1.2.2 空间中的平面与空间向量（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间平面与空间向量，核心内容包括平面法向量的定义、性质、求法及三垂线定理。通过手机导航情境导入，从直线方向向量自然过渡到平面法向量，以互动探究引导学生构建知识脉络。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，用法向量四步骤表格和三垂线定理应用训练数学思维，通过坐标法与向量运算强化数学语言。实例丰富，易错点警示清晰，助力学生夯实基础，教师可高效开展教学。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.2.2 空间中的平面与空间向量 1.2 空间向量在立体几何中 的应用 学 习 目 标 1 2 能陈述法向量的定义，会求简单几何体（如长方体、正棱锥）中平面的法向量。 能准确叙述三垂线定理及其逆定理的文字与符号语言，能找出“三线”（斜线、射影、面内直线）之间的垂直关系。 能运用定理证明空间中的线线垂直、线面垂直问题（如证明异面直线垂直、作二面角的平面角）。 教学重点： 法向量坐标的求解方法，三垂线定理中“面内线垂直于射影则垂直于斜线”的互逆关系。 教学难点： 三垂线定理中“垂面”的构造与射影的寻找。 新课引入 同学们，咱们日常用手机导航定位的时候，APP不仅能告诉你经纬度，还能精准算出你和目的地的直线距离，哪怕中间隔着高楼也能快速规划路线。 大家有没有好奇过，在三维的城市空间里，导航系统是怎么用数学方法精准描述每一个平面、计算空间位置的？ 今天咱们要学的“空间中的平面与空间向量”，就是解开这个导航定位秘密的核心钥匙。 目标一：平面的法向量概念及性质 互动探究 空间平面法向量 空间平面与空间向量 我们已经知道，空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直线的位置。那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？ 根据共面向量基本定理，同一个平面内的所有向量都可以用两个不共线的向量来表示。这两个不共线的向量也称作一组基底。因此有同学提出，可以用基底来表示一个平面。 这种方法的缺点就是需要两个向量。那么能不能类似于直线的方向向量，只用一个向量来表示平面呢？ 知识讲解 平面的法向量 空间平面与空间向量 【平面法向量的定义】 如果 α 是空间中的一个平面， n 是空间中的一个非零向量，且表示 n 的有向线段所在的直线与平面 α 垂直，则称 n 为平面的一个法向量。此时，也称 n 与平面 α 垂直，记作 n⟂α 。 如图，长方体 中，是平面 的一个法向量，也是平面 的一个法向量；类似地，是平面 和平面 的一个法向量。 知识讲解 法向量的基本性质 空间平面与空间向量 (1) 如果直线 l 垂直于平面 α ，则直线 l 的任意一个方向向量都是平面 α 的一个法向量； (2) 如果 n 是平面 α 的一个法向量，则对任意的实数 λ≠0 ，空间向量 λn 也是平面 α 的一个法向量，而且平面 α 的任意两个法向量都平行； (3) 如果 n 是平面 α 的一个法向量，A为平面 α 上一个点，则平面 α 的位置可由 n 和A唯一确定。 知识讲解 法向量的拓展性质 空间平面与空间向量 如果 v 是直线的一个方向向量，n 是平面 α 的一个法向量，分别探讨 n//v 与 n⟂v 时，直线 v 与平面 α 的关系。 v 是直线的一个方向向量，n 是平面 α 的一个法向量 直线l垂直于平面α，方向向量v与法向量n平行，n//v⇔l⟂α （上图） 直线l平行于平面α，方向向量v与法向量n垂直， n⟂v⇔l//α 或 l⊂α （下图） 线面平行 例1 已知正方体 中，， 分别是 与 的中点。 求证： 平面 建系 证明： 以 为原点，，， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空问直角坐标系。 坐标 则 ，， 又因为 是 的中点，所以 的坐标为 即 正方体及坐标系] 类似地，可得 因此 ， 平面 所以 是平面 的一个法向量，而且 与法向量垂直 即 ，由图可知 不在平面 内， 因此 平面 知识讲解 法向量的拓展性质 空间平面与空间向量 如果 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量，分别探讨 与 时，平面 与平面 的关系。 一个法向量。 平面α1垂直于平面α2，法向量n1垂直于n2 平面α1平行于平面α2，法向量n1平行于n2 或 与 重合 目标二：平面的法向量求法 互动探究 平面法向量求法 空间平面与空间向量 怎样才能求得空间中平面的一个法向量呢？ 根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果 ，， 是平面 内不共线的三点，非零空间向量满足 ，，则 是平面 的一个法向量，根据这一结论通过设未知数解方程组，即可求得平面的一个法向量。 求法向量 例2 如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥 中， ，，，，其中 求平面 的一个法向量。 基向量 由已知可得 ，。 列方程 设平面 的一个法向量为 则 法向量 将 看成常数，可解得 ， 令 ，则 ， 因此， 为平面 的一个法向量。 平面法向量通用求解四步骤表格 步骤 操作内容 对应公式/说明 关键点 步骤1找向量 在平面中取3个不共线点，求出平面内两个不共线向量、 如三点，取 两向量必须相交、不共线 步骤2列方程 设平面法向量，法向量垂直平面内所有向量，数量积为0，列方程组 利用垂直向量点积为0 步骤3赋值求解 方程组是三元不定方程，给中一个变量赋简单非零常数，解出另外两个变量 常令或简化计算 赋值不能取0导致无法求解 步骤4写出法向量 把解出的组合成向量，得到平面一个法向量 所得，任意都是该平面法向量 法向量不唯一，倍数、反向均可 目标三：三垂线定理及逆定理 互动探究 射影 空间平面与空间向量 点射影 已知空间中的平面 以及点 ，过 作 的垂线 ，设 与 相交于点 ，则 就是点 在平面 内的射影（也称为投影）。不难看出，当 不是平面 内的点时，如果 的射影为 ，则 与 都是平面 的一个法向量。 图形 射影 空间中，图形 上所有点在平面 内的射影所组成的集合 ，称为图形 在平面 内的射影。 例如，如图所示，如果 的顶点 在平面 内， 与 都在平面 外，则分别过 与 作 的垂线，设交点分别为 ，，则 就是 在平面 内的射影。而且，此时 与 都是平面 的一个法向量。 定理引例 已知 是平面 内的一条斜线，且 为斜足，设 是 在平面 内的射影，而 是平面 内的一条直线，如图所示，判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： (1)当 时， (2)当 时， （1） 证明： 设 ，则由 且 可知 ，即 。 如果 ，则 ，。 又因为 ，所以 ，因此 。 （2） 如果 ，则 ，。 又因为 ，所以 ，因此 。 知识讲解 三垂线定理及逆定理 三垂线定理： 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直。 定理 核心作用 适用场景 解题价值 三垂线定理平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 由射影垂直推斜线垂直，实现平面内线与空间斜线垂直转化 证明异面直线垂直、线线垂直；找二面角平面角；证明线面垂直 不用平移异面直线，直接证明异面垂直，快速找垂直关系 三垂线定理逆定理平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直 由斜线垂直推射影垂直，把空间垂直转化为平面内垂直 已知斜线与平面内直线垂直，求证平面内两条直线垂直；求点到直线距离、作图找垂足 将空间垂直问题降维到平面几何计算，方便勾股、相似运算 示例 例3 如图所示，已知 是一个正方体，求证：。 证明： 连接 。因为 是正方体，所以 平面 ，因此 在平面 内的射影为 。又因为 是正方形，所以 ，因此根据 三垂线定理 可知 。 两条线是异面直线，可以平移到同一三角形内证垂直；可以用向量之积为零证垂直，可以建系用坐标法证垂直。这里主要是应用三垂线定理、 应用 例4 如图所示的三棱锥 中，，，且 为 的 边上的高，求证：。 证明： 因为 ，，，所以 平面 。因此 在平面 内的射影为 。又因为 ，所以根据 三垂线定理的逆定理 可知 。 应用三垂线逆定理、 目标四：针对训练 举一反三 1.在正方体 中，若 为 的中点，则直线 垂直于（ ） A. B. C. D. 解析： 直线 CE 在平面 ABCD 内的射影在直线 AC 上，又 AC⟂BD，则 BD⟂CE。故选B。 2.已知平面 内有点 ，，若平面 的一个法向量为 ，则 ( ) A. B. C. D. 解析： ，由题知 ，所以 ，解得 。 举一反三 3.已知直线 和平面 ，若直线 的一个方向向量为 ，向量 ，，则下列结论一定正确的为（ ） A. 平面 B. 与平面 相交但不垂直 C. 直线 D. 平面 或 平面 解析： ， 与 不垂直，即 与 不垂直，所以直线 与平面 不垂直，A错误；，因此不存在实数 ，使得 ，所以 与 不平行，即直线 与直线 不平行，C错误；设 是平面 的法向量，则 取 ，则 ，，所以 ，所以直线 与平面 平行或在平面 内，B错误，D正确。故选D。 举一反三 4.已知 为空间内三个不共面的向量，平面 和平面 的法向量分别为 和 ，若 ，则 （ ） A. 5 B. -5 C. 3 D. -3 解析： 因为 为空间内三个不共面的向量，所以 可以作为空间的一组基底，又平面 和平面 的法向量分别为 和 且 ，所以 ，则 ，即 ，所以 解得 ，，，所以 。故选B。 举一反三 5.已知点 ，，，则下列向量是平面 的法向量的是（ ） A. B. C. D. 解析： 由题意知 ，。 对于 A，，，向量 与 均垂直，又 ， 平面 ，向量 是平面 的一个法向量。故选 A。 6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”。如图，在阳马 中， 平面 ，底面 是正方形， 分别为 的中点，点 在线段 上， 与 交于点 ，，若 平面 ，则 ( C ) A. B. C. D. 解析： 以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系。由题意可得 ，，，，，则 ，，所以 ，。设平面 的法向量为 ，则 即 解得 。令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 。因为 平面 ，所以 。设 ，则 ，所以 ，解得 ，所以 ，即 。故选 C。 目标五：小结 学海拾贝 核心知识点梳理型小结 1. 今天这节课我们完成了从“用向量描述点、直线”到“用向量描述平面”的关键跨越，核心要记住三个核心内容：平面的向量表示式、共面向量定理的应用、平面法向量的定义与求法。大家课后要明确，法向量是垂直于整个平面的非零向量，一个平面的法向量有无数条，但它们全部互相平行，不存在方向相反之外的差异。 2. 学习注意事项：千万不要把平面法向量和直线的方向向量概念搞混，法向量是垂直于平面的向量，方向向量是平行于直线的向量，二者的几何意义完全不同；计算法向量时，解方程组得到的结果可以取任意非零的最简整数比，不用刻意纠结符号正负，只要方向垂直于平面就符合要求。 学海拾贝 易错点警示型小结 3. 额外提醒：用共面向量定理证明点共面时，一定要先确认作为基底的两个向量不共线，忽略这个前提直接写线性表达式，是这部分最常见的失分点。 1. 这节课的内容是后续用空间向量求线面角、二面角的基础，相当于给整个立体几何的向量运算搭好了“平面坐标系”，大家一定要把基础打牢，别给后面的学习留漏洞。 学海拾贝 2. 学习注意事项：很多同学求法向量时，会随便设一个坐标为0，这是非常容易出错的操作——如果平面本身就平行于你设为0的那条坐标轴，最后算出来的向量就会出现错误，正确的做法是设其中一个非零坐标为1，再代入方程组求解，就能避开这个陷阱。 3. 额外提醒：判断线面平行时，不能只验证直线的方向向量和平面的法向量垂直就直接下结论，必须补充验证这条直线上有一个点不在平面内，否则会出现“向量垂直但直线在平面内”的逻辑漏洞，这是考试里高频的易错扣分点。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $