章末检测（一） 空间向量与立体几何(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖向量运算、位置关系证明及空间角与距离计算，通过无人机配送、瓮城结构等现实问题导入，衔接平面向量知识，搭建从具体情境到抽象模型的学习支架。 其亮点是以现实情境为载体，如无人机位置、瓮城结构问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。解析注重逻辑推理与向量语言表达，如法向量求法、线面角计算，发展数学思维与表达能力，帮助学生构建知识体系，也为教师提供分层检测工具。

章末检测（一）　空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 第一章　空间向量与立体几何 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某公司利用无人机进行点餐即时配送，利用空间坐标表示无人机的位 置，开始时无人机在点O（0，0，0）处起飞，6秒后到达点A（0，0， 90）处，15秒后到达点B处，若 ＝（120，0，0），则｜ ｜＝ （　　） A. 30 B. 120 C. 150 D. 210 解析：　因为 ＝（0，0，90）， ＝（120，0，0），所以 ＝ ＋ ＝（120，0，90），所以｜ ｜＝ ＝150.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第一册 2. 已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝ ， 且λ＞0，则λ＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：由题意，得λa＋b＝（4，1－λ，λ）.因为｜λa＋b｜＝ ，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 3. 如图，在三棱柱ABC-DEF中，P，Q分别是CF，AB的中点，若 ＝a ＋b ＋c ，则a＋b＋c＝（　　） A. 1 B. －1 C. D. －2 √ 解析：　因为P，Q分别是CF，AB的中点，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝－ ＋ （－ ＋ － ）＝ － － ，所以a＝ ，b＝－1，c＝－ ，所以a＋b＋c＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 4. 已知空间中三点A（－1，0，0），B（0，1，－1），C（－2，－1， 2），则点C到直线AB的距离为（　　） A. B. C. D. 解析：　依题意得 ＝（－1，－1，2）， ＝（1，1，－1），则点 C到直线AB的距离为 ＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 5. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为 O1，则 · ＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析：　由于 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）.而 ＝ ＋ .则 · ＝［ ＋ （ ＋ ）］·（ ＋ ）＝ （ ＋ ）2＝ （ ＋ ）＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 6. 如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、 下底面圆周上，且＜ ， ＞＝120°，则｜ ｜＝（　　） A. B. 5 C. D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴ · ＝0， · ＝0，且由题意知， · ＝3×5× cos 60°＝ .∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋ · ＋2 · ＝9＋16＋25＋15＝65，∴｜ ｜＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1A，C1D1，A1D1的 中点，则（　　） A. AB∥平面EFG B. A1C∥平面EFG C. B1C⊥平面EFG D. B1D⊥平面EFG √ 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体 的棱长为2，取CC1，BC，AB的中点分别为M，N， Q，则平面EFG即为平面EGFMNQ，故AB与平面 EGFMNQ相交，故A错误；E（2，0，1），G（1，0，2），F（0，1，2），B1（2，2，2），D（0，0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 0），A1（2，0，2），C（0，2，0），则 ＝（－1，0，1）， ＝（－2，1，1）， ＝（2，2，2），由于 · ＝（2，2，2）·（－1，0，1）＝0， · ＝（2，2，2）·（－2，1，1）＝0，故 是平面EFG的一个法向量，故B1D⊥平面EFG，故D正确；由正方体的性质可得B1C与B1D不平行，因此B1C不垂直于平面EFG，故C错误；由于 ＝（－2，2，－2）， · ＝（2，2，2）·（－2，2，－2）＝－4≠0，故 与法向量不垂直，故A1C与平面EFG不平行，故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 8. 如图1，“瓮城”是古代城池中依附于城门，与城墙连为一体的附属建 筑，当敌人攻入瓮城时，如将主城门和瓮城门关闭，守军即可对敌形成 “瓮中捉鳖”之势.“瓮城”可看作是上、下底面均为半环形的柱体，如 图2，AA1垂直于下底面，AA1＝3，AB＝4，CD＝2，E为 的中点， 则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标 系，则C（0，3，0），D（0，1，0），B1（0，4， 3），又E为 的中点，所以E（2，2，3）， ＝ （2，－2，0）， ＝（0，－3，－3）， ＝（2， －1，3）.设平面DEB1的法向量为n＝（x，y，z）， 则 令x＝1，得n＝（1，1，－1）是平面DEB1的一个法向量.设直线CE与平面DEB1所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 n＞｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（　　） A. 若p是平面α的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则b∥α的充要条件是p· ＝0 B. 已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若 ＝ ＋ ＋ ，则P，A，B，C四点共面 C. 已知a＝（－1，1，2），b＝（0，2，3），若ka＋b与2a－b垂直， 则k＝－ D. 已知△ABC的顶点分别为A（－1，1，2），B（4，1，4），C（3， －2，2），则AC边上的高BD的长为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：若b⊂α，则p· ＝0成立，故b∥α不是p· ＝0的必要条件，故A错误；若 ＝ ＋ ＋ ，则 （ － ）＝ （ － ）＋ （ － ），所以 ＝ ＋ ，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；由题意可得ka＋b＝（－k，k＋2，2k＋3），2a－b＝（－2，0，1），若ka＋b与2a－b垂直，则（ka＋b）·（2a－b）＝2k＋2k＋3＝0，解得k＝－ ，故C正确；由题意可得 ＝（5，0，2）， ＝（4，－3，0），则｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝5，则 cos A＝ ＝ ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ，所以｜BD｜＝｜ ｜· sin A＝ × ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 10. 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝2，AC与BD 的交点为M，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则（　　） A. ＝－ ＋ － B. ＝ － － C. ｜ ｜＝ D. ｜ ｜＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：如图所示， ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝－ ＋ － ，故A正 确，B错误； 由 ＝－ ＋ － 平方得，｜ ｜2＝（－ ＋ － ）2＝ ＋ ＋ －2× · ＋2× · －2× · ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋｜ ｜2－ · ＋｜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 ｜｜ ｜ cos ∠A1AB－｜ ｜｜ ｜· cos ∠A1AD＝ ×1＋ ×4＋4－0＋2×1× －2×2× ＝ ，所以｜ ｜＝ ＝ ，故C正确，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（　　） A. AC⊥BD B. △ACD是等边三角形 C. AB与平面BCD所成的角为60° D. AB与CD所成的角为90° √ √ 解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD. 又AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面 AOC，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC， ∴AC⊥BD，A中结论正确；∵AC＝ AO＝AD＝CD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 ∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误； ＝ ＋ ＋ ，不妨设AB＝1，则 ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ，∴1＝1＋2＋1＋2 ×（－ ）＋2 ×（－ ）＋2 cos ＜ ， ＞，∴ cos ＜ ， ＞＝ ，∴＜ ， ＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若空间向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，－ 7，m）是共面向量，则实数m＝ ⁠. 解析：若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，所以 解得 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 13. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长 的 倍，SD⊥平面PAC，P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦 值为 ⁠. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：连接BD，交AC于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD， 以O为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面边长为 a，则SO＝ a，S（0，0， a），D（－ a，0，0）， ＝（－ a，0，－ a），显然n＝（0，0，1）是平面 ABC的一个法向量，因为SD⊥平面PAC，所以 ＝（－ a， 0，－ a）是平面PAC的一个法向量，设二面角P-AC-B的平面角为θ，由图易知θ为钝角，所以 cos θ＝－｜ cos ＜n， ＞｜＝－ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O是侧面A1ADD1的中心， E，F分别是B1C1，CC1的中点，点M，N分别在线段OB，EF上运动， 则MN的最小值为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：以D为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的 正方向，建立空间直角坐标系，则O（2，0，2），B（4，4，0），E （2，4，4），F（0，4，2）.因为点M，N分别在线段OB，EF上运 动，所以设 ＝λ （0≤λ≤1）， ＝μ （0≤μ≤1），所以M （2λ＋2，4λ，2－2λ），N（2μ，4，2＋2μ），所以｜ ｜＝ ＝ ，所以当μ＝λ＝ 时，｜ ｜min＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知向量a＝（x，1，2），b＝（1，y，－ 2），c＝（3，1，z），且a∥b，b⊥c. （1）求向量a，b，c的坐标； 解：∵向量a＝（x，1，2），b＝（1，y，－2），c＝（3，1， z），且a∥b，b⊥c，易知y≠0，否则a∥b不成立， ∴ 解得x＝－1，y＝－1，z＝1. ∴向量a＝（－1，1，2），b＝（1，－1，－2），c＝（3，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）求a＋c与b＋c所成角的余弦值. 解：∵a＋c＝（2，2，3），b＋c＝（4，0，－1）， ∴（a＋c）·（b＋c）＝2×4＋2×0＋3×（－1）＝5， ｜a＋c｜＝ ＝ ，｜b＋c｜＝ ＝ ， ∴向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 16. （本小题满分15分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为 . （1）若侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解：证明：因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ . 又BB1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC， 所以 · ＝0， · ＝0. 又△ABC为正三角形， 所以＜ ， ＞＝π－＜ ， ＞＝π－ ＝ . 因为 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋｜ ｜2＋ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＋｜ ｜2＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）若AB1与BC1所成的角为 ，求侧棱的长. 解：结合（1）知 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＋｜ ｜2＝｜ ｜2－1， 又｜ ｜＝ ＝ ＝｜ ｜. 所以 cos ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，解得｜ ｜＝2，即侧棱长为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 17. （本小题满分15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， 底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解：证明：以D为坐标原点， ， ， 的方 向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标 系，如图所示. 设AD＝a，则D（0，0，0）， B（a，a，0），C（0，a，0）， E（a， ，0），P（0，0，a），F（ ， ， ）. 所以 ＝（－ ，0， ）， ＝（0，a，0）， 所以 · ＝（－ ，0， ）·（0，a，0）＝0， 所以EF⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置. 解：因为G∈平面PAD，设G（x，0，z）， 所以 ＝（x－ ，－ ，z－ ）. 由（1）知， ＝（a，0，0）， ＝（0，－a，a）. 因为GF⊥平面PCB，所以 · ＝（x－ ，－ ，z － ）·（a，0，0）＝a（x－ ）＝0， · ＝（x－ ，－ ，z－ ）·（0，－a，a） ＝ ＋a（z－ ）＝0，所以x＝ ，z＝0， 所以点G的坐标为（ ，0，0），即点G为AD的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 18. （本小题满分17分）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，CD是 AB边上的高，E，F分别是边AC和BC的中点，现将△ACD沿CD翻折使 得平面ACD⊥平面BCD，如图2. （1）求证：AB∥平面DEF； 解：证明：在△ABC中，E，F分别是边AC和BC的中点，所以EF∥AB，因为AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）若M为线段AB上一点，求点M到平面DEF的距离. 解：由（1）知，AB∥平面DEF，所以点M到平 面DEF的距离即为点A到平面DEF的距离. 因为平面ACD⊥平面BCD，平面ACD∩平面BCD＝ CD，AD⊂平面ACD，AD⊥CD，所以AD⊥平面 BCD，又CD⊥BD，可得AD，BD，CD两两垂直.以 D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D（0，0，0），A（0，0，2），E（0， ，1），F（1， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 0），所以 ＝（1， ，0）， ＝（1，0，－1）， ＝（0，0，2）. 设平面DEF的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令x＝ ，则n＝（ ，－1， ）. 所以点A到平面DEF的距离为 ＝ ＝ . 所以点M到平面DEF的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 19. （本小题满分17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD， AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2 ，PA＝1，AB⊥BC，E，F分 别为PD，BC的中点. （1）求证：EF∥平面PAB； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解：证明：如图，过点E作EG⊥AD交AD于点G，连接GF. 因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以 PA⊥AD，又EG⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，故 EG∥PA. 因为E为PD的中点，所以G为AD的中点，又F为BC的中点，AB∥CD，所以GF∥AB. 因为EG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB，同理GF∥平面PAB，又EG∩GF＝G，EG，GF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面PAB，而EF⊂平面EGF，所以EF∥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正 弦值是 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解：存在点M满足题意，此时 ＝ .根据题意设DM ＝tPD（0≤t≤1），如图，以点A为原点，过点A在平 面ABCD内作垂直于AB的直线为x轴，AB，AP所在的 直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则P（0，0，1），B（0，1，0），C（2 ，1，0），D（2 ，－1，0）. 故 ＝（0，1，－1）， ＝（2 ，1，－1）， ＝（2 ，－1，－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 1）， ＝（0，－2，0），则 ＝ ＋ ＝ －t ＝（－2 t， t－2，t）. 设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），则有 取y＝1，可得n＝（0，1，1）. 则｜ cos ＜n， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 整理得4t2－16t＋7＝0，解得t＝ 或 （舍去）， 所以当 ＝ 时，直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 $