1.1.1 第1课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过滑翔伞运动受力情境导入，类比平面向量自然推广到空间，构建从平面到空间的知识支架，帮助学生理解空间向量的定义、特殊向量及加减数乘运算。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，题型分类（概念辨析、线性运算等）结合跟踪训练，落实数学抽象、直观想象、数学运算核心素养。典例研析与规律方法总结助力学生掌握解题策略，教师可通过基础落实与课时作业提升教学效率。

1.1.1　空间向量及其运算 第一课时　空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念 （数学抽象）. 2.掌握空间向量的线性运算（直观想象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 章前图展示的是一个滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行 员会受到来自不同方向、大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？ 【问题】　 （1）对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示 出来？ （2）类比平面向量的概念，你能给出空间向量的概念吗？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　空间向量 1. 空间向量的概念 （1）定义：空间中既有 又有 的量称为空间向量； （2）模（或长度）：向量的 ⁠； （3）表示方法： ①几何表示法：可以用 来直观地表示向量，如始点为A终点 为B的向量，记为 ，模为｜ ｜； ②字母表示法：可以用小写字母a，b，c来表示向量，模为｜a｜，｜ b｜，｜c｜. 大小　 方向　 大小　 有向线段　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 几类特殊的向量 （1）零向量： 和 相同的向量称为零向量，记作0； （2）单位向量：模等于 的向量称为单位向量； （3）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等向量； （4）相反向量：方向 、大小 的向量称为相反向量； （5）平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相 ⁠ ，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线 或重合. 通常规定零向量与任意向量平行； 始点　 终点　 1　 相等　 相同　 相反　 相等　 平 行　 平行　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段 通过平移后，都能在 内，则称这些向量共面. 提醒：零向量的方向是不确定的，零向量的模为0，即｜0｜＝0. 同一平面　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 ＝ ⁠ ＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c 减法 ＝ ⁠ ＝a－b ＋ 　 － 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 名称 代数形式 几何形式 运算律 数乘 当λ＞0时，λa＝λ ＝ ； 当λ＜0时，λa＝λ ＝ ； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ（μa）＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ （a＋b）＝λa＋λb 提醒：与空间向量的线性运算相关的结论：（1）若O为空间中任意一 点，则点P是线段AB中点的充要条件是 ＝ （ ＋ ）；（2）若G 为△ABC的重心，则 ＝ （ ＋ ＋ ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量平行. （　√　） （2）向量 的长度与向量 的长度相等. （　√　） （3）空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任 意选取. （　√　） √ √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知空间四边形ABCD中， ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ （　　） A. a＋b－c B. c－a－b C. c＋a－b D. c＋a＋b 解析：　 ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＝－a－b＋c＝c－ a－b. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 化简：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝ ⁠. 3a－2b 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 14 题型一　空间向量的概念及简单应用 （1）下列说法中正确的是（　　） A. 若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B. 若向量a是向量b的相反向量，则｜a｜＝｜b｜ C. 空间向量的减法满足结合律 D. 在四边形ABCD中，一定有 ＋ ＝ √ 解析：　｜a｜＝｜b｜，说明a与b模相等，但方向不确定.对于a的相反向量b＝－a，故｜a｜＝｜b｜，从而B正确.只定义加法具有结合律，减法不满足结合律；一般的四边形不满足 ＋ ＝ ，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 ①试写出与 是相等向量的所有向量； ②试写出 的相反向量； ③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量 的模. （2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终 点的向量中： 解：①与向量 是相等向量的（除它自身之外）有 ， 及 . ②向量 的相反向量为 ， ， ， . ③｜ ｜＝ ＝ ＝ ＝3. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 空间向量有关概念问题的解题策略 （1）两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向 量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件； （2）理解空间向量的有关概念、熟练掌握向量的加、减法的运算法则及 向量加法的运算律是解决好这类问题的关键. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　〔多选〕下列命题中不正确的是（　　） A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B. 向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C. 若两个非零空间向量 ， ，满足 ＋ ＝0，则 ∥ D. 若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb √ √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A，若b＝0，则a与b共线，b与c共线，但a与c不一 定共线，所以A错误；对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量， 表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误；对于C，因 为 ＋ ＝0，所以 ＝－ ，所以 与 共线，所以 ∥ ， 所以C正确；对于D，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，所以D错 误；故选A、B、D. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　空间向量的加减运算 如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简 － ＋ ＋ ＋ ，并在图中标出化简结果的向量. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形 AA1F1F是平行四边形， 所以 ＝ . 同理 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 所以 － ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ，如图. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 空间向量加法、减法运算的两个技巧 （1）巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减运算的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； （2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是（　　） A. － － B. ＋ － C. － － D. － ＋ √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　A中， － － ＝ － ＝ ；B中， ＋ － ＝ ＋ ＝ ；C中， － － ＝ － ＝ － ＝ ≠ ；D中， － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ≠ .故选A、B. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　空间向量的数乘运算 设A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心.求证： ＝ （ ＋ ＋ ）. 证明：如图，连接BG，延长后交CD于点E，由G为 △BCD的重心，知 ＝ . 由题意知E为CD的中点，∴ ＝ ＋ . ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ [（ － ）＋（ － ）]＝ （ ＋ ＋ ）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法 则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； （2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质和重心 性质. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M. 设 ＝ a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是（　　） A. a－ b－c B. － a－ b－c C. － a＋ b－c D. a＋ b－c √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　因为 ＝a， ＝b， ＝c，所以 ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）＋ ＝－（－ a＋ b）－c.即 ＝ a－ b－ c，故选A. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　） A. 向量 与 的长度相等 B. 将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C. 空间向量就是空间中的一条有向线段 D. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量 √ √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　对于选项A：向量 与 是相反向量，长度相等，故A为真 命题.对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终 点构成一个球面，故B为假命题.对于选项C：空间向量可以用空间中的一 条有向线段表示，但是空间向量不是有向线段，故C为假命题.对于选项 D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D 为真命题.故选A、D. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 〔一题多解〕已知空间中任意四个点A，B，C，D，则 ＋ － ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　法一　 ＋ － ＝（ ＋ ）－ ＝ － ＝ . √ 法二　 ＋ － ＝ ＋（ － ）＝ ＋ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. （2026·潍坊高二期末）如图，空间四边形OABC中， ＝a， ＝ b， ＝c，D是BC的中点， ＝ ，则 ＝（　　） A. a＋ b＋ c B. a＋ b＋ c C. a＋ b＋ c D. a＋ b＋ c √ 解析：　 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ × （ ＋ ）－ ＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋ c，故选A. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 化简： （a＋2b－3c）＋5（ a－ b＋ c）－3（a－2b＋c）＝ 　 ⁠. 解析：根据空间向量的数乘运算法则可知，原式＝ a＋b－ c＋ a－ b ＋ c－3a＋6b－3c＝（ ＋ －3）a＋（1－ ＋6）b＋（－ ＋ － 3）c＝ a＋ b－ c. a＋ b－ c　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. 下列说法正确的是（　　） A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 解析：　根据相等向量的概念可以得到D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知四边形ABCD，O为空间中任意一点，且 ＋ ＝ ＋ ， 则四边形ABCD是（　　） A. 平行四边形 B. 空间四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 解析：　∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ ＝ ，∴AB∥DC且｜ ｜ ＝｜ ｜，∴四边形ABCD为平行四边形.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. （2026·日照高二期末）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简 ＋ ＋ ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　在平行六面体ABCD-A1B1C1D1，连接 AC，如图，则 ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. （2026·海淀区高二期末）在四面体O-ABC中，若 ＝ ， ＝ ， ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　） A. （a＋b＋c） B. （a＋b－c） C. （a－b＋c） D. （b＋c－a） √ 解析：　如图，∵ ＝ ， ＝ ，∴M，N分 别为AB，OC中点，∴ ＝ ＋ ＋ ＝－ c＋ a＋ ＝－ c＋a＋ （ － ）＝－ c＋ a＋ b ＝ （a＋b－c）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，｜ － ＋ ｜＝ （　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　｜ － ＋ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜ ＝｜ ｜＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确 的是（　　） A. ＋ 与 ＋ 是一对相等向量 B. － 与 － 是一对相反向量 C. － 与 － 是一对相等向量 D. ＋ ＋ ＋ 与 ＋ ＋ ＋ 是一对相反向量 解析：　A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向 量；D中是一对相反向量，故D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 ＝ C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D. 空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 解析： 　对于A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相 等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同，故A为假命 题；对于B， 与 的方向相同，模也相等，故 ＝ ，故B为真 命题；对于C，向量的相等满足传递性，故C为真命题；对于D，平行向量 不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行，故D为假命题. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 〔一题多解〕已知A，B，C，D为空间中任意四点，化简（ － ）－（ － ）＝ 　 　. 解析：法一（利用相反向量的关系转化为加法运算）　（ － ）－ （ － ）＝ － － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0. 法二（利用向量的减法运算法则求解）　（ － ）－（ － ）＝ （ － ）＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC1与A1C的交点，且 （ ＋ ＋ ）＝λ ，则λ＝ 　 　. 解析：如图，因为O为AC1与A1C的交点，所以O为AC1的 中点，所以 ＝2 ，则 （ ＋ ＋ ）＝ ＝ ，故λ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点. （1）化简： － － ＝ 　 　； 解析： － － ＝ －（ ＋ ）＝ － ＝ － ＝ ＋ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）用 ， ， 表示 ，则 ＝ 　 ＋ ＋ 　. 解析： 因 ＝ ，则 ＝ ＋ ＝ ＋ ，又 ＝ ＝ （ ＋ ），则 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ . ＋ ＋ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1 的中点，设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　） A. a＋ b－ c B. a－ b－ c C. － a－ b＋ c D. － a＋ b－ c 解析：　由已知得， ＝ ＝c， ＝ ＝b， ＝ ＝a， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ c－ b－ a＝－ a－ b＋ c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕在三棱锥O-ABC中， ＝a， ＝b， ＝c，点M在直 线OA上，且OM＝2MA，N是BC的中点，则下列结论可能正确的是 （　　） A. ＝ （a＋b） B. ＝－ a＋ b＋ c C. ＝ （ ＋ ） D. ＝－ a－c √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　对于A，因为N是BC的中点，可得 ＝ （ ＋ ）＝ （b＋c），所以A不正确；对于B，当点M在线段OA上时，因为OM＝ 2MA，此时 ＝ ，则 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ － a＋ b＋ c，所以B正确；对于C，当点M在线段OA的延长线上时， 因为OM＝2MA，此时A为OM的中点，可得 ＝ （ ＋ ），所 以C正确；对于D，当点M在线段OA上时，可得 ＝ － ＝ － ＝ a－c；当点M在线段OA的延长线上时， ＝ － ＝2 － ＝2a－c；当点M在线段AO的延长线上时，OM＝2MA不可能成立，综上D不正确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 光岳楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年.其墩台为砖石砌成的 正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为 ，则 ＋ ＋ ＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则 ＝ ， ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 如图，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体. （1）化简 ＋ ＋ ，并在图中标出其结果； 解： 如图，取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使 D'F＝2FC'，连接EF， 则 ＝ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'对角线BC'上靠近C'的四 等分点，设 ＝α ＋β ＋γ ，试求α，β，γ的值. 解： 因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ， 所以α＝ ，β＝ ，γ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $