1.2.3 直线与平面的夹角(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线与平面的夹角”，通过迈克尔·杰克逊45度倾斜舞步情境导入，衔接空间向量基础，以定义辨析、自我诊断题为支架，引导学生从直观到抽象掌握线面角计算。 其亮点在于用生活情境培养数学眼光，通过定义法、三余弦定理、向量法等多种解题路径发展数学思维，结合母题探究与变式训练强化数学语言表达。例如典例研析对比不同方法，助力学生提升直观想象和运算能力，教师可直接利用分层训练资源提高教学效率。

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.3　直线与平面的夹角 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角（直观想象）. 2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究 几何问题中的作用（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　 迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之 王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其 像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就 申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”. 【问题】　 45度到底指的是哪个角呢？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点　直线与平面的夹角 1. 直线和平面所成的角 c c c 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 　斜线与平面的夹角为［0， ］，对吗？ 提示：错误.斜线与平面的夹角为（0， ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 最小角定理 c c c c 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 提醒：在公式①中，令θ2＝90°，则 cos θ＝ cos θ1· cos 90°＝0.∴θ＝ 90°，即当OM⊥OB时，有OM⊥OA，此即三垂线定理；反之，若令θ＝ 90°，则 cos θ1· cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即当OM⊥OA时， 有OM⊥OB，此即三垂线定理的逆定理.由此可知三垂线定理及其逆定理 可以看成是此公式的特例. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所 成角的大小为θ，则θ＝ 　 －＜v，n＞　或θ＝ 　＜v，n＞－ 　，特别 地 cos θ＝ 或 sin θ＝ ⁠. －＜v，n＞　 ＜v，n＞－ 　 sin ＜v，n＞　 ｜ cos ＜v，n＞｜　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 　直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角 吗？ 提示：不是.直线和平面的夹角为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线与平面的夹角的取值范围是［0， ］. （　√　） （2）直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β 互余. （　×　） （3）一条直线与平面α所成的角是它和平面α内所有直线所成的角的最小 角. （　√　） （4）若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α所成的 角为θ，则 cos θ＝ . （　×　） √ × √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知向量m，n，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若 cos ＜ m，n＞＝－ ，则直线l与平面α所成的角为（　　） A. B. C. D. 解析：　设直线l与平面α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ .∵θ∈［0， ］，∴θ＝ .选项A正确，选项B、C、D错误，故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知平面α的一个法向量为n＝（1，－1，0），则x轴与平面α所成角的 大小为（　　 ） A. B. C. D. 解析：　依题意x轴的方向向量可以为m＝（1，0，0），设x轴与平面α 所成角为θ，则 sin θ＝ ＝ ＝ ，因为θ∈［0， ］，所 以θ＝ ，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小 为 ⁠. 解析：如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为 几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，所以 ∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，设正方体的棱 长为1，则OB1＝ ，CB1＝ ， sin ∠B1CO＝ ＝ ，可得∠B1CO＝30°.即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°. 30°　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 16 题型一　利用定义求直线与平面的夹角 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC ＝60°，∠BCA＝90°. （1）求证：BC⊥平面PAC； 解： 证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以 PA⊥BC. 又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥ 平面PAC. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值. 解：取PC的中点E，连接DE. 因为D为PB的中点， 所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC. 连接AE，则AE是AD在平面PAC内的射影，且DE⊥AE， 所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角.设PA＝AB＝a， 在Rt△ABC中，因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以 BC＝ ，DE＝ ，在Rt△ABP中，AD＝ a， 所以 sin ∠DAE＝ ＝ ＝ .即AD与平面PAC夹角的正弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，问题（2）改为：D为PB上的一点，且 BD＝ PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值. 解：由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A， 所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作 DE∥BC，则DE⊥平面PAC，由BD＝ PB且DE＝ BC， 连接AE，AD， 则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1， 因为∠ABC＝60°， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 所以BC＝ ，DE＝ × ＝ ，PB＝ ，BD＝ . 在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD· cos 45°＝ ，所以AD＝ ， 所以 sin ∠DAE＝ ＝ ＝ . 即AD与平面PAC夹角的正弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. （变设问）若本例（2）条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值. 解：由本例（1）知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面 PBC. 过A作AE⊥PC于E. 所以AE⊥平面PBC. 连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角. 设PA＝2a，AB＝2a， 所以PB＝2 a.故AD＝ a. 在△APC中，AP＝2a，AC＝AB· sin 60°＝2a× ＝ a，所以PC＝ ＝ a，设∠ACP＝θ， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则AE＝AC· sin θ＝AC× ＝ a× ＝ a＝ a， 所以 sin ∠ADE＝ ＝ ＝ . 即AD与平面PBC夹角的正弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求直线和平面所成角的步骤 （1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； （2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐 角或直角即为所求的角； （3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2a，AD＝a，AA1＝a，则直线 B1C与平面ABCD所成的角是（　　） A. 45° B. 90° C. 正切值为2 D. 正切值为 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1B⊥平面ABCD，所以 ∠B1CB就是直线B1C与平面ABCD所成的角，在Rt△B1BC中，BC＝AD ＝a，BB1＝AA1＝a，所以tan∠B1CB＝ ＝1，所以∠B1CB＝45°.故 选A. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°， 且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E. 因为 平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，平面ABD∩平面 BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，所以AD与平面 BCD所成的角是∠ADE，因为∠BAD＝90°，且AB ＝AD，所以∠ADE＝45°.所以AD与平面BCD所成 的角是45°.故选B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　利用 cos θ＝ cos θ1 cos θ2求直线与平面夹角 （链接教科书第45页例1）〔一题多解〕已知∠BOC在平面α内，OA 是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a， BC＝ a，求OA与平面α所成的角. 解：法一　∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝ 60°，∴AB＝AC＝a. 又∵BC＝ a，∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC为等腰直角三角形. 同理△BOC也为等腰直角三角形. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 取BC的中点H，连接AH，OH， ∴AH＝ a，OH＝ a，又AO＝a，∴AH2＋OH2＝AO2. ∴△AHO为等腰直角三角形.且AH⊥OH. 又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，OH，BC⊂平面α， ∴AH⊥平面α. ∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角. 在Rt△AOH中， sin ∠AOH＝ ＝ . ∴∠AOH＝45°.∴OA与平面α所成的角为45°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　∵∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 作∠BOC的角平分线OH交BC于H. 又OB＝OC＝a，BC＝ a，∴∠BOC＝90°. 故∠BOH＝45°，由公式 cos θ＝ cos θ1· cos θ2， 得 cos ∠AOH＝ ＝ ， ∴OA与平面α所成的角为45°. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 cos θ＝ cos θ1· cos θ2的应用 （1）利用公式 cos θ＝ cos θ1· cos θ2求直线与平面的夹角，应明确图形中 θ，θ1，θ2； （2）①当θ＝90°⇔θ2＝90°，即符合三垂线定理； ②由0＜ cos θ2＜1，所以 cos θ＜ cos θ1⇒θ1＜θ，即θ1为所有θ角中最 小的角. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条射线的夹角为60°，则 直线PC与平面APB所成角的余弦值为（　　） A. B. 解析：　如图，∵∠CPA＝∠CPB，∴PC在平面APB内 的射影PH是∠APB的平分线.∴ cos ∠CPH＝ ＝ ＝ . C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　利用空间向量求直线与平面的夹角 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点.求直线BE与平面EAC所成角的正弦值. 解：连接EM，MC，因为EA＝EB，M是AB的中点， 所以EM⊥AB， 因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝ AB，EM⊂平面ABE， 所以EM⊥平面ABCD， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又CM⊂平面ABCD，所以EM⊥CM， 在菱形ABCD中，因为∠ABC＝60°， 所以△ABC是正三角形， 所以MC⊥AB，所以ME，MC，MB两两垂直. 所以以点M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别 为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（－1，0，0），B（1，0，0），C（0， ，0），E（0，0， ）， ＝（1， ，0）， ＝（1，0， ）， ＝（－1，0， ）， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 设m＝（x，y，z）是平面ACE的一个法向量， 则 即 令z＝1，得m＝（－ ，1，1）， 设直线BE与平面EAC所成的角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以直线BE与平面EAC所成角的正弦值为 . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 （变设问）若点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°， 求出 的值. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：由题意可知，平面ABE的一个法向量为n＝（0，1，0）， ＝（1，0， ）， ＝（0， ，－ ）， 设 ＝λ ＝（0， λ，－ λ），0≤λ≤1， 则 ＝ ＋ ＝（1， λ， － λ）， 因为直线AP与平面ABE所成的角为45°， 所以 sin 45°＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ，整理可得4－6λ＝0，解得λ＝ ，所以 ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 用法向量求线面角的正弦值的流程图 　　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂 直.若点C到平面AB1D1的距离为 ，则直线B1D与平面AB1D1所成角的 余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接AO， 过点C作CH⊥AO于点H，连接CO，AC. 易得平面 AB1D1⊥平面AA1C1C，且平面AB1D1∩平面AA1C1C AO，CH⊂平面AA1C1C，所以CH⊥平面AB1D1， 则CH＝ .设AA1＝a（a＞0），则AO＝CO ＝ ，AC＝2 ，则根据三角形面积公式得S△AOC＝ ×AO×CH＝ ×AC×AA1，代入解得a＝2 （负值舍）.以A1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 A1xyz.则A（0，0，2 ），B1（2，0，0），D1（0，2，0），D（0， 2，2 ），所以 ＝（0，2，－2 ）， ＝（2，0，－2 ）， ＝（－2，2，2 ）.设平面AB1D1的法向量为n＝（x，y，z），则 即 令x＝ ，得平面AB1D1的一个法向 量n＝（ ， ，1）. cos ＜ ，n＞＝ ＝ ，所以直线 B1D与平面AB1D1所成角的余弦值为 ＝ ，故选A. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 若直线l与平面α所成角为 ，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直 线l与直线a所成角的取值范围是（　　） A. ［0， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ， ］ D. ［ ， ］ 解析：　由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为 ，又l，a为异 面直线，则所成角的最大值为 . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面内的投影，P为侧棱 SD的中点，且SO＝OC，则直线CD与平面PAC所成的角是（　　） A. 45° B. 90° C. 30° D. 60° √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴， OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐 标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（0， －a，0），C（0，a，0），D（－a，0，0），S（0， 0，a），P（－ ，0， ），则 ＝（0，－2a，0）， ＝（－ ，a， ）， ＝（－a，－a，0）.设平面PAC的法向量为n＝（x，y，z），则n· ＝0， n· ＝0，∴ 可取n＝（1，0，1）.设直线CD与平面PAC所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.故选C. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BB1＝2 ，点D是棱BB1的中 点，则AD与平面AA1C1C所成角的大小为（　　） A. B. C. D. √ 解析：　如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连 接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证 DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面 AA1C1C所成的角.在Rt△DNA中， sin ∠DAN＝ ＝ ＝ ，∠DAN＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若 cos ＜ m，n＞＝－ ，则l与α所成的角为 　 　. 解析：设l与α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜m，n＞｜＝ .因为θ∈ ［0， ］，所以θ＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 47 1. 设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，若＜s，n＞＝ ，则 直线l与平面α所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：　因为＜s，n＞＝ ＞ ，所以l与α所成角的大小为 － ＝ . 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n.若＜a， n＞＝ ，则l与α所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 解析：　如图所示，直线l与平面α所成的角θ＝ －（π － ）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知OA，OB，OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为30°，则 OC与平面OAB所成角的余弦值为（　　） A. 2 －2 B. C. D. 2 －2 解析：　设OC与平面OAB所成的角为θ，则 cos 30°＝ cos θ· cos 15°，∴ cos θ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝ BC，E，F分别为CD，PC的中点，则直线PE与平面ABF所成角的正弦 值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝ 2，则P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2， 0），B（2，0，0），由F，E分别为PC，CD的中 点，则F（1，1，1），E（1，2，0），则 ＝（－ 1，1，1）， ＝（1，2，－2）， ＝（2，0， 0），设平面ABF的法向量为n＝（x，y，z），则 设y＝1，则z＝－1，x＝0，所以平面ABF的一个法向量为n＝（0，1，－1）， 设直线PE与平面ABF所成角为θ， sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M是BD的中点，则B1M与平面 AA1D1D所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意得，建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1， 1，0），∴ ＝（－1，－1，－2），由DC⊥平面 AA1D1D，∴ ＝（0，2，0）是平面AA1D1D的一个 法向量，设B1M与平面AA1D1D所成的角为θ，则 sin θ ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，∴B1M与平面AA1D1D所成角的余弦值为 cos θ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 如图，在正四棱柱AC1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角 的余弦值为 ，则正四棱柱的高为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空 间坐标系，如图所示，设DD1＝a，则A（2，0，0），C （0，2，0），D1（0，0，a），故 ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，a）， ＝（0，0，a），设平面ACD1 的一个法向量为n＝（x，y，z），则 可取n＝（1，1， ），故｜ cos ＜n， ＞｜＝ ＝ ＝ ，又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为 ，∴ ＝ ，解得a＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD， ∠CBA＝∠DBC＝120°，则（　　） A. 直线AD与直线BC所成角的大小为90° B. 直线AB与直线CD所成角的余弦值为 C. 直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D. 直线AD与平面BCD所成角的大小为60° √ √ √ 解析： 　以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系Bxyz，设AB＝2，则A（0，－1， ），C（0，2， 0），D（ ，－1，0），所以 ＝（ ，0，－ ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ＝（0，2，0）， ＝（0，1，－ ）， ＝（ ， －3，0）.因为 · ＝0，所以AD⊥BC，即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确.因为｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ，所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为 ，B正确.设AD与平面BCD所成的角为θ，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以 sin θ ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ，所以θ＝45°， 即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确，D错.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 若平面α的一个法向量为（1，1，1），直线l的方向向量为（0，3， 4），则l与α所成角的正弦值为 ⁠. 解析：设l与平面α所成的角为θ，则 sin θ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝ ∠CSA＝ ，M，N分别是AB，SC的中点，则异面直线SM与BN所成角 的余弦值为 　 　，直线SM与平面SAC所成的角的大小为 　 　. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：因为∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ ，所以以S为原点，SB，SA， SC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）.设SA＝ SB＝SC＝2，则S（0，0，0），M（1，1，0），B（2，0，0），N （0，0，1），A（0，2，0），C（0，0，2）.故 ＝（1，1，0）， ＝（－2，0，1），所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ，故异 面直线SM与BN所成角的余弦值为 .由题意得，平面SAC的一个法向量 为 ＝（2，0，0），设直线SM与平面SAC所成的角为θ，其中θ∈［0， ］，则由 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ，解得θ＝ ，即直线 SM与平面SAC所成的角的大小为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝ 90°，E，F分别为C1C，BC的中点. （1）证明：B1F⊥AE； 解：证明：显然AB，AC，AA1两两垂直，分别 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A （0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0）， B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）， ＝（－1，1，－2）， ＝（0，2，1），则 · ＝－1×0＋1×2＋（－2）×1＝0，则 ⊥ ，∴B1F⊥AE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求直线A1B与平面AEF所成角的正弦值. 解：由（1）可知， ＝（2，0，－2）， ＝ （0，2，1）， ＝（1，1，0） 设平面AEF的法向量为m＝（x，y，z）， ∴ 令x＝1，得y＝－1，z＝2，即m＝（1，－1，2）. 设A1B与平面AEF所成角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝｜ ｜ ＝｜ ｜＝ . ∴直线A1B与平面AEF所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， ＝ ， ＝ ， ＝λ ，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（　　） A. B. 解析：　如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.则M（ ，0，1），N （1，0， ），C（0，1，0）， C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 B1（1，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1）.所以 ＝λ ＝（－λ，0，－λ），E（1－λ，1，1－λ）， ＝（ ，0，－ ）， ＝（ －λ，1，－λ）. 设平面MNE的法向量为m＝（x，y，z），则 令x＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 则y＝2λ－ ，z＝1，可得m＝（1，2λ－ ，1）.又 ＝（0，0，1），设直线DD1与平面MNE所成的角为α， 则 sin α＝｜ cos ＜m， ＞｜＝｜ ｜＝ ＝ ，从而当λ＝ 时， sin α取到最大值，又α∈［0， ］，故λ＝ 时直线DD1与平面MNE所成的角最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E是CC1的 中点，则（　　） A. BD1与DE所成角的余弦值为 B. BE与平面BDD1B1所成的角为30° C. BD1与平面BDE所成的角为45° D. 四面体ABED1的体积是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：以D为原点， ， ， 的方向分别为x， y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），D1（0，0，2），B（1，1，0）， B1（1，1，2），E（0，1，1），A（1，0，0）， C（0，1，0）， ＝（－1，－1，2）， ＝ （－1，0，1）， ＝（0，1，1）， ＝（－1，1，0）. 对于A，｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以BD1与DE所成角的余弦值为 ，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 对于B，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，因 为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC， 又因为BD，DD1⊂平面BDD1B1，BD∩DD1＝D，所以 AC⊥平面BDD1B1，即 为平面BDD1B1的一个法向 量，｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以BE与平面BDD1B1所成的角为30°，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 对于C，设平面BDE的一个法向量为n＝（x，y，z），则 ⇒ 取x＝1，则n＝（1，－1，1），｜ cos ＜ ，n＞｜ ＝ ＝ ＝ ≠ ，所以BD1与平面BDE所成的角不 为45°，故C错误；对于D，因为BC1∥AD1，BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面 AD1E，所以BC1∥平面AD1E，所以四面体ABED1的体积 ＝ ＝ ＝ · ·AD＝ × ×1×1×1＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 〔一题多解〕在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M，N分 别在棱BC，AB上，且满足AN＝BM，当三棱锥D-MNB1的体积最小时， B1M与平面A1MN所成角的正弦值是 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：设AN＝x（0≤x≤2），则S△DMN＝2×2－ ×2x－ （2－x）x － ×2（2－x）＝2－ （2－x）x.由等体积法，得 ＝ ＝ ×2×S△DMN＝ － （2－x）x≥ － （ ）2＝1，当且仅当2－ x＝x，即x＝1时，等号成立.所以当 最小时，M，N分别是所在 棱的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法一　易知A1N＝B1M＝ ，A1M＝3，MN＝ .由余弦定理，得 cos ∠A1MN＝ ＝ ，所以 sin ∠A1MN＝ ，所以 ＝ × ×3× ＝ .设点B1到平面A1MN的距离为h.根据 ＝ ，得 × ×2×2×1＝ × ×h，解得h＝ .所以 B1M与平面A1MN所成角的正弦值为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系（图略），则N（2，1，0），M（1，2，0），A1 （2，0，2），B1（2，2，2）.所以 ＝（1，－1，0）， ＝（－ 1，2，－2）， ＝（1，0，2）.设平面A1MN的法向量为n＝（x， y，z），则 即 令x＝1，得y＝1，z ＝ ，则n＝（1，1， ）.设B1M与平面A1MN所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜n， ＞｜＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截后得到的几何 体，截面为ABC. 已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1 ＝2，CC1＝3. （1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解： 证明：由题可得BB1⊥平面A1B1C1，又A1B1， B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1， 又因为∠A1B1C1＝90°，所以可以以B1为坐标原点建立空 间直角坐标系，如图1， 则C1（1，0，0），C（1，0，3），A1（0，1，0），A （0，1，4），B（0，0，2）， 因为O是AB的中点，所以O（0， ，3）， ＝（1，－ ，0）， 易知n＝（0，0，1）是平面A1B1C1的一个法向量， ·n ＝0，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）求直线AB与平面AA1C1C所成的角的余弦值； 解：设直线AB与平面AA1C1C所成的角为θ， ＝ （0，0，4）， ＝（1，－1，0），设m＝（x，y，z） 是平面AA1C1C的法向量，则由 得 取x＝1，得m＝（1，1，0）. 又因为 ＝（0，－1，－2），所以 cos ＜m， ＞＝ ＝－ ， 则 sin θ＝ ， cos θ＝ ，所以直线AB与平面AA1C1C所成的角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）求此几何体的体积. 解：分别延长A1A，B1B，C1C至点D，E，F，使AD＝ 2，BE＝4，CF＝3，如图2，则 ＝ ＝ ×（ ×1×1）×6＝ .因此该几何体的体积为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $