21.4 第1课时 几何图形的最大面积（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形最大面积中的应用，通过复习二次函数顶点坐标、开口方向等旧知导入，搭建从函数性质到面积最值问题的学习支架，衔接自然。 其亮点在于以“设元—列式—配方求最值”为主线，结合围矩形水面、直角三角形面积等实例，培养数学建模意识和逻辑推理能力，课堂小结用表格归纳最值条件，帮助学生掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

【新教材】沪科版·九年级上册 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.4二次函数的应用 21.4几何图形的最大面积 （第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 能用二次函数表示几何图形的面积，会建立面积与边长之间的函数关系式. 经历"设元—列式—配方求最值"的过程，掌握利用二次函数求几何图形最大面积的方法. 体会函数思想在几何问题中的应用，培养数学建模的意识. 用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说出开口方向，对称轴及最值. （1）y=x2-4x-5 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9； （2）开口方向：向下；对称轴：x= ； 顶点坐标（，）；最大值：； （2）y=-x2+x+ 新课引入 新知探究 二次函数与几何图形面积的最值 例1：某水产养殖户用长40m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？ （法1）解：设一边长为，另一边长为 ，面积为 ，得 解得 新知探究 这个函数得图象是一条开口向下得抛物线得一部分，如图，它的顶点坐标是 . S/m2 x/m S/m2 x/m 图中为何有两个空心点？ 新知探究 两个空心点分别对应 和的位置:因为 是矩形水面的边长若或 ，矩形会变为长度为20米的线段，不再是有实际面积的矩形，不符合“围成水面”的实际意义，因此自变量 的取值范围是 ，不包含0和20两个端点，空心点代表这两个点不属于此实际问题对应的函数图象范围。 S/m2 x/m (10，100) 新知探究 S/m2 x/m (10，100) 所以，当 时，函数取得最大值，即 此时，另一边长为20-10=10米. 答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2. 新知探究 二次函数与几何图形面积的最值 例1：某水产养殖户用长40m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？ （法2）解：设一边长为，另一边长为 ，面积为 ，得 当x = － = － = 10 时 S有最大值 = = 100. 新知探究 解决实际最值问题的一般步骤是什么？ 1.分析变量关系，建立二次函数模型； 2.根据实际意义，确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最______(______)点，也就是说，当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__________. 新知探究 低 高 － 新知巩固 新知巩固 1.一个直角三角形的两直角边之和为10.当两直角边的边长各是多少时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少？ 【选自教材P36 练习第1题】 解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 ，面积为 依题意得： +5x 当 时，S有最大值，最大值为 另一直角边长为 答：两直角边的边长都是5时，这个三角形的面积最大，最大面积是 新知巩固 2.某酒店有客房50间，去年旅游旺季每间价格为400元。经市场调查发现，今年如果房间仍实行去年旺季价格，那么每天都将客满；如果房间价格上涨，那么每增加10元，每天未入住房间数将增加1间.不考虑其他因素，房间价格上涨多少元时，酒店的日总收入最高？最高日总收入是多少元？ 【选自教材P37 练习第2题】 新知巩固 新知巩固 【选自教材P37 练习第2题】 解：设房间价格上涨 元，酒店的日总收入为 元， 此抛物线的开口向下，在顶点处取得最大值，顶点横坐标为 答：房间价格上涨50元时，酒店的日总收入最高，最高日总收入是20250元. 新知巩固 3.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10， 当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 课堂小结 二次函数的应用 二次函数的最值： (a≠0) 求面积最值等实际问题与二次函数的联系： 实际问题 二次函数 二次函数的最值 建立模型 当堂检测 1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m，花园面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式; (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值. 当堂检测 解：(1) 由题意得BC=(28-x) m， 则S=x(28-x)=-x2+28x (0<x<28). (2) ∵S=-x2+28x=-(x-14)2+196, ∴当x=14时，S有最大值，最大值是196. 当堂检测 2. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 当堂检测 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为（202x）m， 矩形菜园的面积S = x (202x), 即S = −2x2+20x (0<x< 10). 当x = － = － = 5 时， S有最大值 = = 50. 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大， 最大面积为50 m2. 当堂检测 3．如果第2题中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 当堂检测 解：由第2题得，S = −2x2+20x . 对称轴为x = 5 ，抛物线开口向下. 因为墙的长度为8m，所以0<202x≤8，即6 ≤ x <10. 所以当x = 6时，S有最大值，S最大值 = −2×62 + 20×6 = 48 m2 因此当垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为 8m 时，菜园面积最大，最大面积是 48m²。 【新教材】沪科版·九年级上册 感谢聆听! $