1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的应用，涵盖点的位置向量、直线方向向量及线线角计算等核心内容。通过足球裁判手势情境导入，以问题链衔接空间向量概念与几何应用，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与数学运算素养，借助正方体、四棱锥等模型实例，采用坐标法与基底法一题多解。规律方法总结与分层训练助力师生高效教学，提升学生空间观念与解题能力。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系（数学抽象、直观想象）. 2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行.在比赛过程中，裁判 员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比 赛.比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任 意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上 其他队员触及或成死球时为止.这一规定有着明确的方向性和细节要求， 必须进行专业培训才能掌握.在不同 领域有不同的“语言”，研究空间中 的直线及其夹角也可以先提炼出与之 有关联的“向量语言”来进行. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【问题】　（1）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ （2）怎样用向量来表示直线在空间中的位置？ （3）怎样用向量来表示平面在空间中的位置？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　空间中的点与直线的向量表示 1. 点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可 以由向量 唯一确定，此时， 通常称为点P的位置向量.特别地，空 间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的 坐标唯一确定. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示 v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量. 此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. 3. 利用直线的方向向量证明相关平行 （1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得 l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2； （2）已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量 为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l⊂α⇔存在一对实数x，y，使v＝ xv1＋yv2. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 　直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ 提示：直线l的方向向量不唯一，若ν为直线l的方向向量，则λν（λ≠0）也 为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ， 如图①②所示， ①θ∈［0， ］； ②θ＝＜v1，v2＞或θ＝ ， sin θ＝ 或 cos θ＝ ⁠； ③l1⊥l2⇔＜v1，v2＞＝ ⇔v1·v2＝0. ④l1∥l2或l1与l2重合⇔＜v1，v2＞＝0或π. π－＜v1，v2＞　 sin ＜v1，v2＞　 ｜ cos ＜v1，v2＞｜　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点三　异面直线与空间向量 （1）设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量. 若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行； 若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为 ⁠； 若异面直线l1与l2所成的角为θ，则θ＝＜v1，v2＞或π－＜v1，v2＞； （2）公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1， N∈l2， .则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直 线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的 ⁠. 提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 相交或异面　 MN⊥l1，MN⊥l2　 距离　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？ 提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角＜v1，v2＞∈（0， ］ 时等于异面直线所成角，若＜v1，v2＞∈（ ，π）时，则异面直线所成角 为π－＜v1，v2＞. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的. （　×　） （2）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，该向量一定是非零向量. （　√　） （3）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量. （　√　） （4）两异面直线的方向向量所成夹角的范围为（0， ］. （　√　） × √ √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中不是 该直线的方向向量的为（　　） A. a＝（1，1，1） B. a＝（－1，－1，1） C. a＝（－3，－3，3） D. a＝（1，1，－1） 解析：　由题知， ＝（－3，－3，3），则与向量 共线的非零向量 均为该直线的方向向量.A选项中的向量（1，1，1）与 不共线，所以不 是直线AB的方向向量.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 若直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝（－2，3， 2），则l1与l2的位置关系是（　　） A. l1⊥l2 B. l1∥l2 C. l1，l2相交不垂直 D. 不能确定 解析：　由题意，直线l1，l2的方向向量分别为a＝（1，2，－2），b＝ （－2，3，2），a·b＝－2＋6－4＝0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故 选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与直线A1D1所成的角 为 ，直线AB与直线CD1所成的角为 ⁠. 90°　 45°　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 17 题型一　空间中点的位置确定 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（3，4，0），B （2，5，5），C（0，3，5）. （1）若 ＝ （ － ），求点P的坐标； 解： ＝（－1，1，5）， ＝（－3，－1，5）， ＝ （ － ）＝ （2，2，0）＝（1，1，0）， ∴P点的坐标为（1，1，0）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标. 解： 由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知 ＝ . 设点P的坐标为（x，y，z）， 则 ＝（x－3，y－4，z）， ＝（2－x，5－y，5－z）， 故（x－3，y－4，z）＝ （2－x，5－y，5－z）， 即 得 因此P点的坐标为（ ， ， ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求空间点的坐标 　　此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，常用方法一是把向 量式转化为以原点为起点的位置向量求解；二是设出所求点的坐标，转化 为方程组求解. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 已知点A（2，4，0），B（1，3，3），如图，以 的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P为线段AB上的点，Q点在AB延长线上，且分别满足条件： （1）AP∶PB＝1∶2； 解：由已知，得 ＝2 ， 即 － ＝2（ － ）， ＝ ＋ ＝ （2，4，0）＋ （1，3，3）＝（ ， ，1）. 因此，P点的坐标是（ ， ，1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标. 解： 因为Q点在AB延长线上且AQ∶QB＝2∶1， 所以 ＝－2 ， － ＝－2（ － ）， ＝－ ＋2 ＝－（2，4，0）＋2（1，3，3）＝ （0，2，6），因此，Q点的坐标是（0，2，6）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　利用向量法求异面直线的夹角（或余弦值） 〔一题多解〕如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝ AD＝1，求PB与CD所成的角. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：法一　由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＋ . 因为PA⊥平面ABCD，所以 · ＝ · ＝ · ＝0， 因为AB⊥AD，所以 · ＝0， 因为AB⊥BC，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1. 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 所以＜ ， ＞＝60°， 所以PB与CD所成的角为60°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　由题意得AB， AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）， P（0，0，1）， 所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0）， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ . 所以＜ ， ＞＝120°， 故PB与CD所成的角为60°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求异面直线所成的角的方法 （1）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点 的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变 得简单； （2）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基 底的方法，这是小技巧.在由公式 cos ＜a，b＞＝ 求向量a，b的 夹角时，关键是求出a·b及｜a｜与｜b｜，一般是把a，b用基底表示 出来，再求有关的量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，D为SB的中点，C是 的中 点，SO＝AB＝4，则直线SA与直线CD所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为C为 的中点，所以OC⊥AB. 如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，－2，0），C（2，0，0）， B（0，2，0）， S（0，0，4），因为D为SB中点，所以D（0，1，2）.所以 ＝（0，－ 2，－4）， ＝（－2，1，2）.设直线SA与直线CD所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为A1C的中点， ＝t ，t∈[0，1]，当PQ与CD所成角的余弦值为 时，t＝ 　 或 　. 或 　 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2）， C（2，2，0），P（1，1，1），D（0，2，0）， B1（2，0，2），设Q（x，y，z），则 ＝（x，y，z）， ＝（2，0，2）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 由 ＝t ，得（x，y，z）＝（2t，0，2t），故Q（2t，0，2t），则 ＝（2t－1，－1，2t－1）， ＝（－2，0，0）， 设PQ与CD所成的角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，解得t＝ 或 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　利用空间向量解决平行与垂直问题 （链接教科书第31页例1、第33页例2、第36页例4）如图所示，正方 体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC， CD，A1B1的中点.求证： （1）AD1⊥G1G； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0. （1）因为 ＝b＋c， ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－ a－c＋b＋ a＝b－c， 所以 · ＝（b＋c）·（b－c）＝｜b｜2－｜ c｜2＝0， 所以 ⊥ ，所以AD1⊥G1G. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）AD1∥EF； 证明：因为 ＝b＋c， ＝ － ＝ － ＝－ b－ c，所以 ＝－ ，所以 ∥ ，所 以EF∥AD1. （3）A1G⊥DF. 证明：因为 ＝ ＋ ＋ ＝－c＋b＋ a，＝ ＋ ＝a－ b，所以 · ＝（－c＋b＋ a）·（a－ b）＝ ｜a｜2－ ｜b｜2＝0，所以 ⊥ ，所以A1G⊥DF. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 要证两直线垂直，由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，可构造与两 直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. 2. 要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足 a＝λb即可. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　〔一题多解〕如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，点M，N分别是面对角线A'B与面对角线A'C'的中点.求证：MN∥AD'. 证明：法一（基向量法）　设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ （a＋c）， ＝c＋ （a＋b），所以 ＝ － ＝ （b＋c）. 又因为b＋c＝ ，所以 ＝ ，所以 ∥ ， 因为MN不在平面ADD'A'内，所以MN∥AD'. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二（坐标法）　建立如图所示的空间直角坐标系，设 正方体的棱长为2，则A（0，0，0），D'（0，2，2）， M（1，0，1），N（1，1，2），所以 ＝（0，2， 2）， ＝（0，1，1）， 所以 ＝ ，所以 ∥ ，因为MN不在平面 ADD'A'内，所以MN∥AD'. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y， 3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　　） A. 0 B. 1 C. D. 3 解析：　∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴ ＝（－1，2－y， z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设 ＝km， ∴ 解得k＝－ ，y＝z＝ .∴y－z＝0. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知 ＝（ ， ，－ ）， ＝（0，－1，0），则异面直线AB与 CD所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：　 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线 DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量 为 . （0，0，1）　 （0，1，1）（答案不唯一）　 解析：因为DD1∥AA1， ＝（0，0，1）， 故直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）； 因为BC1∥AD1， ＝（0，1，1）， 故直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知向量a＝（2，4，5），b＝（4，x，y）分别是直线l1，l2的方向 向量，若l1∥l2，则x＋y＝ ⁠. 解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在实数λ，使得b＝λa，则 解得λ ＝2，x＝8，y＝10.∴x＋y＝18. 18　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 41 1. 已知直线l1的方向向量为m＝（1，2，1），若直线l1∥l2，则直线l2的一个方向向量的坐标是（　　） A. （2，4，2） B. （2，3，－2） C. （1，1，1） D. （－1，1，－1） 解析：　设直线l2的方向向量为n＝（x，y，z），因为直线l1∥l2，所以 n＝λm，即n＝λ（1，2，1），结合选项可知直线l2的一个方向向量的坐 标是（2，4，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“＜a，b ＞＝ ”是“m与n所成角为 ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：　由＜a，b＞＝ ，可以推出直线m与n所成角为 ，但直线m 与n所成角为 时，＜a，b＞＝ 或 ，所以＜a，b＞＝ 是直线m与n 所成角为 的充分不必要条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 两条直线l1，l2的方向向量分别为m＝（2，1，－2），n＝（1，1， 1），则这两条直线（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交或异面 解析：　因为m＝（2，1，－2），n＝（1，1，1），所以m·n＝ 2×1＋1×1－2×1＝1≠0，故直线l1，l2不垂直.又 ≠ ≠ ，故直线 l1，l2不平行，所以两条直线相交或异面.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜ ｜＝34，则点B的坐标为（　　） A. （18，17，－17） B. （－14，－19，17） C. （6， ，1） D. （－2，－ ，13） 解析：　设点B的坐标为 （x，y，z），则 ＝λa（λ＞0），即 （x －2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12）.因为 ｜ ｜＝34，即 ＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17，所 以点B的坐标为（18，17，－17）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E 为BC的中点.以D为原点，以{ ， ， }为空间的一个单位正交基 底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则直线 OE的一个方向向量u＝（　　） A. （－1，1，1） B. （－1，1，－1） C. （－1，2，1） D. （－1，2，－1） √ 解析：　由题意得O（1， ， ），E（ ，1，0），则 ＝（－ ， ，－ ），所以u＝（－1，1，－1）为直线OE的一个方向向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知 ＝λ ， ＝3 ，若AM⊥DE，则λ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分 别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A（1，0，0），M（0， ， ），因为 ＝ λ ，则E（1，1，λ），则 ＝（－1， ， ）， ＝（1，1，λ），因为AM⊥DE，所以 · ＝ 0，即（－1）×1＋ ×1＋ λ＝0，解得λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 如图，已知圆柱O1O2的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面 圆周上一点，满足 ＝2 ，则异面直线AE与BO1所成角的正弦值为 （　　） A. B. － C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为 ＝2 ，所以∠AO2E＝60°，所以 ∠O2AE＝60°，如图所示，以A为原点建立如图所示 的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0）， O1（0，1，2），E（ ， ，0） ，所以 ＝ （ ， ，0）， ＝（0，－1，2），所以异面直线AE与BO1所成角的 余弦值为｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 则 异面直线AE与BO1所成角的正弦值为 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 〔多选〕如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，M是EG和FH的交点，O为空间中任意一点，则 （　　） A. E，F，G，H四点共面 B. · ＝0 C. 为直线BD的方向向量 D. ＝ （ ＋ ＋ ＋ ） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，则EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，于是得四边形EFGH是平行 四边形，故E，F，G，H四点共面，即A正确；因平行四边形两条对角 线不一定垂直，即EG，FH不一定垂直，则 · ＝0不一定成立，B 不正确；因EH∥BD， ≠0，则 为直线BD的方向向量，C正确；平 行四边形EFGH中，M是EG和FH的交点，则M是EG中点，对空间任意 一点O，则 ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ＋ ＋ ），D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知向量a＝（1，－2，4），b＝（2，4x，y＋1）分别是直线l1，l2 的一个方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝ ⁠. 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，故存在实数λ使得b＝λa，则 解得x＝－1，y＝7，所以x＋y＝6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 〔一题多解〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝ 2，P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点.证明：PQ∥RS. 证明：法一　以D为原点， DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系Dxyz. 则P（3，0，1），Q（0，2，2），R（3，2，0），S （0，4，1）， ＝（－3，2，1）， ＝（－3，2，1）， 所以 ＝ ，所以 ∥ . 显然PQ与RS不重合，所以PQ∥RS. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　 ＝ ＋ ＝ － ＋ ， ＝ ＋ ＝ ＋ － ，所以 ＝ ，所以 ∥ . 显然PQ与RS不重合，所以RS∥PQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面 均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所 示的曲池，AA1⊥面ABCD，AA1＝4，底面扇环所对的圆心角为 ， 的 长度是 长度的2倍，CD＝1，则异面直线A1D1与 BC1所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接 OO1，OC，OB，由底面扇环所对的圆心角为 ， 的长度是 长度的2倍，CD＝1，可知OC＝1，以O 为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，则C1（1，0，4），B（0，1，0），D1（2，0， 4），A1（0，2，4），则 ＝（2，－2，0）， ＝（1，－1，4）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，故异面直线 A1D1与BC1所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给 出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）；②直线BC1的一 个方向向量为（0，1，1）；③垂直于平面ABB1A1的直线的一个方向向量 为（0，1，0）；④垂直于平面B1CD的直线的一个方向向量为（1，1， 1）.其中正确的是 .（填序号） ①②③　 解析： ＝ ＝（0，0，1），故①正确； ＝AD1＝（0，1，1），故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1， ＝（0，1，0），故③正确；向量 的坐标为（1，1，1），与平面B1CD不垂直，故④错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中 心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当 ＝ 　 　时， ON⊥AM. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：以A为原点，分别以 ， ， 所在直线 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为1，则A（0，0，0），O（ ， ，0）， N（ ，0，1）.设M（0，1，a）（0≤a≤1）， 则 · ＝（0，1，a）·（0，－ ，1）＝－ ＋a＝0，∴a＝ . ∴当 ＝ 时，ON与AM垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1， O分别为上、下底面的中心，且A1O⊥平面ABCD. （1）求证：CO1⊥平面ABCD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：（1）证明：∵O为下底面中心，底面ABCD为正 方形，且A1O⊥平面ABCD，∴以O为坐标原点，建 立空间直角坐标系，如图所示， 设底面正方形的边长为a，OA1＝h， 则A（ a，0，0），A1（0，0，h），C（－ a，0，0），B（0， a，0），O1（－ a，0，h）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴ ＝（0，0，h）， ＝（ a，0，0）， ＝ （0， a，0）. ∵ · ＝0， · ＝0， ∴CO1⊥OA，CO1⊥OB. 又OA∩OB＝O，OA，OB⊂平面ABCD， ∴CO1⊥平面ABCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时， EF⊥AD？ 解：由（1）及AE＝2EA1，得E（ a，0， h），D（0，－ a，0）. 设 ＝λ （0≤λ≤1）， 则F（－ λa， a－ λa，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ∴ ＝（－ λa－ a， a－ λa，－ h）， ＝（－ a，－ a，0）. 由EF⊥AD，得 · ＝0，即 λa2＋ a2－ a2＋ λa2＋0＝0， ∴λ－ ＝0，∴λ＝ ，∴BF＝ BC， 即点F在BC靠近点B的三等分点处时，EF⊥AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $