2.1 坐标法(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面解析几何中的坐标法，核心内容包括两点间距离公式、中点坐标公式及坐标法应用。通过笛卡尔观察蜘蛛的情境问题导入，引导学生从数轴上点与实数的关系过渡到平面直角坐标系中的距离计算，搭建从一维到二维的学习支架。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过典例研析（如用距离公式判断等腰直角三角形）培养数学思维的推理与运算能力，坐标法证明几何问题（如长方形中距离等式）强化数学语言表达。规律方法总结系统，助力学生构建知识体系，教师可直接用于课堂教学提升效率。

2.1　坐标法 第二章　平面解析几何 1 课标要求 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式（数学抽象）. 2.能用公式解决一些问题（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的位 置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛卡尔此 时恍然大悟…… 【问题】　（1）同学们能说出笛卡尔的新想法吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若蜘蛛由位置A爬到位置B，如图所示，你能算出A，B两点间的距 离吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　两类公式 类型 条件 中点坐标 公式 距离公式 数轴上两点 A（x1）， B（x2） ｜AB｜＝ ⁠ 平面坐标系内两点 A（x1，y1）， B（x2，y2） （ ， ） ｜AB｜ ＝ ｜x1－x2｜　 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ 提示：给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数 是一一对应的. 2. 两点间的距离公式中与两点的先后顺序有关吗？ 提示：无关. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过 ⁠ 等解决问题的方法称为坐标法. 代数 运算　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点M（x）位于点N（2x）的左侧. （　×　） （2）平面解析几何中，点A与点B之间的距离表示为AB. （　×　） （3）已知A（3，0），B（0，－4），则AB的中点坐标为（ ，2）. （　×　） （4）点A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝ . （　√　） × × × √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知数轴上A（－4），B（3），则｜AB｜＝ ⁠. 7　 3. 已知A（3，0），B（－1，a），且AB中点M（1，2），则a ＝ ⁠. 4. 已知A（－2，3），B（－2，－3），则｜AB｜＝ ⁠. 4　 6　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 12 题型一　数轴上的点与实数间的关系 （1）若点P（x）位于点M（－2），N（3）之间，求x的取值范 围； （2）试确定点A（a），B（b）的相对位置关系. 解：由题意可知，点M（－2）位于点N（3）的左侧，且点P（x） 位于点M（－2），N（3）之间，所以－2＜x＜3. 解：确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a＞b 时，点A（a）位于点B（b）的右侧；当a＜b时，点A（a）位于点B （b）的左侧；当a＝b时，点A（a）与点B（b）重合. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 　　数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定 彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： （1）A（－3.2），B（－2.3）； 解： 因为－2.3＞－3.2， 所以A（－3.2）位于B（－2.3）的左侧. （2）A（m），B（m2＋1）； 解： 因为m2＋1－m＝（m－ ）2＋ ≥ ＞0，所以m2＋1＞m， 所以B（m2＋1）位于A（m）的右侧. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）A（｜a｜），B（a）. 解： 当a≥0时，｜a｜＝a，则A（｜a｜）和B（a）为同一个点. 当a＜0时，｜a｜＞a，则A（｜a｜）位于B（a）的右侧. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　两点间的距离公式 角度1　数轴上两点间的距离 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.当点P与点B的距 离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x. 解：由题意知，｜PB｜＝3｜PA｜，即｜x－3｜＝3｜x＋1｜， 则（x－3）2＝9（x＋1）2，解得x1＝－3，x2＝0， 所以点P的坐标为－3或0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 1. （变条件）本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x， 此时点P与线段AB有着怎样的关系？ 解：由题意知｜PA｜＝｜PB｜＝2， 即 解得x＝1. 此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （变设问）本例中在线段AB上是否存在点P（x），使得点P到点A和 点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由. 解：不存在这样的点P（x）. 因为d（A，B）＝｜3＋1｜＝4，要使点P在线段AB上，且d（P，A） ＝d（P，B）＝3，则d（A，B）＝d（P，A）＋d（P，B）＝6，这 是不可能的. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求数轴上两点间距离的方法 （1）直接法：已知数轴上两点坐标A（xA），B（xB），则A，B两点间 的距离d（A，B）＝｜xB－xA｜； （2）向量法：已知数轴上两点坐标A（xA），B（xB），向量 的坐标 为 ＝xB－xA，则d（A，B）＝｜ ｜（向量 的模）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知数轴上不同的两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距 离d（A，B）＝5，则点A的坐标为（　　） A. 8 B. －2 C. －8 D. 8或－2 解析：　记点A（x1），B（x2），则x2＝3.d（A，B）＝｜AB｜＝｜ x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.故选D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则｜MP｜＋｜PN｜ ＝（　　） A. －4 B. 4 C. －12 D. 12 解析：　｜MP｜＋｜PN｜＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 角度2　平面上两点间距离公式的应用 已知△ABC的三个顶点坐标是A（－3，1），B（3，－3），C（1， 7）. （1）判断△ABC的形状； 解：∵｜AB｜＝ ＝2 ， ｜AC｜＝ ＝2 ， 又｜BC｜＝ ＝2 ， ∴｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2且｜AB｜＝｜AC｜， ∴△ABC是等腰直角三角形. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求△ABC的面积. 解：△ABC的面积S△ABC＝ ｜AC｜·｜AB｜＝ ×2 ×2 ＝26. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 应用两点之间的距离公式的一般思路 （1）对于两点之间的距离公式中的五个量x1，y1，x2，y2，d，可“知四 求一”，直接应用公式解决求距离问题或逆用公式解决求参数问题； （2）利用两点之间的距离公式可以证明三点共线，由三点坐标计算出 三条线段的长度，根据两条线段的长度之和等于第三条线段的长度即 可证明； （3）利用两点之间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手， 根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理可判断是否为直角 三角形. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　已知以点A（－3，y）与点B（x，2）为端点的线段的中点C在x轴 上，O为原点. （1）若｜OC｜＝1，求点C的坐标； （1）因为｜OC｜＝1，所以｜ ｜ ＝1，解得x＝5或x＝1，即点C的坐 标为（－1，0）或（1，0）. 解：由中点公式，得点C的坐标为（ ， ），由于点C在x轴上，所 以y＝－2，即A（－3，－2）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：因为｜AC｜＝ ＝ ，所 以当x＝－3时，｜AC｜有最小值2，所以C（－3，0）.所以点A关于点 C的对称点的坐标为（－3，2）. （2）当｜AC｜取最小值时，求点A关于点C的对称点的坐标. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　坐标法的应用 用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式｜ AM｜2＋｜CM｜2＝｜BM｜2＋｜DM｜2成立. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：取长方形ABCD的两条互相垂直的边AB，AD所在 的直线分别为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 设长方形ABCD的四个顶点为A（0，0），B（a，0），C （a，b），D（0，b）. 在平面上任取一点M（m，n），则｜AM｜2＋｜CM｜2 ＝m2＋n2＋（m－a）2＋（n－b）2， ｜BM｜2＋｜DM｜2＝（m－a）2＋n2＋m2＋（n－b）2，所以｜AM｜2＋｜CM｜2＝｜BM｜2＋｜DM｜2. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 坐标法解决问题的一般步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； （4）反演回去，得到几何问题的结论. 用图表示，如图 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； ②如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴； ③如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点； ④如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴. 提醒：建立适当的平面直角坐标系对简化计算很重要，应遵循以下原则： 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，建立适当的 平面直角坐标系，证明：｜AE｜＝｜CD｜. 证明：如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线 为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平 面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A（－a，0），E（ ， ），C（c，0），D（－ ， ）， 则｜AE｜＝ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ＝ ＝ ， ｜CD｜＝ ＝ ＝ ， 所以｜AE｜＝｜CD｜. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　　 1. 已知数轴上A，B两点的坐标分别为 ，－ ，则｜AB｜＝（　　） A. 0 B. － C. D. 解析：　｜AB｜＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－a），且 的坐标为4， 则a＝（　　） A. －1 B. －7 C. 4 D. －4 解析：　由题意，向量 的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即 －a－3＝4，解得a＝－7.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知不同的两点P（a，－b），Q（b＋1，a－1）关于点（3，4）对 称，则ab的值为（　　） A. －14 B. 14 C. 12 D. －12 解析：　由题意知 即 解得 故ab ＝－14.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 在x轴上找一点M，使点M到点A（1，2）和点B（5，－2）的距离相 等，则M的坐标为 ⁠. 解析：设M（t，0），由题意可知，｜MA｜＝｜MB｜，故 ＝ ，解得t＝3， 故M的坐标为（3，0）. （3，0）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 38 1. 已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－1），则向量 的坐标为 （　　） A. 4 B. －4 C. ±4 D. 2 解析：　由题意，根据向量的运算 ＝ － ，所以向量 的坐标 等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即－1－3＝－4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知A（3，1），B（2，4），C（1，5），且点A关于点B的对称点 为D，则｜CD｜＝（　　） A. 2 B. 4 C. D. 解析：　由题意，设D（x，y），则 ∴ ∴D（1， 7）.∴｜CD｜＝ ＝2，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为6、 4，则点M的坐标为（　　） A. （4，－6） B. （－4，－6） C. （6，－4） D. （－6，－4） 解析：　因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，所以点M的坐标为（4， －6）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 ＝（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，以C为原点，CB，CA所在直线分别为x 轴、y轴建立平面直角坐标系.设A（0，a），B（b， 0），则D（ ， ），P（ ， ），由两点间的距离公式 可得｜PA｜2＝ ＋ ，｜PB｜2＝ ＋ ，｜PC｜2＝ ＋ .所以 ＝ ＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 〔多选〕若平行四边形的三个顶点坐标为（3，－2），（5，2），（－ 1，4），则第四个顶点坐标可能是（　　） A. （9，－4） B. （1，8） C. （1，－3） D. （－3，0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 设第四个顶点坐标为（x，y），则有三种可能：①若（3， －2），（5，2）是一条对角线的两个端点，则有 ＝ ， ＝ ，所以x＝9，y＝－4，即第四个顶点坐标为（9，－4）；②若（5， 2），（－1，4）是一条对角线的两个端点，同理可求第四个顶点坐标为 （1，8）；③若（3，－2），（－1，4）是一条对角线的两个端点，则第 四个顶点坐标为（－3，0）.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 数轴上点P（x），A（－8），B（－4），若｜PA｜＝2｜PB｜，则 x＝ ⁠. 解析：∵｜PA｜＝2｜PB｜，∴｜x＋8｜＝2｜x＋4｜，解得x＝0或－ . 0或－ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜ ＝ ⁠. 解析：设A（x，0），B（0，y），∵AB中点P（2，－1），∴ ＝2， ＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴｜AB｜＝ ＝2 . 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 若A（－ ，－7），B（2，6）是平行四边形ABCD的两个顶点，AC 与BD交于点E（3， ），则C，D的坐标分别为 　（ ，10），（4，－ ⁠. 解析：由题意，E为AC，BD的中点，不妨设C（x，y），D（a， b），由中点坐标公式得 ∴ 即C（ ，10），同 理， ∴ 即D（4，－3）. （ ，10），（4，－ 3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 若动点P的坐标为（x，1－x），x∈R，则动点P到原点的距离的最小 值为 ⁠. 解析：｜OP｜＝ ＝ ＝ ，∴当x＝ 时，｜OP｜min＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 已知A（6，1），B（0，－7），C（－2，－3）. （1）求证：△ABC是直角三角形； 解： 证明：｜AB｜2＝（0－6）2＋（－7－1）2＝100， ｜BC｜2＝（－2－0）2＋（－3＋7）2＝20， ｜AC｜2＝（－2－6）2＋（－3－1）2＝80. 因为｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜AC｜2，所以∠C＝90°， 故△ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求△ABC的外心的坐标. 解：由（1）可知△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中 点，所以外心坐标为 ，即（3，－3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修.”事 实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如 可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a， b）的距离.结合上述观点，可得 － 的最大值为 （　　） A. 1 B. 3 C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　 － ＝ － ，可转化成x轴上一点P（x，0）到点M（1， 2）的距离与到点N（0，1）的距离之差.｜PM｜－｜PN｜≤｜MN｜＝ ＝ ，所以 － 的最大值 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别 在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动 过程中，点B到原点O的最大距离是（　　） A. 1＋ B. C. 3 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，取AC的中点D，连接BD，OD， ∵∠ACB＝90°，∴｜OD｜＝ ｜AC｜＝1，BD＝ ＝ ，由图可知｜BO｜≤｜BD｜＋｜DO｜＝ ＋1，当B，O，D三点共线时，等号成立，所以点B到 原点O的最大距离是 ＋1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 〔多选〕对于 ，下列说法正确的是（　　） A. 可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B. 可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C. 可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D. 可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意，可得 ＝ ＝ ＝ ，可看作点 （x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的 距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故选项A不正确，故 选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图，点P为正方形ABCD内一点，且满足∠PAB＝∠PBA＝15°， 用坐标法证明△PCD为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：以点P为坐标原点， 、 的方向分别为x、y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为2，则B（1，－tan 15°）， C（1，2－tan 15°），D（－1，2－tan 15°）， 因为tan 15°＝tan（60°－45°）＝ ＝ ＝2－ ， 则C（1， ），D（－1， ）， 所以｜PC｜＝ ＝2，同理可得｜PD｜＝｜CD｜＝2，因此△PCD为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $