1.2.4 二面角(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中的二面角，涵盖定义、范围、平面角找法及向量法应用。课堂从黄道面与赤道面交角的生活情境导入，通过新知初探构建从几何法（定义法、垂面法等）到向量法的学习支架，衔接空间向量知识脉络。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过几何法与向量法对比发展数学思维，如“一作二证三求”步骤总结。实例丰富，如正方体二面角问题，帮助学生提升直观想象与数学运算能力，教师可借助分层作业和典例研析优化教学。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.4　二面角 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角（直观想象）. 2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究 几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可 是你知道十二星座的由来吗？ 　　我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地 球赤道面交角（二面角的平面角）约为23°26'，它与天球相交的大圆为 “黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有 十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分（节气）点起，每30°便是一 宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由 来…… 【问题】　你知道二面角是如何定义的吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　二面角 1. 定义：从一条直线出发的两个 ⁠所组成的图形称为二面 角，如图. 半平面　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°， 而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二 面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称 为 ⁠. 直二面角　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 定义法 在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个 平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱 作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二 面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角 提醒：找二面角的平面角的三种方法 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　空间向量与二面角 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ， 则θ＝ 或 ，如图. 特别地 sin θ＝ ⁠. ＜n1，n2＞　 θ＝π－＜n1，n2＞　 sin ＜n1，n2＞　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角 与两法向量夹角＜n1，n2＞一定相等吗？ 提示：不一定.可能相等，也可能互补. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个平面夹角的范围是［0， ］，二面角的范围是[0，π]，若夹角 为 ，则两个平面垂直. （　√　） （2）两个平面的夹角等于两个平面的法向量的夹角或其补角. （　√　） （3）二面角的大小等于平面与平面的夹角. （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0， －1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（　　） A. B. － C. D. 或－ 解析：　∵ ＝ ，∴这个二面角的余弦值 为 或－ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则二 面角P-CD-A的大小为 ，平面PAD与平面PBC所成的角 为 ⁠. 4. 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA- C的大小为 ⁠. 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC⊥PA，BA⊥PA，所以∠BAC为二面 角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B-PA-C的大小为 90°. 45°　 45°　 90°　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　几何法求二面角 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°. 求二面角A-A1C-B的正切值. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：设A1C的中点为M，连接BM，AM， 因为BA1＝BC，AA1＝AC，所以BM⊥A1C， AM⊥A1C， 所以∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角， 由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC， 可得AB⊥AA1，由∠BAC＝90°，可得AB⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1， 又因为AM⊂平面ACC1A1，所以AB⊥AM， 在Rt△ABM中，AB＝2，AM＝ ，可得tan∠AMB＝ ＝ ， 所以二面角A-A1C-B的正切值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求二面角大小的步骤（一作二证三求） 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图，空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a， BD＝ a，求二面角A-BD-C的大小. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO， ∵AB＝AD，BC＝CD， ∴AO⊥BD，CO⊥BD. ∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角. ∵AB＝AD＝a，BD＝ a，∴AO＝ a. ∵BC＝CD＝a，BD＝ a，∴OC＝ a. 在△AOC中，OC＝ a，OA＝ a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2. ∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C的大小为90°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　向量法求二面角 〔一题多解〕如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边 长为2的正方形，B1C1＝1. （1）证明：AA1∥平面BDC1； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：证明：法一　由棱台定义可知AA1与CC1共面， 且平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又平面ABCD∩平面ACC1A1＝AC，平面A1B1C1D1∩平面 ACC1A1＝A1C1，所以AC∥A1C1. 连接AC交BD于点O，如图，则O为AC的中点. 因为BC＝2B1C1＝2，所以A1C1＝AO. 所以四边形A1AOC1是平行四边形，所以AA1∥OC1. 又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　将棱台补形成棱锥P-ABCD，如图， 由棱台定义知平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又平面ABCD∩平面BCC1B1＝BC，平面 A1B1C1D1∩平面BCC1B1＝B1C1， 所以BC∥B1C1. 连接AC交BD于点O，则O为AC的中点.又△BCP∽△B1C1P，所以 ＝ ＝2，所以C1为PC的中点，所以OC1为△ACP的中位线，所以 AA1∥OC1. 又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：法一　在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA1，AC∩AA1＝ A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.因为OC1⊂平面 ACC1A1，所以BD⊥OC1. 在Rt△BOC1中，∠BOC1＝90°，BO＝ ，BC1＝2，所以OC1＝ . 在△OCC1中，OC＝OC1＝ ，CC1＝2， 所以OC2＋O ＝C ，所以OC⊥OC1. 以O为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. （2）若AA1⊥BD，BC1＝CC1＝2，求平面BC1D与平面B1CD1夹角的余 弦值. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则B（ ，0，0），D（－ ，0，0），C（0， ，0），B1（ ， － ， ），D1（－ ，－ ， ）. 所以 ＝（－ ，0，0）， ＝（－ ， ，－ ）. 设平面B1CD1的法向量为n＝（x，y，z）， 则 化简整理得 令y＝2，则z＝3，所以n＝ （0，2，3）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又因为平面BC1D的一个法向量m＝（0，1，0），所以｜ cos ＜m，n ＞｜＝ ＝ ， 所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面 ACC1A1. 因为OC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥OC1. 在Rt△BOC1中，∠BOC1＝90°，BO＝ ，BC1＝2，所以OC1＝ . 在△OCC1中，OC＝OC1＝ ，CC1＝2，所以OC2＋ O ＝C ，所以OC⊥OC1. 连接B1C交BC1于点M，连接CD1交C1D于点N，连接MN， 则MN为平面BC1D与平面B1CD1的交线，设MN交OC1于 点Q，连接CQ. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 所以MN∥BD，所以MN⊥平面ACC1A1. 又QO⊂平面ACC1A1，QC⊂平面ACC1A1，所以MN⊥QO，MN⊥QC， 又∠OQC为锐角，所以∠OQC为平面BC1D与平面B1CD1的夹角. 由MN∥BD得 ＝ ＝ ，所以QO＝ .在Rt△QOC中，QO＝ ， OC＝ ，QC＝ ，所以 cos ∠OQC＝ .所以平面BC1D与平面 B1CD1夹角的余弦值为 . 由△BCM∽△C1B1M，有 ＝ ＝ ，同理 ＝ ， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 向量法求二面角的三个步骤 （1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个半平面的法向量n1，n2； （3）设两平面的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜. 提醒：（1）若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐 角，从而用法向量求解；（2）要注意两平面所成的角与二面角的区别. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，O为线段AD的中 点，PO⊥AC，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2，AB＝BC＝1， E为PD上 一点. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （1）证明：平面ACE⊥平面POB； 解： 证明：连接BO，因为O为线段AD的中点， AD＝2，所以AO＝AB＝BC＝1， 因为BC∥AD，所以BC∥AO，又因为AB⊥AD，所以四 边形ABCO为正方形， 所以BO⊥AC，因为PO⊥AC，且PO∩BO＝O， PO，BO⊂平面POB， 所以AC⊥平面POB，又因为AC⊂平面ACE，所以平面 ACE⊥平面POB. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若E为PD中点，求平面PAB与平面EAC所成角的余弦值. 解： 因为△PAD是等边三角形，O为线段AD的中 点，所以PO⊥AD， 又因为PO⊥AC，AC∩AD＝A，所以PO⊥平面ABCD， 所以PO，CO，DO两两互相垂直，建立如图所示的空 间直角坐标系， A（0，－1，0），B（1，－1，0），P（0，0， ），E（0， ， ），C（1，0，0）， ＝（1，0，0）， ＝（0，1， ）， ＝（0， ， ）， ＝（1，1，0）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），则 令z1＝1，得y1＝－ ，x1＝0， 所以平面PAB的一个法向量为m＝（0，－ ，1）， 设平面EAC的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 则 令x2＝1，得y2＝－1，z2＝ ，所以平 面EAC的一个法向量为n＝（1，－1， ）， 设平面PAB与平面EAC所成角为θ， cos θ＝ ＝ ， 所以平面PAB与平面EAC所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜ n1，n2＞＝ ，则二面角A-BD-C的大小为（　　） A. B. C. 或 D. 或 解析：　当二面角A-BD-C为锐角时，它等于＜n1，n2＞＝ .当二面角 A-BD-C为钝角时，它等于π－＜n1，n2＞＝π－ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝（ ， ， ），平面 β的一个法向量为n2＝（0， ， ），则二面角α-l-β的平面角满足 （　　） A. 余弦值为 B. 正弦值为 C. 大小为60° D. 大小为30° √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设所求二面角的平面角的大小为θ，则｜ cos θ｜＝ ＝ ＝ ，所以θ＝30°或150°，故C、D错误；又因为 sin 30°＝ sin 150°＝ ，故A错误，B正确. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 〔多选〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D 为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直 角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A. B1的坐标为（2，2，3） B. ＝（－2，0，3） C. 平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D. 二面角B-A1C1-B1的余弦值为 √ √ 解析：　如图，因为AB＝AD＝2，AA1＝3， 所以A1（0，2，3），B（2，2，0），B1（2，2，3）， C1（2，0，3），所以 ＝（0，－2，3）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ＝（2，0，－3），即A正确，B不正确；设平面A1BC1的法向量m＝（x，y，z），所以 即 令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－ 2），故C错误；由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0， 1），由于 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝－ ，结合图形可知二 面角B-A1C1-B1的余弦值为 ，故D正确；故选A、D. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知P为锐二面角α-l-β内一点，且P到面α，β及棱l的距离之比为 1∶ ∶2，则此二面角的度数为 ⁠. 解析：如图，作PA⊥α于A，PB⊥β于B，PC⊥l于C，连 接BC，AC，则易得∠ACB为二面角的平面角.又 sin ∠PCB＝ ，∠PCB＝45°， sin ∠PCA＝ ，∴∠PCA ＝30°，故二面角的平面角为∠PCA＋∠PCB＝75°. 75° 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 39 1. 在空间直角坐标系中，已知平面α，β的一个法向量分别为（0，－1，－ 1），（－2，1，2），则α与β的夹角的余弦值为（　　） A. B. C. － D. 解析：　设a＝（0，－1，－1），b＝（－2，1，2），则｜ cos ＜a， b＞｜＝ ＝ ＝ ，所以平面α与β的夹角的余弦值 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD面积的2 倍.沿AD将△ABD翻折，翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的 大小为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　由已知得BD＝2CD. 翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝ 60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角， 其大小为60°.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半 平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝ ，则 该二面角的大小为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由 ＝ ＋ ＋ 可得 ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ，故41＝9＋4＋16＋ 0＋0＋2 · ⇒ · ＝6，进而可得 · ＝－6，由于 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，由于＜ ， ＞∈[0°， 180°]，故＜ ， ＞＝120°，由于 ， 夹角的大小即为二面角 的大小，故二面角大小为120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知向量m＝（1，2，－1），n＝（t，1，－t），且m⊥平面α， n⊥平面β，若平面α与平面β的夹角的余弦值为 ，则实数t的值为 （　　） A. 或－1 B. 或1 C. －1或2 D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为m＝（1，2，－1），n＝（t，1，－t），所以m·n＝2 ＋2t，｜m｜＝ ，｜n｜＝ ，因为m⊥平面α，n⊥平面β，平 面α与平面β的夹角的余弦值为 ，所以 ＝ ，化简得5t2－6t ＋1＝0，解得t＝ 或1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. （2026·沈阳期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝6， AA1＝4，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的 余弦值为（　　 ） A. B. √ C. D. 解析：　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1 （0，0，4），E（2，0，2），D（0，6，0），故 ＝（0，6，－4）， ＝（2，0，－2），设平面A1ED的一个法向量为n1＝（x，y，z）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴ 即 取 故n1＝（1， ， 1），∵平面ABCD的一个法向量为n2＝（0，0，1），∴ cos ＜n1，n2＞ ＝ ＝ ，故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1 ＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC中点，则平面MAC1与平面AC1C所成 角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由A1A⊥平面ABC，且AB，AC⊂平面 ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC，又由AB⊥AC，以 A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，因为 A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，且M为BC中点，可得 A（0，0，0），M（1，1，0），C1（0，1，2），则 ＝（1，1，0）， ＝（0，1，2），设平面MAC1 的法向量为n＝（x，y，z），则 取x＝2，可得y＝－2，z＝1，所以n＝（2，－2，1），又由平面AC1C的一个法向量为m＝（1，0，0），设平面MAC1与平面AC1C所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m， 则下列命题为真命题的是（　　） A. 若a⊥n，则直线l∥平面α B. 若a∥n，则直线l⊥平面α C. 若 cos ＜a，n＞＝ ，则直线l与平面α所成角的大小为 D. 若 cos ＜m，n＞＝ ，则平面α与平面β夹角的大小为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不 正确；对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面 α，故选项B正确；对于C，直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量 与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若 cos ＜a，n＞＝ ，则直线 l与平面α所成角的大小为 ，故选项C正确；对于D，若 cos ＜m，n＞＝ ，则平面α与平面β夹角的大小为 ，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC将 △ACD折起到△PAC的位置，使得点P到点B的距离为 ，则二面角P- AC-B的大小为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：依题意，PC⊥AC，AC⊥AB，则 · ＝ · ＝0，｜ ｜＝1，｜ ｜＝｜ ｜＝2，设P-AC-B的大小为θ，则θ与＜ ， ＞互补，而 ＝ ＋ ＋ ，则 ＝ ＋ ＋ ＋ 2 · ＋2 · ＋2 · ，｜ ｜＝ ，于是13＝4＋1＋4 ＋2×2×2 cos ＜ ， ＞，解得 cos ＜ ， ＞＝ ，因此 cos θ＝－ cos ＜ ， ＞＝－ ，又θ∈[0，π]，所以θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆直径，且SO＝AB＝4，AC＝ BC，则二面角A-SB-C的余弦值为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：以O为坐标原点，以OC，OA，OS所在的直线分 别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为 SO＝AB＝4，AC＝BC，可得S（0，0，4），B（0，－ 2，0），C（2，0，0），则 ＝（2，0，－4）， ＝ （2，2，0），设平面SBC的法向量为n＝（x，y， z），则 令x＝2，可得y＝－2， z＝1，所以n＝（2，－2，1），平面SAB的一个法向量 为 ＝（2，0，0），设二面角A-SB-C的大小为θ，由图可得0＜θ＜ ，则 cos θ＝｜ cos ＜n， ＞｜＝ ＝ ，所以二面角A-SB-C的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，DA⊥DC，底 面ABCD为平行四边形，DA＝DC＝DP，E，F分别在棱PC，PB上， PA∥平面EDB. （1）若F是PB的中点，求EF与平面EDB所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： 由题意可知，底面ABCD是正方形. 连接AC交BD于点O，连接EO. 因为PA∥平面EDB，平面PAC∩平面EDB＝EO，PA⊂平 面PAC，所以PA∥EO. 又O是AC的中点，所以E是PC的中点. 以D为原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 不妨设DC＝2，则A（2，0，0），B（2，2，0），P （0，0，2），E（0，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 由题意，F是PB的中点，则F（1，1，1），故 ＝ （1，0，0）， ＝（2，2，0）， ＝（0，1，1）. 设平面EDB的法向量为m＝（x1，y1，z1），则 令y1＝－1，得m＝（1，－1，1）. 记EF与平面EDB所成角为θ，则 sin θ＝ ＝ ＝ ， 故 cos θ＝ ＝ ，故EF与平面EDB所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若EF⊥PB，求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值. 解： 由（1）知 ＝（0，1，1）， ＝（2，2，－2），故 · ＝0，故DE⊥PB. 又EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，故PB⊥平面DEF，故平面DEF的一个法向量n1＝ ＝（2，2，－2）. 易知平面ABCD的一个法向量为n2＝（0，0，1）. 记平面DEF与平面ABCD的夹角为φ，则 cos φ＝ ＝ ＝ ， 故平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α经过点B，D，平面β经过点A， D1，当平面α，β分别截正方体所得截面面积最大时，平面α与平面β的夹角 的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，因为正方体中过体对角线的截面面积 最大，所以题目转化为求平面BDD1B1与平面ABC1D1夹 角的余弦值，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为1，平面α与平面β的夹角为θ，因 为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以 DD1⊥AC，且AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD， DD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，同理B1C⊥平面ABC1D1，所以 为平面BDD1B1的一个法向量， 为平面ABC1D1的一个法向量，A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1）， ＝（－1，1，0）， ＝（－1，0，－1），则 cos θ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两 个动点E，F，且EF＝ .则下列结论中正确的是（　　） A. 三棱锥A-BEF的体积为定值 B. 当E向D1运动时，二面角A-EF-B的大小不变 C. 二面角E-AB-C的最小值为45° D. 当E向D1运动时，AE⊥CF总成立 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为EF为定值，故S△BEF为定值，A到 平面BEF的距离即为A到平面DD1B1B的距离，故三 棱锥A-BEF的体积为定值，故A正确. 平面EFB即为平面BDD1B1，而平面AEF即为平面 AB1D1，故当E向D1运动时，二面角A-EF-B不变，故 B正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1， 1，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（1， 0，0），D1（1，0，1），设E（t，1－t，1），平面ABE的法向量为m＝（x，y，z），又 ＝（－1，0，0）， ＝（t－1，－t，1），所以 取y＝1，则m＝（0，1，t），平面ABC的法向量为n＝（0，0，1），所以 cos ＜m，n＞＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设二面角E-AB-C的平面角为θ，则θ为锐角，故 cos θ＝ ＝ ，又 ≤t≤1，故 ≤ ≤ ，所以 ≤ cos θ≤ ，当且仅当t＝1时 cos θ取最大值 ，即θ取最小值45°，故C正确.因为E，F在B1D1上，且EF＝ ，故可设E（t，1－t，1），F（t－ ， －t，1）， ≤t≤1， ＝（t－1，－t，1）， ＝（t－ ， －t，1），所以 · ＝（t－ ）（t－1）＋（ －t）·（－t）＋1＝2t2－3t＋ ，故 · 不恒为零，故D错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 已知α，β，γ为三个不同的平面，m为直线，α⊥β，α∩β＝m，α与γ夹角的余弦值为 ，m与γ所成角的正弦值为 ，则β与γ夹角的余弦值为 　 ⁠. 解析：如图，根据题意，平面α对应平面OBC，平面β对应平面OAC，平面γ对应平面ABC，直线m对应直线OC. 可设A（0，0，1）， （b，0，0），C（0，c，0）.则 ＝（b，0，－1）， ＝（0，c，－1）， ＝（0，c，0）.设平面ABC的 法向量为d＝（x，y，z） 则 ⇒ ⇒ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 取z＝bc，则d＝（c，b，bc）.取平面α即平面OBC的法向量m＝（0，0，1）；平面β即平面OAC的法向量n＝（1，0，0）.由α与γ夹角的余弦值为 得： ＝ ⇒ ＝ ，得：7b2c2＝2b2＋2c2，由m与γ所成角的正弦值为 得： ＝ ⇒ ＝ ，得：b2c2＝2b2－c2.由 ⇒ 所以β与γ夹角的余弦值为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5 ，∠ADC ＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足 ＝ ， ＝ ，将△AEF 沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4 . （1）证明：EF⊥PD； 解：证明：由AB＝8，AD＝5 ， ＝ ， ＝ ，得AE＝2 ，AF＝4， 又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得EF＝ ＝ ＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 所以AE2＋EF2＝AF2， 则AE⊥EF，即EF⊥AD， 由翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面 PDE， 所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE， 故EF⊥PD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 解：连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3 ， CD＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36， 在△PEC中，PC＝4 ，PE＝2 ，EC＝6，得EC2 ＋PE2＝PC2， 所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF＝ E，EC，EF⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD， 所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图 空间直角坐标系E-xyz， 则P（0，0，2 ），D（0，3 ，0），C（3， 3 ，0），F（2，0，0），A（0，－2 ，0）， 由F是AB的中点，得B（4，2 ，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 所以 ＝（3，3 ，－2 ）， ＝（0，3 ，－ 2 ）， ＝（4，2 ，－2 ）， ＝（2，0，－ 2 ）， 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝（x1， y1，z1），m＝（x2，y2，z2）， 则 ​ 令y1＝2，x2＝ ，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1， 所以n＝（0，2，3），m＝（ ，－1，1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ， 设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则 sin θ＝ ＝ ，即平面PCD与平面PBF所成二面 角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $