1.2.4 二面角 第1课时课件——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.4 二面角 第1课时 新授课 回顾：在初中，角的定义是什么？ 由公共端点出发的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边. 角 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.理解二面角及其平面角的概念. 2.掌握作二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小. 新课讲授 学习目标 课堂总结 情境：日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象， 如图(1)(2)所示 日常生活中还有哪些类似的例子？ 怎样刻画平面与平面所成的角呢？ 知识点一：二面角及其平面角的概念. 新课讲授 学习目标 课堂总结 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面. 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线. 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 l   二面角的棱 二面角的面 新课讲授 学习目标 课堂总结 A B   二面角－AB－    l 二面角－ l－  二面角C－AB－ D A B C D 表示方法： 新课讲授 学习目标 课堂总结 生活中的二面角 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：类比二面角和平面角，如何表示二面角的大小? 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 二面角的大小用它的平面角大小来度量 则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角 A′ B′ O′ ∠AOB = ∠A′OB′ 新课讲授 学习目标 课堂总结 约定二面角及其平面角大小范围：[0，π] 二面角的平面角的定义的三个主要特征： (1)过棱上任意一点； (2)分别在两个半平面内作射线； (3)射线垂直于棱. l   新课讲授 学习目标 课堂总结 在地理学科中所学过的黄赤交角，指的就是黄道平面(即地球公转的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23°26'，如图所示. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 如图所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B两个点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，求二面角α-l-β的大小. 解：如图所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD， 连接CE，ED. 因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角. 又AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC， 从而 新课讲授 学习目标 课堂总结 在△AEC中，由余弦定理可知 因此∠CAE=. 即所求二面角的大小为. 新课讲授 学习目标 课堂总结 定义法求二面角的一般步骤： 归纳总结 (1)作(找)出二平面的平面角； (2)写出(或证明)作(找)出平面角的过程； (3)计算：利用解三角形知识求解； (4)结论：根据题意给出结果. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作 半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点. (1)判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件； (2)结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？ (1)因为S′是S在平面β内的射影，所以S′O是SO 在平面β内的射影. 根据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S'O⊥AB的充要条件. 知识点二：作二面角的平面角 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)当二面角α-AB-β是一个锐角时，得到作出它的平面角的另一种方法： ①过其中一个半平面内一点S，作另一个半平面的垂线段SS' ②过S(或S')作棱的垂线SO(或S'O) ③连接S'O(或SO)即可. 面积射影定理：射影三角形与原三角形的面积之比为cosθ. 如果二面角α-AB-β的大小为θ，在△SOS′中， 因为 所以 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 如图所示三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC，SA=SC=， AB=BC=2，且AB⊥BC，求二面角S-AB-C的大小. 解：设O，E分别为AC，AB的中点，连接SO，OE，SE，如图所示. 因为SA=SC，所以 SO⊥AC， 因此SE在平面ABC内的射影为OE，且OE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥OE. 又因为面SAC⊥面ABC，所以SO⊥面ABC， 由