法及两点注意 （1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角； （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°； ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 如图，直线l的倾斜角为（　　） A. 60° B. 120° C. 30° D. 150° 解析：　由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是 （　　） A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180° C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180° 解析：　直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、 四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　直线的斜率 已知直线l过点M（m＋1，m－1），N（2m，1）. （1）当m为何值时，直线l的斜率是1？ 解： kMN＝ ＝1，解得m＝ . 所以当m＝ 时，直线l的斜率是1. （2）当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1. 所以当m＝1时，直线l的倾斜角为90°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 1. （变结论）本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值 范围. 解：由题意知 解得1＜m＜2. 所以直线l为锐角时实数m的取值范围是（1，2）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （变条件）若将本例中的“N（2m，1）”改为“N（3m，2m）”， 其他条件不变，结果如何？ 解：（1）由题意知 ＝1，解得m＝2. 所以当m＝2时，直线l的斜率为1. （2）由题意知m＋1＝3m，得m＝ . 所以当m＝ 时，直线l的倾斜角为90°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 利用斜率公式求直线斜率的注意事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直 线与x轴垂直时，斜率是不存在的； （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与 x2，y1与y2可以同时交换位置. 2. 在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线 的倾斜角. （1）A（2，3），B（4，5）； 解：存在.直线AB的斜率kAB＝ ＝1，则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）C（－2，3），D（2，－1）； 解：存在.直线CD的斜率kCD＝ ＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝ 135°. （3）P（－3，1），Q（－3，10）. 解：不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角 α＝90°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （4）E（a，2），F（3，6） 解：当a＝3时，斜率不存在，倾斜角为90°；当a≠3时，直线的斜 率k＝ ，倾斜角α满足tan α＝ （0°≤α＜180°）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　求直线的方向向量或法向量 已知直线l经过点A（1，2），B（4，5），求直线l的一个方向向量 和法向量，并确定直线l的斜率和倾斜角. 解： ＝（4－1，5－2）＝（3，3）是直线l的一个方向向量.由法向量 与方向向量垂直，法向量可以为（－1，1）.因此直线的斜率k＝1，直线 的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而θ＝45°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求直线方向向量和法向量的方法 （1）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线上的两个不同的点，则直线l的 方向向量为 ＝（x2－x1，y2－y1），直线的法向量和方向向量垂直； （2）直线的方向向量和法向量不唯一. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 已知直线l经过点M（3，3）和N（2，3＋ ），求直线l的一个方向向 量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角. 解： ＝（2－3，3＋ －3）＝（－1， ），∴直线l的一个方向向 量为（－1， ）， 由于法向量与方向向量垂直， ∴法向量v＝（ ，1），斜率k＝－ ，由tan θ＝－ 知θ＝120°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型四　直线的倾斜角与斜率的应用 （1）经过点P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B （2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（　A　） A. [－1，1] B. （－∞，－1]∪[1，＋∞） C. [－1，1） D. （－∞，－1）∪[1，＋∞） A 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：根据题意画图如图，kPA＝ ＝ －1，kPB＝ ＝1，在射线PA逆时针旋转至射线 PB时斜率逐渐变大， 直线l与线段AB总有公共点，所以－1≤k≤1.故选A. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）已知三点A（a，2），B（5，1），C（－4，2a）在同一直线上， 则a＝（　A　） A. 2或 B. 2 C. D. －2 解析：由题意可得kBC＝kAB，即 ＝ ，解得a＝2或a＝ .故选A. A 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到 斜率的范围. 2. 利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC 都不存在. 3. 的几何意义是直线的斜率，所以可借助几何方法解决函数的值 域问题. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2， ＋1）. （1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； 解：由斜率公式得kAB＝ ＝0，kBC＝ ＝ ，kAC＝ ＝ .倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°. tan 60°＝ ，∴BC的倾斜角为60°. tan 30°＝ ，∴AC的倾斜角为30°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围. 解：如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转， 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB 恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB， ∴k的取值范围为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　　 1. 斜率不存在的直线一定是（　　） A. 过原点的直线 B. 垂直于x轴的直线 C. 垂直于y轴的直线 D. 垂直于坐标轴的直线 解析：　只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知点A（4，2 ），B（1， ），若向量 是直线l的方向向 量，则直线l的倾斜角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　依题意，直线l的斜率即直线AB的斜率，即k＝ ＝ ， 设其倾斜角α，则tan α＝ ，因为α∈[0°，180°），故得α＝30°. 故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 若过两点M（3，y），N（0， ）的直线的倾斜角为150°，则y的 值为（　　） A. B. 0 C. － D. 3 解析：　由题意知 ＝tan 150°＝－ ，∴y＝0.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知经过两点A（－1，1），B（4，a）的直线的斜率为1，则a的值 为 ⁠. 解析：由题意可知 ＝1，解得a＝6. 6　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 40 1. 直线x＝tan 的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 0 解析：　因为直线x＝tan 垂直于x轴，故该直线的倾斜角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②直线 的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角为α，则 sin α＞0.上 述命题中不正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析：　①，α＝90°时，直线的斜率不存在，①错误.②，tan 225°＝ tan（180°＋45°）＝tan 45°＝1，直线的倾斜角为45°，不是225°，② 错误.③，当α＝0°时， sin α＝0，③错误.所以不正确的是①②③.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 若三点A（2，3），B（3，2），C 共线，则实数m的值为 （　　） A. 2 B. C. D. 解析：　根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝ ，∵A，B，C三点共 线，∴kAB＝kAC，∴ ＝－1，∴m＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知两点M（2，－3），N（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与 线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A. k≤－4 B. k≥ C. k≤－4或k≥ D. －4≤k≤ 解析：　kPM＝ ＝－4，kPN＝ ＝ ，直线l过点P （1，1）且与线段MN相交，如图，则k≤kPM或k≥kPN， 则直线l的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 〔多选〕如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为 α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A. k1＜k3＜k2 B. k3＜k2＜k1 C. α1＜α3＜α2 D. α3＜α2＜α1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　由图可知0＜α3＜α2＜ ＜α1＜π，即a3＜α2＜α1，故C错误，D 正确.又因为当0＜α＜ 时，k＞0，且k随α的增大而增大，故k2＞k3＞0； 当 ＜α＜π时，k＜0，故k1＜0；故k1＜k3＜k2，故A正确，B错误.故选 A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 已知u＝（2，－2 ）为直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角 为 ⁠. 解析：设直线l的倾斜角为α，因为u＝（2，－2 ）为直线l的一个方向 向量，所以k＝ ＝－ ，所以tan α＝－ （α∈[0，π）），所以α ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 已知直线l上的两个点M（1，2），N（5，4），则直线l的一个法向量 为 ⁠. 解析：∵直线经过M（1，2），N（5，4），∴ ＝（4，2），∴ 是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，∴直线l的 一个法向量为（2，－4）. （2，－4）（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 直线的斜率为k，若－1＜k＜ ，则直线的倾斜角的范围是 　 ⁠. 解析：设直线的倾斜角为α，－1＜k＜ ，所以－1＜tan α＜ ，又 α∈[0，π），所以α∈ ∪ . ∪ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1，4），直线AC的 斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为 ⁠. 解析：由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.所以kAC＝ ， kBC＝ .所以 ＝3· .整理得－m－1＝（m －5）（m＋1），即（m＋1）（m－4）＝0，所以m＝4或m＝－1（舍 去）.所以m＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点. （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值； 解：过A，C两点的直线的斜率为kAC＝ ＝2－m， 又直线AC的倾斜角为45°，所以kAC＝tan 45°＝1＝2－m，得m＝1. （2）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m值. 解： kAC＝ ＝2－m，kAB＝ ＝－1， 若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即－1＝2－m，解得m＝3，所以 A，B，C三点能共线，且m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 已知直线l1的斜率为－1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，则 直线l2的斜率为（　　） A. －2＋ B. －2－ 解析：　因为直线l1的斜率为－1，所以直线l1的倾斜角为135°，又直线 l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，所以直线l2的倾斜角为105°，tan 105°＝tan（45°＋60°）＝ ＝ ＝－2－ ，故直 线l2的斜率为－2－ .故选B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 若三点A（3，1），B（－2，k），C（8，1）能构成三角形，则实 数k的取值范围为 ⁠. 解析：kAB＝ ＝ ，kAC＝ ＝ ＝0.要使A，B，C三点能构成三 角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴ ≠0.∴k≠1. （－∞，1）∪（1，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 〔一题多解〕（创新思维）台球运动中反弹球技法 是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法， 主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反 射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹， 就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力 适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A（－2，3）无旋转射入，经过x轴（桌边）上的点P反弹后，经过点B（5，7），则点P的坐标为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：法一　设P（x，0），A点关于x轴对称的点A'（－2，－3）， 则kA'P＝ ＝ ，kA'B＝ ＝ ，由题意，A'，B，P三点 共线，∴kA'P＝kA'B，即 ＝ ，解得x＝ ，故P点的坐标为 . 法二　设P（x，0），则kAP＝ ，kBP＝ ，由光学知识可得kAP＝－ kBP. 即－ ＝ ，解得x＝ ，∴P点的坐标为（ ，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半 轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾 斜角和斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾 斜角相等，都为60°，所以kOD＝kBC＝tan 60°＝ .因为CD∥OB，且 OB在x轴上，所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD ＝0，由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC， BD的倾斜角分别为30°，120°，所以kOC＝tan 30°＝ ，kBD＝tan 120°＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $