第1章 空间向量与立体几何 章末整合提升——体系构建·素养培优(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，通过体系构建梳理空间向量的概念、运算、基本定理及立体几何应用，形成知识脉络，为学生提供前后衔接的学习支架。 其亮点在于素养培优结合数学运算（如空间向量线性运算、数量积及角距离计算）和直观想象（如翻折问题、空间坐标系巧建），通过一题多解和真题体验，学生提升运算能力与空间感知，教师可高效开展教学。

章末整合提升——体系构建·素养培优 第一章　空间向量与立体几何 1 目 录 CONTENTS 体系构建 素养培优 真题体验 体系构建 >> 目录 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 素养培优 >> 目录 5 　　 一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题 的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择 运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本章中的数学运算主要涉及 以下内容，空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐 标表示，利用空间向量求空间角及空间距离. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 培优一　空间向量的线性运算 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ＝a， ＝b， ＝ c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则 ＝（　　） A. a＋ b＋ c B. a＋b＋ c C. a＋ b＋ c D. a＋ b＋ c √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ＝a， ＝b， ＝ c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，连接OG，则 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （b＋c）＋ ［ （ ＋ ）＋ ＋ （ ＋ ）＋ ］＝ （b＋c）＋ （－b＋c）＋ a＋ （b＋c）＋ a＝ a＋ b＋ c.故选A. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图，N是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AB的中点. （1）若 ＝x ＋y ＋z （x，y，z∈R），求x＋y＋z的值； 解： ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ＋ （ － ）＝ － ＋ － ＝－ ＋ － ， 而 ＝x ＋y ＋z ， 则x＝－ ，y＝ ，z＝－1， 所以x＋y＋z＝－ ＋ －1＝－1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若CA＝CB＝CC1，∠ACB＝120°，CC1⊥平面ABC，点M在棱 C1B1上，若AM⊥A1N，求 的值. 解：设 ＝λ （λ∈[0，1]）， 则 ＝ ＋ ＋ ＝ － ＋λ .由题意可设｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1， 因为CC1⊥平面ABC，CA⊂平面ABC，CB⊂平面ABC，所以CC1⊥CA， CC1⊥CB. 又＜ ， ＞＝120°，＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°，则 · ＝－ ， · ＝ · ＝0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 由（1）知 ＝－ ＋ － ， 因为AM⊥A1N，所以 · ＝0， 即（ － ＋λ ）·（－ ＋ － ）＝0， 所以－ · ＋ · － ＋ － · ＋ · － λ · ＋ λ －λ · ＝0. 所以0＋0－1＋ ＋ ＋0－（ λ）·（－ ）＋ λ－0＝0，　 即 λ＝ ，解得λ＝ ，所以 ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 培优二　空间向量的数量积运算 已知向量a＝（1，－3，2），b＝（－2，1，1），点A（－3，－ 1，4），B（－2，－2，2）. （1）求｜2a＋b｜； 解： 2a＋b＝（2，－6，4）＋（－2，1，1）＝（0，－5，5）， ∴｜2a＋b｜＝ ＝5 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若O为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E，使得 ⊥b？ 解：设存在满足题意的点E（x，y，z），则有 ∥ ，且 ·b＝0. ∵ ＝（x＋3，y＋1，z－4）， ＝（1，－1，－2）， ∴ 解得 故在直线AB上存在点E（－ ，－ ， ），使得 ⊥b. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 培优三　空间角的计算 〔一题多解〕在四棱锥Q -ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝ 2，QD＝QA＝ ，QC＝3. （1）证明：平面QAD⊥平面ABCD； 解：证明：取AD的中点E，连接QE，CE， ∵QD＝QA＝ ，∴QE⊥AD. ∵AD＝2，∴DE＝1，∴QE＝ ＝2，CE＝ ＝ . ∴QE2＋CE2＝9＝QC2，∴QE⊥CE. 又∵AD∩CE＝E，∴QE⊥平面ABCD. ∵QE⊂平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值. 解：（2）法一　取BC中点F，连接EF，易得EF， ED，EQ两两垂直， 如图，分别以EF，ED，EQ所在的直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 则B（2，－1，0），Q（0，0，2），D（0，1， 0）， ∴ ＝（－2，1，2）， ＝（0，1，－2），设平 面BQD的一个法向量n1＝（x，y，z）， 则 ⇒ 取z＝1，可得x＝2，y＝2，∴n1＝（2，2，1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 易知平面QDA的一个法向量n2＝（1，0，0）. 设二面角B-QD-A的平面角为θ，则θ为锐角. cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ＝ ＝ .∴二面角B-QD-A的平面角的余 弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　由（1）知平面QAD⊥平面ABCD， 又∵BA⊥AD，BA⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面QAD＝AD，∴BA⊥平面QAD. 过A作AM⊥QD于点M，连接BM. 则∠AMB为所求二面角的平面角. 由S△QAD＝ ×2×2＝ × ·AM⇒AM＝ ， ∴BM＝ ＝ ，∴ cos ∠AMB＝ ＝ . ∴二面角B-QD-A的平面角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 培优四　空间距离的计算 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AC的中点. （1）证明：BD⊥DC1； 解： 证明：因为△ABC为等边三角形，D是棱AC的 中点，所以BD⊥AC， 三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，故CC1⊥平面ABC，因 为BD⊂平面ABC，所以CC1⊥BD， 因为AC∩CC1＝C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，所以 BD⊥平面ACC1A1， 因为DC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥DC1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）证明：AB1∥平面BC1D； 解：证明：连接B1C，与BC1相交于点N，连接 DN， 因为四边形BCC1B1为矩形，故N为B1C的中点，又D为 AC的中点，故DN∥AB1， 又DN⊂平面BDC1，AB1⊄平面BDC1，所以AB1∥平面 BDC1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）若AB＝2，AA1＝4，求AB1到平面BC1D的距离. 解：由（2）知，AB1∥平面BDC1，故AB1到平面 BC1D的距离即为A到平面BC1D的距离， 取A1C1的中点M，连接DM，则DM∥CC1，由于CC1⊥平 面ABC，故DM⊥平面ABC， 故以D为坐标原点，DA，DB，DM所在直线分别为x， y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为AB＝2，AA1＝4，所以A（1，0，0），B1（0，－ ，4），B（0，－ ，0），C1（－1，0，4），D（0，0，0）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面BC1D的法向量为m＝（x，y，z），则 解得y＝0，令z＝1得x＝4，故m＝（4，0，1）， 所以A到平面BC1D的距离d＝ ＝ ＝ ＝ ，故AB1到平面BC1D的距离为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 二、直观想象 　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用 图形理解和解决数学问题的过程.本章核心素养——直观想象主要涉及以 下内容.利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间坐 标系. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 培优五　利用空间向量证明平行、垂直问题 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形 ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB ＝AD＝1，BC＝3. （1）求证：AF⊥CD； 解：证明：因为四边形ADEF为正方形，所以 AF⊥AD， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面 ABCD＝AD， 所以AF⊥平面ABCD. 所以AF⊥CD. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）线段BD上是否存在点M，使得直线CE∥平面AFM？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 解：因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AF两 两垂直， 以A为原点， 向量 ， ， 所在的直线为x， y，z轴，建立空间直角坐 标系如图所示，则A（0，0，0），B（1，0，0）， C（1，3，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 假设线段BD上存在点M，使得直线CE∥平面AFM. 设 ＝λ（λ∈[0，1]），因此 ＝λ （λ∈[0， 1]），所以M的坐标为（1－λ，λ，0）. ＝（－1， －2，1）. 设平面AFM的法向量为n＝（x1，y1，z1）， ＝（0，0，1）， ＝（1－λ，λ，0）， ⇒ ⇒ 所以n＝（－λ，1－λ，0），因为直线CE∥平面AFM，所以有 ⊥n⇒λ－2（1－λ）＝0⇒λ＝ ，即 ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 培优六　立体几何中的翻折问题 在平行四边形ABCD中（如图1），AB＝2BC＝2，M为AB的中点， 将等边△ADM沿DM折起，连接AB，AC，且AC＝2（如图2）. （1）求证：CM⊥平面ADM； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：证明：连接CM，在△CBM中，∵BC＝BM＝1，∠CBM＝ ， ∴CM＝ ＝ ，在△CMD中，∵DM2＋CM2＝CD2，∴DM⊥CM， 同理可得：CM⊥AM，∵ ∴CM⊥平面ADM. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求直线AD与平面ABM所成角的正弦值； 解： 设H为DM的中点，∴AH⊥DM，∵CM⊥平 面ADM，CM⊂平面BCDM， ∴平面ADM⊥平面BCDM，又∵平面ADM∩平面 BCDM＝DM，AH⊂平面ADM， ∴AH⊥平面BCDM，∴以点M为坐标原点，直线MD为x轴，直线MC为y轴，过点M且平行于AH的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴M（0，0，0），D（1，0，0），C（0， ，0），B（－ ， ，0），H（ ，0，0），A（ ，0， ）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴ ＝（ ，0，－ ），设平面ABM的法向量为m＝（x1，y1，z1）， ∵ ＝（－1， ，－ ）， ＝（－ ，0，－ ）， ∴取x1＝ ，∴m＝（ ，1，－1），设直线AD与平面ABM所成角为θ， sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）点P在线段AC上，若点P到平面ABM的距离为 ，求平面PDM 与平面BCDM所成角的余弦值. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：设 ＝λ ，∵ ＝（－ ， ，－ ），∴ ＝（－ ， λ，－ ）， 设点P到平面ABM的距离为d，∴d＝ ＝ ＝ ， ∴λ＝ ， ∴P是线段AC上靠近点C的三等分点，易求平面BCDM的法向量为n1＝ （0，0，1）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面PDM的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， ∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（－ ， ， ）， ＝（1，0， 0）， ∴ 取y2＝1，∴n2＝（0，1，－ 4）， 设平面PDM与平面BCDM所成的角为α，∴ cos α＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 真题体验 >> 目录 33 1. 〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷9题）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的 中点，则（　　） A. AD⊥A1C B. B1C1⊥平面AA1D C. AD∥A1B1 D. CC1∥平面AA1D √ √ 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　法一　对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则 · ＝0，因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则 AD⊥BC，则 · ＝0，又 ＝ ＋ ＋ ， 所以 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ ＋ · ＝ ≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC， 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，因为B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确； 对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设 AD∥A1B1，则AD//AB，这与AD∩AB＝A矛盾，所以 AD∥A1B1不成立，故C错误；对于D，因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平 面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的 底边为2，高为h（h＞0）， 则D（0，0，0），A（ ，0，0），A1（ ，0， h），C（0，－1，0），C1（0，－1，h）， B（0，1，0），B1（0，1，h），对于A， ＝ （－ ，0，0）， ＝（－ ，－1，－h）， 则 · ＝（－ ）×（－ ）＋0＝3≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误； 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 对于B、D， ＝（0，－2，0）， ＝（0，0，h）， ＝ （0，0，h）， ＝（－ ，0，0），设平面AA1D的法向量为n＝ （x，y，z），则 得x＝z＝0，令y＝1，则n＝ （0，1，0），所以 ＝（0，－2，0）＝－2n， ·n＝0，则 B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B、D正确；对于C， ＝（－ ，0，0）， ＝（－ ，1，0），则 ≠ ，显然AD∥A1B1不成立，故C错误.故选B、D. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （2025·全国Ⅱ卷17题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB ＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝ 2AD. 将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面 EFCB所成的二面角为60°. （1）证明：A'B∥平面CD'F； 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：证明：∵EB∥FC，A'E∥D'F， EB⊂平面BA'E，A'E⊂平面BA'E， FC⊂平面CD'F，D'F⊂平面CD'F， EB∩A'E＝E，FC∩D'F＝F，∴平面BA'E∥平面CD'F. ∵A'B⊂平面BA'E，∴A'B∥平面CD'F. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 解：∵∠DAB＝90°，EF∥AD，∴∠FEB＝ 90°，即AB⊥EF，翻折后，A'E⊥EF，EB⊥EF， ∴平面EFD'A'与平面EFCB所成二面角的平面角为 ∠A'EB，即∠A'EB＝60°，同理∠D'FC＝60°. 设AD＝1，取CF的中点O，连接D'O， 在△OD'F中，D'F＝1，OF＝ ，∠D'FO＝60°，由余弦定理得OD'＝ ， ∴D'F2＝OF2＋OD'2，∴OD'⊥OF. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 在线段EB上取一点M，使得EM＝ ，连接OM，则EM＝OF，又 EM∥OF，∴四边形EMOF为平行四边形，∴EF∥OM， ∵D'F⊥EF，CF⊥EF，D'F∩CF＝F， CF，D'F⊂平面CD'F， ∴EF⊥平面CD'F，即OM⊥平面CD'F， ∴OM，OC，OD'两两垂直， 如图所示， 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方 向，建立空间直角坐标系， 则B（1， ，0），C（0， ，0），D'（0，0， ），E（1，－ ， 0），F（0，－ ，0）， ＝（1，1，0）， ＝（0，－ ， ）， ＝（1，0，0）， ＝（0， ， ）. 设平面BCD'的法向量为m＝（x1，y1，z1）， 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则 即 取z1＝ ，则m＝（－3，3， ）. 设平面EFD'A'的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 则 即 取z2＝ ，则n＝（0，－3， ）. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面BCD'与平面EFD'A'的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ sin θ＝ ＝ ＝ ， ∴平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值为 . 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷17题）如图，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； 解： 证明：法一　∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面 ABCD，∴PA⊥AB， ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD， ∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二（二面角定义）　∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面 ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD， ∵平面PAB∩平面PAD＝PA，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴∠BAD为平面PAB与平面PAD所成二面角， ∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°， ∴平面PAB⊥平面PAD. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： ①证明：由题意得AB，AD，AP两两垂直， 分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则B（ ，0，0），C（ ，2，0），D（0， ＋ 1，0），P（0，0， ）， 设球心O（x，y，z），半径为R， （2）设PA＝AB＝ ，BC＝2，AD＝1＋ ，且点P，B，C，D均在 球O的球面上. ①证明：点O在平面ABCD内； ②求直线AC与PO所成角的余弦值. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则 即 解得 ∴O（0，1，0），∴O∈平面ABCD. 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ②法一　由①得 ＝（ ，2，0）， ＝（0，1，－ ）， 设直线AC与直线PO所成角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ . 法二　由①得O在线段AD上，且AO＝ AD. 以 ， ， 为基底，则 ＝ － ＝ － ， ＝ ＋ ＝ ＋ ， 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 · ＝（ － ）·（ ＋ ）＝ · ＝2， ｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ . 设直线AC与直线PO所成角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ . 1 2 3 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $