21.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系及图象法求近似解，通过一次函数与方程、不等式的关联问题导入，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，引导学生建立知识间的内在联系。 其亮点在于以数形结合为主线，通过具体函数实例（如y=x²+3x+2）探究交点与根的关系，结合小球飞行问题渗透模型意识，培养学生几何直观与推理能力。资料结构清晰，练习分层，助力学生理解知识转化，也为教师提供高效教学支持。

数学沪科版九年级上册 理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与一元二次方程的 根之间的联系. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法. 通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力. 在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化. 一次函数 ykxb 的图象如图所示，则关于x的一元一次方程 kxb0 的解为 ． 关于x的一元一次方程 kxb0 的解 一次函数 ykxb 当y0时所对应的 直线 ykxb 与 x轴交点的 函数解析式 函数图象 数 形 数形结合 y x的值 横坐标 一元一次不等式 kxb＞0 的解集为 ； 一元一次不等式 kxb＜0 的解集为 ． 二次函数与一元二次方程有什么关系呢？ 观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？ y x O –2 –1 2 1 y=x2+3x+2 交点的横坐标与 一元二次方x2+3x+2=0的根有什么关系？ 两个交点 x1= –1，x2= –2 函数值y=0. 一元二次方程x2+3x+2=0的两个根等于二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴交点的横坐标. 一元二次方程x2+3x+2=0， Δ=b2–4ac＞0，有两个不相等的实数根. 二次函数y=x2+3x+2， y=0时，图象与x轴有两个交点 –1 –2 观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 x O –2 –1 2 1 y=x2+3x+2 函数值y=0. –1 –2 y 观察下图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图象与x轴有几个交点？ 如果函数值y等于–2， 又会怎样呢？ 两个交点 解方程x2+3x+2= –2. 无解 一元二次方程x2+3x+2= –2， Δ=b2–4ac＜0，无实数根. 二次函数y=x2+3x+2， 图象与直线y= –2 没有交点 x O –2 –1 2 1 y=x2+3x+2 函数值y=0. –1 –2 y= –2 y 二次函数yax²bxc(a0) 一元二次方程ax²bxc=0(a0) 与x轴的位置关系 根的情况 没有交点 没有实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 有两个交点 有两个不相等的实数根 画出下列二次函数的图象，能否写出相应的一元二次方程的根？ 2，1 3 没有实数根 (1)yx2x2 (2)yx26x9 (3)yx2x1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系 h  20t5t2. (1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ (4)球从飞出到落地要用多少时间? (1)球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ 1s 3s 15 m 能否结合图象说明？ (1)当 h  15 时， t2  4t  3  0 t1  1，t2  3 当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为15m . 20t  5t2  15 (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? 2s 20 m (2)当 h  20 时， 20t  5t2  20 t2  4t  4  0 t1  t2  2 当球飞行 2s 时，它的高度为 20m . (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ 20.5 m (3)当 h  20.5 时， 20t  5t2  20.5 t2  4t  4.1  0 ∵( 4)2  4×4.1＜0 ，∴方程无实根. ∴球的飞行高度达不到20.5m. (4)球从飞出到落地要用多少时间? 0s 4s 0 m 20t  5t2  0 t 2  4t  0 t1  0，t2  4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面. 小球从飞出到落地要用4s. (4)当 h  0 时， 1.二次函数yx22x1的图象与x轴的交点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2.不与x轴相交的抛物线是( ) A. y2x23 B. y2x23 C. yx23x D. y2(x1)23 3．抛物线yax2bxc与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2bxc0的解为____________ ． B x11，x23 D 4. 二次函数yax2bxc的图象如下图所示，则ax2bxc0的解为 ，ax2bxc＞0的解为 ． x11，x23 x＜1或x＞3 第2课时 数学沪科版九年级上册 理解如何用函数的图象求一元二次方程的近似解. 经历探索用函数的图象求一元二次方程的近似解的过程，渗透数形结合的思想方法. 通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力. 在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化. 二次函数与一元二次方程的关系是怎样的？ 二次函数 yax²bxc(a0) 一元二次方程 ax²bxcm(a0) y为定值m 建立关联 结合“数、形”解释二次函数与一元二次方程的关系： 二次函数yax²bxc(a0) 一元二次方程ax²bxc=0(a0) 与x轴的位置关系 根的情况 没有交点 没有实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 有两个交点 有两个不相等的实数根 如果给你一个方程，你能用图象法求出它的近似解吗？ 用图象法求一元二次方程 x²2x–1=0的近似解(精确到0.1) 解：画出函数y=x²2x–1的图象，如图所示： y=x2+2x–1 y x O –2 –1 2 1 –1 –2 4 3 5 –3 –3 2 3 1 两个交点 由图象可知，方程有两个实数根，一个在–3和–2之间，另一个在0和1之间. 用图象法求一元二次方程 x²2x–1=0的近似解(精确到0.1) 解：画出函数y=x²2x–1的图象，如图所示： y=x2+2x–1 y x O –2 –1 2 1 –1 –2 4 3 5 –3 –3 2 3 1 先求位于–3和–2之间的根. 由图象可知，方程有两个实数根，一个在–3和–2之间，另一个在0和1之间. –2.5或–2.4 由图象可估计这个根是–2.5或–2.4，计算试试. x … –2.5 –2.4 … y … … 0.25 –0.04 正 负 所以–2.5与–2.4之间肯定有一个x值使y=0. 当x= –2.4时，y= –0.04比y=0.25(x= –2.5)更接近0， 故选x= –2.4. x取何值时，y值最接近0. 请你仿照此方法求出该方程精确到0.1的另一个根. 用图象法求一元二次方程 x²2x–1=0的近似解(精确到0.1) y=x2+2x–1 y x O –2 –1 2 1 –1 –2 4 3 5 –3 –3 2 3 1 求位于0和1之间的根. 0.4或0.5 由图象可估计这个根是0.4或0.5，计算试试. x … 0.4 0.5 … y … … – 0.04 0.25 负 正 所以0.4与0.5之间肯定有一个x值使y=0. 当x=0.4时，y= –0.04比y=0.25(x=0.5)更接近0， 故选x=0.4. 所以一元二次方程 x²2x–1=0精确到0.1的近似解x1= –2.4，x2=0.4. 你还能想到其它的方法求解这个方程吗？ 用图象法求一元二次方程 x²2x–1=0的近似解(精确到0.1) x² = –2x+1 一元二次方程 x²2x–1=0的近似解，就是函数 y = x² 与 y= –2x+1的图象交点的横坐标. y=x2 y= –2x+1 接下来，与前边的方法一样，根据要求取值逐一验证. y x O –2 –1 2 1 –1 –2 4 3 5 –3 –3 2 3 1 6 如有条件，同学们还可以在计算机上借助信息技术处理. 图象法求解一元二次方程 方法一：求抛物线与x轴交点的横坐标. (1)画：在平面直角坐标系中画出对应二次函数的图象； (2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围； (3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值； (4)写：交点的横坐标即为方程的解(根). 图象法求解一元二次方程 方法二：求抛物线与直线交点的横坐标. (1)画：画出变形后的二次函数和一次函数的图象； (2)看：观察图象，确定方程的根的取值范围； (3)定：根据确定的取值范围及其题目要求，通过计算确定取值； (4)写：交点的横坐标即为方程的解(根). 1. 二次函数y = –x²2x+k 的部分图象如下图所示，关于x的一元二次方程–x²2x+k=0的一个解为x1= 3.1，则另一个解x2为 . y x O –2 –1 2 1 –1 4 3 5 –3 2 3 1 6 4 y= –x²2x+k –1.1 2.下表是若干组二次函数y=x2–5x+c的自变量x与函数值y的对应值： 那么方程 x2–5x+c=0 的一个近似根(精确到0.1)是( ) x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 –0.08 –0.27 –0.44 … A. 3.4 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.7 B 3. 利用图象法求一元二次方程–x²2x–3= –8的实数根.(结果精确到0.1) y x O –2 –1 2 1 –1 4 3 5 –3 2 3 1 6 4 原方程变形为–x²2x+5=0. 画出二次函数 y= –x²2x+5的图象，如图所示： 由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在–2和–1之间和3与4之间. 即方程–x²2x–3= –8的两个实数根分别在–2和–1之间和3与4之间. (接下来根据取值范围，用取平均数的方法逐渐缩小取值范围，从而确定方程的近似解.) 得方程的两个实数根分别为x1= –1.4，x2=3.4. y= –x²2x+5 还可以通过求抛物线与直线交点的横坐标求解. $