2.1直线的倾斜角与斜率的关系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线和圆的方程，从直线倾斜角与斜率关系切入，逐步延伸至直线方程、位置关系、圆的方程及综合应用，构建连贯知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点是通过“勘破疑难”解析本质，“典型例题”结合几何与代数法培养数学思维，如用距离公式判断直线与圆位置关系。“易错警示”助学生规避误区，“隐圆问题”提升数学眼光，教师使用可优化教学，学生能深化理解并灵活应用知识。

第二章　直线和圆的方程 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 01　直线的倾斜角与斜率的关系及应用 易混易错 第1讲　描述运动的基本概念 1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫 做直线l的倾斜角. 2.直线的倾斜角α的取值范围为[0,π). 3.任何一条直线都存在倾斜角,但不一定存在斜率,当直线的倾斜角为 时,其斜率不存在;当直线的倾斜 角不是 时,它的斜率k和倾斜角α满足k=tan α. 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线l的斜率k与倾斜角α的关系 图示         α α=0 0<α<  α=   <α<π k k=0 k>0 k不存在 k<0 k随α 的变化 规律 当α∈ 时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大; 当α∈ 时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大 注意:不能说当α∈[0,π)时,倾斜角越大,斜率越大 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知过点P的直线l与线段AB相交,求l的倾斜角与斜率时,如图1,当l的倾斜角能取到 时,其斜率的取 值范围是两个范围的并集,为(-∞,kPB]∪[kPA,+∞),倾斜角的取值范围为[αPA,αPB];如图2,当l的倾斜角能取 到0时,其斜率的取值范围为[kPB,kPA],倾斜角的取值范围是两个范围的并集,为[0,αPA]∪[αPB,π).  　　      第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 直线的斜率与倾斜角的关系的理解难点在于对k=tan α 的图象的理解.已知斜率范围求 倾斜角的范围和已知倾斜角范围求斜率的范围时都应结合k=tan α 0≤α<π,α≠  的图象来求解.大概 有三类:        记忆口诀     斜率变化分两段,“ ”是分界线;遇到斜率应谨记,存在与否要讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    已知直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2- )为端点的线段相交. (1)求l的倾斜角α的取值范围; (2)求l的斜率k的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图,连接PA,PB. 依题意得kPA= =1, kPB= =- , 所以直线PA的倾斜角为 ,直线PB的倾斜角为 . 结合图形可知l的倾斜角α的取值范围为 . (2)由(1)知,l的倾斜角α∈ , 故l的斜率k的取值范围为(-∞,- ]∪[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题易误得l的斜率k的取值范围为[- ,1],注意到l的斜率k=tan α在α∈ 上和α∈  上都单调递增,但在α∈ ∪ 上不单调,所以k≥1或k≤- . 第1讲　描述运动的基本概念 02　直线斜率的应用 第1讲　描述运动的基本概念 斜率的两点式:经过不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率k= 或k= (x1≠x2). 注意:(1)x1≠x2是前提条件,当x1=x2时,此公式不成立,直线的斜率不存在. (2)直线的斜率与P1,P2两点的位置无关,即在直线上任取不同的两点,所求得的斜率均相同. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求解三点共线问题:若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线 的斜率,即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或直线AB与BC 或直线AC与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上. 注意:若在点A,B,C确定的三条直线AB,AC,BC中,任意两条直线的倾斜角都为90°,且这两条直线有公共 点,则A,B,C三点共线.为了避免讨论直线的斜率是否存在,可考虑用向量的方法来解决. 2.求解形如 的范围(最值)问题 形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义,即过定点(a,b)与动点(x,y)的直线的斜率,借助图 形,将问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 直线斜率的本质是量化直线的倾斜状态,并由此连接几何图形与代数计算. 1.斜率是“桥梁”:遇到几何问题时,要想“能否用斜率表示直线的倾斜程度”,遇到代数问题时,要想 “形如斜率表达式的式子的几何意义是什么”; 2.特殊情况是“重点”:斜率不存在(垂直于x轴)的直线在应用中是易漏点,需单独分析. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知点M(x,y)在一次函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,3]时,求: (1) 的最大值与最小值; (2) 的取值范围. 思路点拨　设O(0,0),N(-1,-1),则 的几何意义是直线OM的斜率, 的几何意义是直线MN的斜率,结合 图形求出斜率的最值或范围即可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x=2时,y=-2×2+8=4;当x=3时,y=-2×3+8=2,记A(2,4),B(3,2),则由题意可知点M(x,y)在线段AB上移 动,设O(0,0),N(-1,-1),如图所示.   (1) 的几何意义是过O(0,0),M(x,y)两点的直线的斜率,且kOA=2,kOB= ,由图可知 的最大值为2,最小值为  . (2) = 的几何意义是过M(x,y),N(-1,-1)两点的直线的斜率. 第1讲　描述运动的基本概念 易得kNA= ,kNB= ,由图可知 ≤ ≤ , ∴ 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 03　直线方程的选择和求解 第1讲　描述运动的基本概念 直线方程的几种形式与适用范围 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 过点P(x0,y0),斜率k y-y0=k(x-x0) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k,在y轴上的截距b y=kx+b 不垂直于x轴的直线 两点式 过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)  =  (其中x1≠x2,y1≠y2) 不垂直于坐标轴的直线 截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b  + =1(其中ab≠0) 不垂直于坐标轴 且不过原点的直线 第1讲　描述运动的基本概念 一般式 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 平面内所有的直线 *点法式 过点P(x0,y0),法向量n= (A,B) A(x-x0)+B(y-y0)=0 平面内所有的直线 第1讲　描述运动的基本概念 求直线方程的常用方法——先设后求,待定系数 (1)已知某点坐标,求过该点的直线方程: ①若能根据其他条件求出斜率,则利用点斜式直接写出直线方程; ②若不能求出斜率,则用待定系数法设出点斜式方程(一般设斜率k为待定系数),再由其他条件确定k,注 意考虑斜率不存在的情况. (2)已知直线的斜率,求直线方程: ①若能根据其他条件得到直线上一点的坐标(或直线在y轴上的截距),则利用点斜式(或斜截式)直接写 出直线方程; ②若不能得到直线上的点的坐标,则用待定系数法设出斜截式方程(一般设在y轴上的截距b为待定系 数),再由其他条件确定b. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)已知两点坐标(两点的纵坐标不同),求直线方程: ①若两点为直线与两坐标轴的交点(非坐标原点),则利用截距式直接写出直线方程; ②若至少有一点不是直线与两坐标轴的交点,则利用两点式直接写出直线方程或由两点坐标求出直线 斜率,再由点斜式写出直线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 在设直线方程的点斜式、斜截式、截距式时,要注意分类讨论思想的应用,其中点斜式和斜截式要考虑 直线斜率不存在的情况,截距式要考虑截距是不是0.若没有特殊要求,最后结果通常要化为一般式,要 求:①x的系数为非负实数;②x,y的系数及常数项中一般不出现分数;③x,y的系数及常数项无公约数;④ 一般按含x项、含y项、常数项的顺序书写. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求满足下列条件的直线方程: (1)过点(5,-2),且与y轴平行; (2)过P(-2,3),Q(5,-4)两点; (3)过点(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数; (4)过点(2,-1)且法向量为(2,-1). 思路点拨　根据直线的特点选择对应方程形式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知与y轴平行的直线的斜率不存在, ∵直线过点(5,-2),∴直线上点的横坐标均为5,故直线方程为x=5. (2)解法一(两点式):过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线方程为 = ,整理可得x+y-1=0. 解法二(点斜式):易知过P,Q两点的直线的斜率存在,且kPQ= =-1, ∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0. (3)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0时,设直线方程为 + =1, 又直线过点(3,4), ∴ + =1,解得a=-1, ∴所求直线方程为 + =1,即x-y+1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 ②当直线在两坐标轴上的截距均为0,即直线过原点时,设直线方程为y=kx, 又直线过点(3,4),∴4=k·3,解得k= , ∴所求直线方程为y= x,即4x-3y=0. 综上,所求直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0. (4)由直线方程的点法式可得所求直线方程为2(x-2)-(y+1)=0,即2x-y-5=0. 易错警示　若题目中出现直线在两坐标轴上的截距“相等”“互为相反数”“满足在一坐标轴上的 截距是在另一坐标轴上的截距的m倍(m>0)”等条件时,可采用截距式求直线的方程,但一定要注意截距 为0的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 04　两条直线平行、垂直的问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.两条直线平行、垂直的判定 已知条件 位置关系 满足的关系式 l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 l1∥l2 k1=k2且b1≠b2 l1⊥l2 k1k2=-1 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1不 同时为0且A2,B2不同时为0) l1∥l2 ① 或  ② = ≠  l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 第1讲　描述运动的基本概念 l1,l2的法向量分别为 m=(A1,B1),n=(A2,B2) l1∥l2 m∥n(A1B2-A2B1=0) l1⊥l2 m·n=0(A1A2+B1B2=0) 2.直线的平行、垂直在几何图形中的应用 (1)作出示意图,确定图中的平行、垂直关系,利用斜率、法向量等条件列关系式求解. (2)充分分析图形特征,有多种情况的,要分类依次求解. (3)注意考虑斜率不存在的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.判断两条直线是否平行或垂直,先分析两直线的斜率,若都存在,则利用表格判断;若都不存在,则两直 线平行或重合;若一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直. 2.已知三点构成的两条直线垂直时,通常考虑利用向量求解,如果利用斜率求解,需要考虑斜率不存在的 情况. 3.处理直线的平行问题时,很容易忽略斜率不存在的情况,通常利用直线方程的一般式中对应系数的比 来处理. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知▱ABCD的三个顶点分别为A ,B ,C ,求点D的坐标; (2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四边形ABCD为直角梯形,求m和n 的值. 思路点拨    (1)思路一:设出点D的坐标,根据AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程组求解; 思路二:设出点D的坐标,根据 = ,利用坐标相等列方程组求解. (2)分析直角顶点的位置,利用两底边平行、直角腰与底边垂直求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:设点D的坐标为(m,n).由题意知,AB∥CD,AD∥BC,且直线AB,CD,AD,BC的斜率均存 在,∴kAB=kCD,kAD=kBC, ∴ = , = , 化简,得n-3m=-13,m+n=16, 解得m= ,n= , ∴点D的坐标为 . 解法二:设点D的坐标为(m,n). 由题意知, = . 第1讲　描述运动的基本概念 易得 = , = , ∴ 解得  ∴点D的坐标为 . (2)当AB∥CD,AB⊥AD时, 由图a可知,A(2,-1), ∴m=2,n=-1; 第1讲　描述运动的基本概念         当AD∥BC,AD⊥AB时, 由图b可知,  即  解得m= ,n=- . 综上,m=2,n=-1或m= ,n=- . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    (1)条件“▱ABCD的三个顶点分别为A,B,C”与“平行四边形的三个顶点分别为A,B,C”不 同,前一个条件只有一种情况:AB∥CD,AD∥BC,但是后面的条件有三种情况:AC是对角线或AB是对角 线或AD是对角线. (2)由几何图形的特征求顶点坐标时,注意判断图形是否唯一,防止遗漏. 第1讲　描述运动的基本概念 05　直线系方程 第1讲　描述运动的基本概念 直线系表示满足某一条件的一类直线,如过定点、与已知直线平行(垂直)、过两直线的交点等,求直线 系方程的核心点是“跳过求具体直线方程的步骤,直接利用共性列方程”,一般思路如下:根据题目给 出的“共性”确定直线系类型→设出含参数的直线方程→代入“个性条件”求参数→确定直线方程. 常见的直线系类型及方程形式如下: 第1讲　描述运动的基本概念 直线系类型 方程形式 过定点P(x0,y0)的直线系 点斜式:y-y0=k(x-x0)(k为参数); 一般式:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A,B为参数) 与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系 Ax+By+m=0(m∈R且m≠C) 与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系 Bx-Ay+m=0(m∈R) 过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的 直线系(其中A1,B1不同时为0且A2,B2不同时为0) A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 过定点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为 0)平行的直线系 A(x-x0)+B(y-y0)=0 过定点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为 0)垂直的直线系 B(x-x0)-A(y-y0)=0 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 求直线系方程时的易错点: (1)遗漏直线:过两直线交点的直线系方程不能表示直线l2,若题目条件可能适合l2,需单独代入l2的方程进 行检验; (2)参数范围错误:设平行直线系方程时需排除m=C,否则可能出现“求平行直线却得到原直线”的错 误; (3)条件对应错误:平行于x轴的直线系方程满足“x的系数为0”,垂直于x轴的直线系方程满足“y的系 数为0”,注意区分. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    已知直线l1:2x-y+4=0与直线l2:x-y+5=0的交点为M. (1)求点M的坐标; (2)求经过点M且与直线x-2y-1=0平行的直线l3的方程; (3)求经过点M且与直线x+3y+1=0垂直的直线l4的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由 解得  所以点M的坐标为(1,6). (2)由(1)知M(1,6). 解法一:易知直线x-2y-1=0的斜率为 , 因为l3与直线x-2y-1=0平行,所以l3的斜率为 , 所以直线l3的方程为y-6= (x-1), 即x-2y+11=0. 解法二:由题意可设l3的方程为x-2y+t=0(t≠-1), 把(1,6)代入,得1-2×6+t=0,解得t=11,所以直线l3的方程为x-2y+11=0. 第1讲　描述运动的基本概念 解法三:由题意得l3的法向量为(1,-2), 则其方程为x-1-2(y-6)=0, 即x-2y+11=0. (3)由(1)知M(1,6). 解法一:易知直线x+3y+1=0的斜率为- , 因为l4与此直线垂直,所以l4的斜率为3, 所以直线l4的方程为y-6=3(x-1),即3x-y+3=0. 解法二:由题意可设l4的方程为3x-y+s=0, 把(1,6)代入,得3×1-6+s=0,解得s=3,所以直线l4的方程为3x-y+3=0. 解法三:由题意可得l4的法向量为(3,-1),则其方程为3(x-1)-(y-6)=0,即3x-y+3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　求过定点、与已知直线平行(垂直)、过两直线交点等的直线方程时,可以用常规思路,先求 出直线的斜率,再根据点斜式求解,也可以直接设出对应的直线系方程求参,这种方法适用于小题. 第1讲　描述运动的基本概念 06　与点、直线有关的对称问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.点关于点对称:若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y), 则由中点坐标公式可得 即N(2a-x1,2b-y1). 第1讲　描述运动的基本概念 2.点关于线对称: (1)设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则根据M,N连线垂直于直线l,以 及线段MN的中点在直线l上,可列方程组 求得点N的坐标. 拓展结论:设点M(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则 其中K=  . (2)几个常用结论 ①点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). ②点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). 第1讲　描述运动的基本概念 ③点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). ④点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b),关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m). 第1讲　描述运动的基本概念 3.线关于点对称:求直线l1关于点P(a,b)对称的直线l的方程的方法有以下三种: (1)方法一:在已知直线l1上任取一点M(x1,y1),先求它关于点P(a,b)的对称点N(x,y)的坐标,由上面讲解知  再将(x1,y1)代入直线l1的方程即可得到直线l的方程. (2)方法二:利用“关于某点对称的两直线平行且已知点到两直线的距离相等”来求解. (3)方法三:在已知直线l1上任取两点M,N,分别求其关于点P(a,b)的对称点M',N',再由两点式确定直线l的 方程. 拓展结论:直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)关于点P(x0,y0)对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.线关于线对称: (1)求直线l1关于直线l对称的直线l2时,若l1与l无交点,则可以利用“l1,l2两直线平行且它们与直线l的距离 相等”来求解;若l1与l有交点,则可以求直线l1上任一点(l1与l的交点除外)关于直线l的对称点,那么该对 称点以及l1与l的交点都在直线l2上,由此可确定l2的方程,即将线关于线对称转化为点关于线对称. (2)几个常用结论 ①关于直线y=x+b或y=-x+b对称的两条直线的斜率互为倒数; ②关于x轴、y轴对称的两条直线的斜率互为相反数. 拓展结论:直线l:ax+by+c=0关于直线l1:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程满足 =2× ,化简 整理可得l2的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.点M关于点P的对称点为N,则P是线段MN的中点.   2.点M关于直线l的对称点为N,则①MN⊥l;②线段MN的中点A在l上.   第1讲　描述运动的基本概念 3.直线l1关于点P的对称直线为l,则①l1∥l(斜率相等或斜率均不存在);②点P到两直线的距离相等.   或  4.直线l1关于l对称的直线为l2,分两类:①若l1∥l,则l到l1,l2的距离相等(如图1);②若l1∩l=A,则A∈l2(如图2).        第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒     对称问题分为四类:点关于点,点关于直线,直线关于点,直线关于直线.任何类型都可以转化为点关于点 的对称. 对称问题有两个核心条件: 1.中点条件:若关于点对称,则该点是对称的两点所连线段的中点;若关于直线对称,则对称的两点所连 线段的中点在该直线上; 2.垂直条件:若关于直线对称,则对称的两点连线与该直线垂直(斜率乘积为-1,或一个斜率为0、另一个 斜率不存在). 解题时要先明确“对称类型”,再套用对应的“中点+垂直”条件列方程(组)求解,避免盲目计算. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标; (2)直线l1:x-y-2=0关于直线l对称的直线l2的方程; (3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P'(x0,y0), 则线段PP'的中点在直线l上,且PP'⊥l, 所以 解得  故P'点的坐标为 . (2)易知直线l与l1相交,设交点为N, 由 解得 所以N(2,0), 不妨在l1上取点B(0,-2),设点B关于直线l的对称点为B'(x1,y1), 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得  所以B'  ,  , 所以直线l2的斜率为kNB'= =7, 所以直线l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0. (3)解法一:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l',则直线l'上任一点P'2(x'2,y'2)关于点A的对称点P2(x2,y2)一 定在直线l上, 第1讲　描述运动的基本概念 则 得  将(x2,y2)代入直线l的方程得x'2+2y'2-4=0, 所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 解法二:设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l':x+2y+m=0(m≠-2), 所以点A(1,1)到直线l与l'的距离相等, 即 = ,解得m=-2(舍去)或m=-4, 所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　本题在求得结果后,可以利用拓展结论进行检验: (1)K= = =- , ∴ 故所求对称点的坐标为 . (2)l2的方程满足 =2× =- ,即为7x-y-14=0. (3)由直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)关于点P(x0,y0)对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0,得所 求直线方程为2-x+2(2-y)-2=0,即x+2y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 07　与对称有关的最值问题——“将军饮马” 第1讲　描述运动的基本概念 1.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之和最小(异侧和最小) (1)当两定点A,B在直线l的异侧时,由“两点之间线段最短”及“三角形中任意两边之和大于第三边” 可知,当P为直线AB与l的交点时,点P到两定点A,B的距离之和最小,最小值为|AB|.如图①,在直线l上任取 一点P',则|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|. (2)当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,此时点P到两定点 A,B的距离之和最小,最小值为|A'B|.如图②,在直线l上任取一点P',则|P'A|+|P'B|=|P'A'|+|P'B|≥|A'B|=|PA|+| PB|.      第1讲　描述运动的基本概念 2.在直线l上求一点P,使点P到两定点的距离之差的绝对值最大(同侧差最大) (1)当两定点A,B在直线l的同侧时(A,B连线不与l平行),直线AB交直线l于点P,此时点P到两定点的距离之 差的绝对值最大,最大值为|AB|.如图③,在直线l上任取一点P',由“三角形中任意两边之差小于第三 边”可知,||P'B|-|P'A||≤|AB|=||PB|-|PA||. (2)当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'并延长,交直线l于点P,此时点P到 两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为|A'B|.如图④,在直线l上任取一点P',则有||P'B|-|P'A||=||P'B|-|P' A'||≤|A'B|=||PB|-|PA||. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 将军饮马问题的核心是利用“轴对称”将折线路径转化为直线路径(基于“两点之间线段最短”及 “三角形中两边之和大于第三边”),基本思路是“作对称点→化折线为直线→确定关键点”.解决线 段长度和的最小值问题,通常利用对称将直线同侧两点转化为异侧两点;解决线段长度差的绝对值的最 大值问题,通常利用对称将直线异侧两点转化为同侧两点. 特别提醒     光线反射问题也是与对称有关的最值问题的一种典型,主要研究的是一条光线从某点射出,经某直线反 射后经过另一点,求光线经过的最短路径.解题思路与“将军饮马”问题类似,都是通过作对称化曲为 直. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上. (1)当|PA|+|PB|最小时,点P的坐标为_______; (2)当||PB|-|PA||最大时,点P的坐标为_______. (-2,3) (12,10) 思路点拨　易知A,B两点在直线l的同侧. (1)利用对称将同侧两点转化为异侧两点,再利用两点之间线段最短求解. (2)根据三角形任意两边之差小于第三边求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知A,B两点在直线l的同侧. 设点A关于直线l的对称点为A'(m,n), 则  解得 故A'(-2,8). 因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|(两点之间线段最短),当且仅当B,P,A'三点共线时,| PA|+|PB|取得最小值,此时点P为直线A'B与直线l的交点. 又直线A'B的方程为x=-2, 所以由 得  第1讲　描述运动的基本概念 故点P的坐标为(-2,3). (2)易知A,B两点在直线l的同侧, 因为P是直线l上一点, 所以||PB|-|PA||≤|AB|(三角形两边之差小于第三边),当且仅当A,B,P三点共线时,||PB|-|PA||取得最大值,此 时点P为直线AB与直线l的交点. 又直线AB的方程为y=x-2, 所以由 得  故点P的坐标为(12,10). 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　求直线上一点与两定点所连线段的长的和(差)的最值时,先判断直线与两个定点的位置关 系,然后根据口诀“异侧和最小,同侧差最大”,结合对称知识求解. 第1讲　描述运动的基本概念 08　与距离有关的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.两点间的距离公式:点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离|AB|= .特别地,原点O(0,0)与任一 点P(x,y)之间的距离|OP|= . 2.点到直线的距离公式:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= . 3.两条平行直线间的距离公式:两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d= . 第1讲　描述运动的基本概念 1.定点P与定直线l上的动点Q之间的最小距离:当PQ⊥l时,点P与动点Q之间的距离取得最小值,如图1, 显然|PQ|<|PQ1|. 2.定点P到过定点Q的动直线l的最大距离:连接PQ,当PQ⊥l时,点P到动直线l的距离最大,如图2,若直线l 绕点Q旋转至l1,显然|PQ|>|PQ1|. 第1讲　描述运动的基本概念 3.两条分别过定点P,Q的平行直线l1,l2间的最大距离:当两条平行直线l1,l2与直线PQ垂直时,两条平行直 线l1,l2间的距离最大,如图3,若两条平行直线分别绕P,Q旋转至l'1,l'2,显然|PQ|>|P1Q1|.             第1讲　描述运动的基本概念 4.代数式转化为距离的模型 类别 结构特征 对应距离模型 转化步骤 含根号的 二次式 根号内为二次多项式,可 配方为  的形 式 两点间的距离:动点P(x, y)与定点Q(x0,y0)间的距 离 ①对根号内的多项式配 方,补全常数项;②确定 动点和定点;③写出两点 间距离的模型 无根号的 二次式 多项式可配方为(x-x0)2+ (y-y0)2的形式 两点间距离的平方:动点 P(x,y)与定点Q(x0,y0)间 的距离的平方 ①对多项式分组配方; ②写出两点间距离的平方的模型 第1讲　描述运动的基本概念 含绝对值 的线性式 表达式含|Ax+By+C| 点到直线的距离:动点P (x,y)到直线Ax+By+C=0 的距离的 倍 ①识别绝对值中的A,B, C,确定直线方程;②对表 达式进行补全分母  的操作;③结合 约束条件确定点到直线 的距离模型 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 将代数式转化为距离模型的本质是将代数角度的“最值计算”转化为几何角度的“距离最短(最 长)”问题,然后通过距离公式建立“目标表达式”与“几何距离”的对应关系,最后利用几何性质求 解,求解关键如下: 1.先明确“距离类型”:是两点间的距离(或距离的平方)还是点到直线的距离; 2.再锁定“动点与定点(定直线)”:最值问题中必然存在“固定元素”(定点、定直线)和“运动元素” (动点、动直线),核心是分析运动元素的约束条件; 3.最后用“几何性质定方向”:两点间距离(或距离的平方)的最值用“两点之间线段最短”确定,点到 直线的距离最值用“垂线段最短或平行线间的距离固定”来确定,避免盲目代数求值. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知点A(2,-1),原点为O. (1)求过点A且与原点的距离为2的直线方程; (2)求过点A且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大距离; (3)是否存在过点A且与原点的距离为3的直线?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时原点到该直线的距离等于2,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,此时直线 方程为3x-4y-10=0. 综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0. 解法二:设直线方程为C(x-2)+B(y+1)=0(避免讨论斜率不存在的情况), 即Cx+By-2C+B=0. 由已知得 =2,即3B2+4CB=0,解得B=0或B=- C. 当B=0时,直线方程为x=2; 当B=- C时,直线方程为C(x-2)- C(y+1)=0,即3x-4y-10=0. 综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)过点A且与原点的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线. 易知kOA=- , 所以所求直线的斜率为2, 所以所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 最大距离为点O到直线2x-y-5=0的距离,即 = . (3)不存在,理由如下:由(2)可知,过点A的直线与原点的最大距离为 ,因为 <3,所以不存在过点A且与 原点的距离为3的直线. 易错警示　解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后选择合适的公式求参数. 设斜率时,要注意考虑斜率不存在的特殊情况是否适合题意,防止遗漏. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    ∀x,y∈R,函数f(x,y)= + |3x+4y-5|的最小值为( ) A.2　    B.  C. 　    D.      C     思路点拨     可看作点(x,y)(记为A)与(1,4)(记为B)间的距离,|3x+4y-5|可看作点A(x,y)到直 线3x+4y-5=0(记为l)的距离d的5倍,所以f(x,y)的最小值即|AB|+d的最小值,通过作BM⊥l得到结果. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点A(x,y),B(1,4),直线l:3x+4y-5=0,点A到l的距离为d, 易知f(x,y)=|AB|+d, 作BM⊥l于M, 则|AB|+d≥|MB|= = , 当且仅当点A在线段MB上时取等号. 故f(x,y)的最小值为 .   易错警示　结合代数式的几何意义来求得结果,需要注意代数式表示的是距离还是距离的平方,避免出 现计算错误. 第1讲　描述运动的基本概念 09　求圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径为r. 2.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),其圆心为 ,半径为 . 拓展说明:若方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则满足B=0,A=C≠0,且 + - >0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.几类特殊位置的圆的方程的设法 条件 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心为原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0 圆过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 圆心在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0 圆心在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 圆与x轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2 x2+y2+Dx+Ey+ D2=0 圆与y轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2 x2+y2+Dx+Ey+ E2=0 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒    当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形;当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 . 拓展延伸     1.圆的直径式方程 若A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 2.圆的参数方程 (1)圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程为 (θ为参数,θ∈[0,2π)); (2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为 (θ为参数,θ∈[0,2π)). 第1讲　描述运动的基本概念 1.求圆的方程的方法 (1)标准方程:只需确定圆心C(a,b)和半径r,其求解方法有①待定系数法,由三个独立的条件建立关于a,b, r的方程组,求出a,b,r后即得圆的标准方程;②几何法,确定圆心及半径,通常用中点坐标公式和两点间距 离公式,有时还用到与圆有关的平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必 为圆心”等. (2)一般方程:只需确定x2+y2+Dx+Ey+F=0中D,E,F的值,可以利用待定系数法列出方程组求解. 第1讲　描述运动的基本概念 2.求与圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)直接法 ①设动点坐标:设轨迹上任意一动点为P(x,y),明确研究对象. ②翻译条件:将题目中的几何条件(如“过定点”“与直线垂直”“距离为定值”等)进行翻译,转化为 代数表达式. ③列方程:根据翻译后的代数表达式列出关于x,y的等式(原始方程). ④化简:通过移项、平方、配方等,将原始方程化为标准方程或一般方程. ⑤验证筛选:验证方程是否满足表示圆的条件(如一般方程需满足D2+E2-4F>0),然后根据约束条件,如斜 率必定存在、可围成三角形等剔除不符合几何条件的点. (2)定义法 ①定位条件:找出题目中的定点(如定圆圆心、已知定点)、定长(如定圆半径、固定距离)或几何关系 第1讲　描述运动的基本概念 (相切、垂直等). ②转化定义:判断动点满足的几何条件是否符合圆的定义. ③列等式:根据定义或几何性质,列出关于动点与定点间的距离的等式(或距离与半径的关系等式). ④化简验证:将等式通过平方、配方等化为标准方程,并根据原始条件限定x,y的范围. (3)相关点法 一般情况下,当所求点的运动依赖于另一个或多个点的运动时,可以通过寻找所求动点坐标与相关动点 坐标之间的关系求解,一般步骤如下: ①设出双点坐标:设所求动点为P(x,y),与之相关的动点为Q(x0,y0). ②找关系:根据题目条件,列出P与Q的坐标满足的关系式,用P的坐标表示Q的坐标,即用x,y表示x0,y0. ③代入化简:将x0,y0代入Q的轨迹方程,化简得到关于x,y的方程. ④检验:根据原始条件限定x,y的范围(如根据相关点Q的轨迹的范围限定所求点P的轨迹的范围). 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨     求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标、半径列方程(组),那么 一般选用圆的标准方程;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般选用圆的一般方程. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 三种方法的比较 方法 核心思想 适用场景   直接将几何条件翻译成关于坐 标的等式 已知条件简单、直接,如已知圆 心和半径   结合定义,利用圆的几何性质求 出圆心和半径 已知条件涉及几何元素较多,如 已知弦、切线、直径等   找到动点与已知曲线上的点的 坐标间的关系,用未知表示已知, 然后代入已知曲线的方程 要求的动点依赖于已知曲线上 的一点 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知点A(1,-2),B(-1,4). (1)求过点A,B且周长最小的圆的方程; (2)求过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程; (3)若C(-7,2),求△ABC外接圆的方程. 思路点拨    (1)将周长最小转化为半径最小来分析.(2)利用“弦的中垂线必过圆心”找圆心.(3)设出一 般方程,利用待定系数法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AB,则当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小. 易得线段AB的中点坐标为(0,1),即圆心坐标为(0,1),又圆的半径为 |AB|= , ∴所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10. (2)连接AB.易得直线AB的斜率k=-3,线段AB的中点坐标为(0,1), ∴线段AB的垂直平分线的方程是y-1= x, 即x-3y+3=0. 又圆心在直线2x-y-4=0上,∴直线2x-y-4=0与直线x-3y+3=0的交点即为圆心, 联立 解得  ∴圆心坐标为(3,2), 半径为 =2 , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20. (3)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点A(1,-2),B(-1,4),C(-7,2)在△ABC的外接圆上, 所以 解得  所以△ABC外接圆的方程为x2+y2+6x-11=0.名师点睛　利用相关几何性质确定圆心和半径,即可得到圆 的标准方程.常用的几何性质如下:(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线;(2)圆心到切线的距离等于圆 的半径;(3)圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;(4)圆的弦的垂直平分线过圆心. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 思路点拨    (1)利用直接法求轨迹方程,先设出动点C的坐标,然后根据已知条件找动点满足的几何条件: 直角三角形ABC中,C为直角顶点,则AC⊥BC,即kAC·kBC=-1或|AC|2+|BC|2=|AB|2或AB的中点(记为D)满足| CD|= |AB|,再列方程求解,解完后要注意检验,去掉不适合题意的点. (2)由(1)得动点C的轨迹方程,所以BC的中点M的轨迹方程可应用相关点法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:设顶点C的坐标为(x,y), 由题意知AC⊥BC,AC,BC所在直线的斜率存在且不为0, 所以kAC·kBC=-1,x≠3且x≠-1. 又kAC= ,kBC= , 所以 · =-1,化简得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). 解法二:设顶点C的坐标为(x,y). 由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2, 即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16, 化简得x2+y2-2x-3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 又A,B,C三点不共线,所以y≠0, 即x≠3且x≠-1. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1). 解法三:设线段AB的中点为D,则D(1,0). 由直角三角形的性质知,|CD|= |AB|=2. 由圆的定义知,动点C在以D(1,0)为圆心,2为半径的圆上, 因为A,B,C三点不共线,所以应除去此圆与x轴的交点. 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1). (2)设点M(a,b),点C(x0,y0), 因为B(3,0),M是边BC的中点, 第1讲　描述运动的基本概念 所以a= ,b= ,于是有x0=2a-3,y0=2b. 由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1), 所以 + -2x0-3=0(x0≠3且x0≠-1), 即(x0-1)2+ =4(x0≠3且x0≠-1), 可得(2a-4)2+(2b)2=4(a≠3且a≠1), 即(a-2)2+b2=1(a≠3且a≠1). 因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1). 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　解题时注意轨迹的完备性(“多”或“少”). (1)勿忽略限制条件:如“构成三角形”隐含三点不共线,“斜率存在且不为0”时应排除垂直于坐标轴 的直线. (2)勿忽略特殊点:如分母不为零、开方非负等限制可能使某些点不满足. (3)方程变形时要注意等价转换:平方、去分母等操作可能使方程产生增根. 第1讲　描述运动的基本概念 10　直线与圆的位置关系的判断及应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆的位置关系的判断方法 位置关系 相离 相切 相交 公共点个数 0 1 2 图形       第1讲　描述运动的基本概念   几何法(圆心到直线的距离d与半 径r比较大小) d>r d=r d<r 代数法(直线方 程与圆的方程 联立) 方程组解 的情况 无解 有一组解 有两组解 判别式Δ Δ<0 Δ=0 Δ>0 直线系法 若直线恒过定点,则可通过点与圆的位置关系及其 他条件来判断直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 2.圆上到直线的距离为定值的点的个数问题 已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C到直线l的距离为d,圆C上的动点P到直线l的距离为d1,则有以下结论: 分类 条件 点P的个数 d=0,即直线l过圆心C d1>r 0 d1=0(或d1=r) 2 0<d1<r 4 0<d<r,即直线l与圆C 相交且不过圆心 d1>d+r 0 d1=d+r 1 r-d<d1<r+d 2 d1=r-d 3 0<d1<r-d 4 第1讲　描述运动的基本概念 d≥r,即直线l与圆C相切或相离 d1<d-r(或d1>d+r) 0 d1=d-r(或d1=d+r) 1 d-r<d1<d+r 2 第1讲　描述运动的基本概念 关键点拨     直线与圆位置关系的判断方法的比较 1.几何法:优先选用,计算量小.适用场景:圆的标准方程、直线方程均明确已知,无需求交点. 2.代数法:通用,计算量大.适用场景:需要求直线与圆的交点坐标,或直线、圆的方程复杂,不便用几何法 求解. 3.直线系法:也叫定点法,若直线恒过定点且定点在圆内,则直线与圆相交;若定点在圆上或在圆外,则需 利用代数法或者几何法进行讨论.适用场景:直线方程以含参形式给出. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 圆上到某条直线的距离为定值的点的个数可能为0,1,2,3,4,由圆心到直线的距离d与圆的半径r及定值d1 共同决定: 1.若r<|d-d1|,则圆上有0个点到直线的距离为d1; 2.若r=|d-d1|,则圆上有1个点到直线的距离为d1; 3.若|d-d1|<r<d+d1或 或 则圆上有2个点到直线的距离为d1; 4.若r=d+d1,则圆上有3个点到直线的距离为d1; 5.若r>d+d1,则圆上有4个点到直线的距离为d1. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)直线l:mx-y+2-m=0与圆C:x2+(y-2)2=5的位置关系是 ( ) A.相交　    B.相切　     C.相离　    D.不确定 (2)已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=36和不过第三象限的直线l:4x+3y-a=0,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2, 则实数a= ( ) A.-9　    B.1　    C.21　    D.31     D         A     思路点拨    (1)直线方程含参,因此【核心精讲】中的三种判断方法均可使用;(2)已知圆的半径r和圆上 点到直线l的距离及符合该距离的点的个数,根据结论进行转化来得出圆心到直线的距离,进而利用点 到直线的距离公式求a. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一(直线系法):将方程mx-y+2-m=0化为y-2=m(x-1),则直线l过定点(1,2),因为12+(2-2)2=1<5, 所以点(1,2)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部,所以直线l与圆C相交. 解法二(代数法):由 消去y并整理,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, 因为Δ=(-2m2)2-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,所以直线l与圆C相交. 解法三(几何法):由题意知,圆心C(0,2)到直线l:mx-y+2-m=0的距离d= <1< ,所以直线l与圆C 相交. (2)圆C:(x-2)2+(y-1)2=36的圆心为(2,1),半径r=6. 若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2, 则圆心到直线的距离为r-2=4= , 第1讲　描述运动的基本概念 解得a=-9或a=31, 因为直线l:4x+3y-a=0不经过第三象限,且其斜率为- <0,所以直线与y轴的交点 >0,故a=31. 技巧点拨　针对圆上到直线的距离为定值的点的个数问题,可通过画出直线和圆的相对位置进行分析, 做题时应灵活选择合适的思路,不必死记硬背结论. 第1讲　描述运动的基本概念 11　与圆有关的切线问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.圆的切线方程的求法:过定点P(x0,y0)作已知圆的切线,当点P在圆内时,无切线;当点P在圆上时,有且只 有一条切线;当点P在圆外时,有两条切线. (1)当点P在圆上时,圆心与点P的连线和切线垂直,若点P与圆心连线的斜率k存在且不为0,则切线斜率 为- ,由直线的点斜式方程可得切线方程为y-y0=- (x-x0);若点P与圆心连线的斜率为0,则切线斜率不存 在,切线的方程为x=x0;若点P与圆心连线的斜率不存在,则切线斜率为0,切线方程为y=y0. 圆上一点P(x0,y0)处的切线方程的常用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程 为x0x+y0y=r2. ②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的圆的切线方程为x0x+y0y+D· +E·  +F=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,由直线的点斜式方程写出切线方程,然后利用圆心到切线的距离等 于半径解出k即可. 注意:①若只求出一个k值,则一定还有一条斜率不存在的切线. ②求切线方程时也可应用(1)中的常用结论②,设切点为P1(x1,y1),则可得  解方程组得到切点P1的坐标,从而可根据结论写出切线方程. 切点弦的常用结论:过圆外一点可以作圆的两条切线,连接两个切点的线段称为切点弦. ①若点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的 方程为x0x+y0y=r2; ②若点P(x0,y0)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在 直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 第1讲　描述运动的基本概念 ③若点P(x0,y0)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则切 点弦AB所在直线的方程为x0x+y0y+D· +E· +F=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.切线长的求法:设点M(x0,y0)为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点,过点M作圆C的一条切线,切点为P,则切 线长|MP|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 与圆有关的切线问题,本质是围绕切线的两个核心性质展开的: (1)距离性质:圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r)——这是代数计算的核心依据; (2)垂直性质:切线与切点和圆心的连线垂直——这是几何分析的关键. 第1讲　描述运动的基本概念 关键点拨     1.先明确“切线场景”:是过圆上一点的切线,还是过圆外一点的切线,或是已知切线斜率求切线方程, 不同场景解法不同; 2.再选择“解题方法”:几何法(利用垂直性质求斜率)或代数法(利用距离公式列方程),优先用几何法简 化计算; 3.最后“验证完整性”:过圆外一点求切线方程时,需兼顾斜率存在与不存在两种情况,避免漏解. 第1讲　描述运动的基本概念 拓展结论     若点M(x0,y0)为圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点,过点M作圆C的一条切线,切点为P,则|PM|=  .   第1讲　描述运动的基本概念 典例1    (1)过点(4,0)的直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,则直线l的方程为______________________; (2)已知圆O:x2+y2=1,过直线3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为______.     3x+4y-12=0或x=4     思路点拨    (1)先判断点在圆上还是在圆外,确定切线的条数,然后设出切线方程,根据圆心到切线的距 离等于半径求解即可. (2)由切线长的相关结论知|PA|= ,则问题转化为求|PO|的最小值,即求原点与直线上的点间距 离的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4, 得圆心为(2,4),半径为2.因为(4-2)2+(0-4)2>4,所以点(4,0)在圆外. 解法一:当直线l的斜率不存在时,直线l:x=4, 此时直线l与圆x2+y2-4x-8y+16=0相切,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0, 则圆心(2,4)到直线l的距离d= = =2,解得k=- ,所以直线l的方程为3x+4y-12=0. 综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=4. 解法二(直线系法):设直线l的方程为A(x-4)+By=0,整理成一般式得Ax+By-4A=0, 则圆心(2,4)到直线l的距离d= =2, 即3B2-4AB=0,解得B=0或B= A, 第1讲　描述运动的基本概念 当B=0时,直线l:x=4;当B= A时,直线l:3x+4y-12=0. 综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=4. (2)连接PO,AO(图略),则|PA|2=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1,当|PO|最小时,|PA|最小, 易知|PO|的最小值为点O到直线3x+4y-10=0的距离,即|PO|min= =2,故|PA|的最小值为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　对于本题(2),还有如下结论:若点P为与圆O相离的一条直线上的动点,则当|PO|最小时,S△OAP 最小,∠AOP最小,∠APO最大;若点P为圆O内一点(点P与点O不重合),l为过点P的动直线,则当OP⊥l时, 弦心距最大,弦长最小,弦所对的圆心角最小. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    如图,已知圆M:(x-2)2+y2=1,点P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点,过动点P作圆M的两条切线,切点分别 为A,B,则直线AB的方程为_________________,直线AB所经过的定点的坐标为_________.       3x-ty-5=0     第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨　思路一:直接利用公式,即过圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的两条切线PA,PB,则切 点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; 思路二:易知A,B,M,P四点共圆,求出该圆的方程,则弦AB为两圆的公共弦,两圆方程作差可得方程; 思路三:弦AB为圆M与以P为圆心,PA为半径的圆的公共弦,求出此圆方程后与圆M的方程作差即可得结 果. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(考场秒杀):直线AB的方程为(x-2)(-1-2)+ty=1,即3x-ty-5=0,令y=0,得x= , 所以直线AB过定点 . 解法二:如图,连接AM,PM,BM,   因为直线PA,PB都是圆M的切线, 所以PA⊥AM,PB⊥BM,所以A,B,M,P四点共圆, 且PM为该圆的直径,所以切点弦AB实际上是以PM为直径的圆与圆M的公共弦, 第1讲　描述运动的基本概念 易知以PM为直径的圆的圆心为 ,半径为 = , 故该圆的方程为 + = , 两圆方程相减,得直线AB的方程为3x-ty-5=0, 令y=0,得x= ,所以直线AB过定点 . 解法三:弦AB是以P为圆心,PA为半径的圆与圆M的公共弦. 由M(2,0),P(-1,t),可得|PM|= = , 在Rt△PAM中,|PA|= = = , 所以以P为圆心,PA为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+8, 两圆方程相减,可得公共弦AB所在直线的方程为(x+1)2-(x-2)2+(y-t)2-y2=t2+8-1,即3x-ty-5=0, 第1讲　描述运动的基本概念 令y=0,得x= , 所以直线AB过定点 . 解后反思　本题可以从圆的切点弦方程,四点共圆以及两圆公共弦所在的直线方程的角度求解,这是解 决此类问题的常用解题思路,平时应注意积累. 第1讲　描述运动的基本概念 12　直线与圆相交的弦长及中点弦问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆相交的弦长的求法 几何法 设直线被圆截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则|AB|=2 .在解决圆的弦长问题时,多用几何法 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出,则直接用两点间的距离公式求弦长 公式法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,将直线与圆的方程联立,消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程,然后利用根与系数的关系得弦长|AB|= |xA-xB|= |yA-yB|(其中k≠0). 特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB| 第1讲　描述运动的基本概念 2.解决与中点弦有关问题的方法 (1)联立直线与圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系求出中点坐标; (2)设出弦的两个端点的坐标,利用点在圆上得到两个方程,通过作差求出弦所在直线的斜率,此法即为 点差法; (3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦所在直线垂直解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 利用几何法求弦长的根本依据是垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,连接圆心与弦的中点,则所连 直线垂直于弦所在的直线,这样就出现了直角.实际上,弦心距d,弦长的一半 l,圆的半径r是此直角三角 形的三边长,它们满足勾股定理: +d2=r2. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交于A,B两点,截得的弦的长为4 ,求l的方程; (2)已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线l的方程. 思路点拨    (1)设出l的方程,由点到直线的距离公式求出d,然后应用弦长公式|AB|=2 列方程求 解,注意验证斜率不存在的情况. (2)根据斜率是否存在进行分类讨论. 思路一:结合一元二次方程根与系数的关系列方程求解; 思路二:利用“点差法”及“设而不求,整体代换”的策略求解; 思路三:利用圆的几何性质——非直径的弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若l的斜率不存在,则l:x=5,与圆C相切,不符合题意,所以l的斜率存在. 设l的方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0, 则圆心C(0,0)到l的距离d= , 易知圆C的半径r=5,|AB|=4 , 则d= = = , 所以 = ,解得k= 或k=2,均符合题意. 故l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0. (2)当l的斜率不存在时,l:x=4, 此时圆与l的两个交点分别为(4,-3- ),(4,-3+ ),不满足题意.故直线l的斜率存在. 第1讲　描述运动的基本概念 解法一:设直线l的斜率为k, 则l的方程为y+2=k(x-4), 依题意知l与圆有两个交点, 设这两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2), 将直线l的方程与圆的方程联立,消去y并整理,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0, 则Δ>0,x1+x2= , 若A(4,-2)为弦的中点,则x1+x2=4×2, 即 =8,解得k=-2. 故l的方程为2x+y-6=0. 综上,l的方程为2x+y-6=0. 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:设直线l的斜率为k,则k= . 依题意知l与圆有两个交点, 设这两个交点分别为B(x1,y1),C(x2,y2), 因为点A(4,-2)是BC的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=-4. 把B,C两点的坐标分别代入圆的方程, 得 ① ①-②,等号两边同时除以(x1-x2)并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)· -4+6· =0, 即8-4k-4+6k=0,解得k=-2, 故l的方程为2x+y-6=0. 第1讲　描述运动的基本概念 综上,l的方程为2x+y-6=0. 解法三:设圆心为M,直线l的斜率为k. 易知M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2. 所以直线l的方程为2x+y-6=0. 名师点津　圆的弦长和中点弦问题看似独立,实则都是围绕圆的几何性质展开的,注意勾股定理和垂直 关系的应用. 第1讲　描述运动的基本概念 13　与圆有关的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 与圆有关的最值问题的常见题型及解题思路 　　已知P(x,y)为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上的动点. (1)求点P到圆外或圆内一点Q的距离的最值,将其转化为圆心C与点Q间的距离,则距离的最大值为|CQ| +r,最小值为||CQ|-r|. (2)若圆C与直线l相离,则求点P到直线l的距离的最值的思路是将其转化为圆心C到直线l的距离(记为d), 此时P到直线l的距离的最大值为d+r,最小值为d-r.若圆C与直线l相交或相切,则点P到直线l的距离的最 大值为d+r,最小值为0(d为圆心C(a,b)到直线l的距离). (3)求形如μ= 的最值问题,将其转化为动点P(x,y)与定点(m,n)连线的斜率的最值问题,求解时将μ=  整理为直线方程的一般式,然后令直线与圆相切,寻找斜率μ取值的临界位置,从而确定最值或范 围. 第1讲　描述运动的基本概念 (4)求形如u=mx+ny的最值问题,将其转化为动直线截距的最值问题,取值的临界位置一般是直线与圆相 切时的截距;也可以利用圆的参数方程求解,令 (θ为参数,θ∈[0,2π)),然后利用三角函数的 相关知识求解,该思路更为简便些. (5)求形如t=(x-m)2+(y-n)2的最值问题,将其转化为动点P(x,y)与定点(m,n)间的距离的平方的最值问题,求 解思路同(1);也可以利用参数方程来求解,但相对来说运算量较大. (6)求形如|AP|+|AQ|的与圆有关的折线段的最值问题(其中Q为另一圆上的动点,A为某条定直线上的动 点),求解时要立足两点:①“动化定”,即把与两圆上的动点间的距离转化为与两个圆心间的距离;② “曲化直”,将折线段转化为同一直线上的两线段,一般要通过作对称解决. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 求解与圆有关的最值问题,其通法是数形结合和转化与化归,其流程如下:   第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知点A(0,9),B(4,5),圆C是过A,B两点的面积最小的圆. (1)求圆C的标准方程; (2)若M(x,y)为圆C上任意一点. (i)求 的最大值和最小值; (ii)求 的最大值和最小值; (iii)求y-x的最大值和最小值; (iv)已知点D(1,1),P为直线x+y=0上任意一点,求|PM|+|PD|的最小值; (v)已知点F为圆E:(x-2)2+(y-3)2=1上任意一点,Q为x轴上任意一点,求|QM|+|QF|的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆心C到直线AB的距离为d,圆C的半径为r,其中d≥0,r>0. 易得|AB|= =4 , 由圆的几何性质可得r= = ≥2 , 当且仅当d=0,即圆心C是线段AB的中点时,半径最小,此时圆C的面积最小, 所以r=2 ,C(2,7), 故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-7)2=8. (2)(i) = 表示圆上的点M(x,y)与点(-2,3)之间的距离,记Q(-2,3). 由(1)知圆C:(x-2)2+(y-7)2=8,C(2,7),r=2 . 如图所示,连接QC并延长,交圆C于S,T两点, 当M与S重合时,|MQ|取得最小值,为|QC|-r= -2 =2 ; 第1讲　描述运动的基本概念 当M与T重合时,|MQ|取得最大值,为|QC|+r=6 . 故最大值为6 ,最小值为2 .   (ii) 表示圆上的点M(x,y)与点(-2,3)连线的斜率, 记N(-2,3),易知当直线MN与圆C相切时取得最值. 设lMN:y=k(x+2)+3, 则圆心C到lMN的距离d= =2 , 解得k=2± . 第1讲　描述运动的基本概念 故最大值为2+ ,最小值为2- . (iii)解法一:设y-x=z,即y=x+z,则z为过点M的直线y=x+z在y轴上的截距, 当该直线与圆相切时,此截距取得最值, 此时圆心C到该直线的距离d'= =2 , 解得z=1或z=9. 故最大值为9,最小值为1. 解法二:设 (θ为参数,θ∈[0,2π)), 则y-x=5+2 (sin θ-cos θ)=5+4sin , 因为θ∈[0,2π), 第1讲　描述运动的基本概念 所以θ- ∈ , 则sin ∈[-1,1],所以y-x∈[1,9],故最大值为9,最小值为1. (iv)设点D(1,1)关于直线x+y=0的对称点为D',则D'(-1,-1), 所以|CD'|= = , 所以|PM|+|PD|的最小值为 -2 . (关键点:将求|PM|+|PD|的最小值转化为求|PC|+|PD|的最小值,然后利用“将军饮马”模型求解) (v)设圆E:(x-2)2+(y-3)2=1关于x轴对称的圆为E',则圆E':(x-2)2+(y+3)2=1, 所以|CE'|=10, 所以|QM|+|QF|的最小值为|CE'|-2 -1=9-2 . (转化为“将军饮马”模型求解) 第1讲　描述运动的基本概念 思维提升　有时还会遇到与圆有关的其他最值问题,如面积的最值、周长的最值等,解题时要充分结合 图形的直观性进行分析,必要时转化为函数(一般函数、三角函数等)的最值问题来求解. 第1讲　描述运动的基本概念 14　圆与圆的位置关系的判断及应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.圆与圆的位置关系的判断 (1)代数法.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0),联立两圆 方程得 则此方程组解的情况与两圆位置关系的相关结论如下: 方程组的解 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 第1讲　描述运动的基本概念 　　也可将方程组进行消元,然后根据得到的一元二次方程的判别式Δ进行判断(若得到的是一元一次 方程,则直接求出方程组的解进行判断),见(2)中表格. (2)几何法.设两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆的圆心距d,然后按下表进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示           公共点个数 0 1 2 1 0   代数法 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 几何法 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 第1讲　描述运动的基本概念 2.公切线:同时与两个圆相切的直线,称为两圆的公切线,连接两切点的线段的长称为公切线的长,公切 线分外公切线和内公切线. (1)外公切线:两个切点分别在两圆上,且两圆的圆心在公切线同侧. (2)内公切线:两个切点分别在两圆上,且两圆的圆心在公切线异侧. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之是否成立? 2.当两圆的方程组成的方程组无实数解时,两圆是否一定外离? 答案    1.不成立.若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,但反之不成立,若两圆有且只有一个公共点, 则两圆可能外切也可能内切. 2.不是.当两圆的方程组成的方程组无实数解时,两圆外离或内含. 第1讲　描述运动的基本概念 易错提醒    遇公切线问题时,先判断两圆的位置关系,确定公切线的条数,避免盲目求解. 两圆的位置关系与公切线条数的对应关系如下表: 位置关系 公切线条数 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 第1讲　描述运动的基本概念 1.一般利用几何法解决两圆位置关系的相关问题,求解关键是正确找出圆心和半径,分析两圆圆心之间 的距离与两圆半径的和或差的绝对值的大小关系. 2.两圆的位置关系问题的难点是两圆相切问题,解决相切问题时要先确定是内切还是外切,若题目中没 有明确说明,则必须分两圆内切和两圆外切两种情况讨论,然后要注意转化与化归思想的应用,即将两 圆相切转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值或两圆半径之和. 第1讲　描述运动的基本概念 3.求两圆的公切线方程问题的关键 (1)先判断两圆的位置关系,然后由此确定两圆公切线的条数; (2)设出公切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径得到参数所满足的方程(组),求出参数值即得切线 方程,若求出的公切线的条数不够,则一定有斜率不存在的公切线; (3)可通过作图解决,画图要标准,做到“草图不草”. 第1讲　描述运动的基本概念 4.公切线的关键性质 (1)公切线垂直于过切点的半径,即圆心与切点的连线垂直于公切线; (2)半径不相等的两圆的公切线与两圆圆心的连线相交于一点; (3)外公切线的长度为 ,内公切线的长度为 (r1,r2分别为两圆半径,d为两圆的圆 心距); (4)两圆外公切线的长相等,内公切线的长相等. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 公切线中常用的直角三角形: 1.如图1,Rt△O1CO2中,斜边O1O2的长=两圆圆心距,直角边O2C的长=r2-r1,直角边O1C的长=外公切线的长.   2.如图2,Rt△ABC中,斜边AC的长=两圆圆心距,直角边BC的长=r1+r2,直角边AB的长=内公切线的长.   第1讲　描述运动的基本概念 典例1    (1)圆C:x2+y2-3x+5y=r2- (r>0)与圆D:x2+y2=9的位置关系不可能是 ( ) A.内含　    B.相交 C.外切　    D.内切 (2)在平面直角坐标系Oxy中,圆C:x2+y2-4y+3=0,若直线y=kx-1上存在点P,使以点P为圆心,1为半径的圆P 与圆C有公共点,则实数k的取值范围是______________________.      ∪          C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆C的方程可化为 + =r2(r>0), 其圆心为C ,半径为r. 圆D:x2+y2=9的圆心为D(0,0),半径为3, 因为两圆圆心距|CD|= = <3, 所以圆C的圆心在圆D的内部, 所以两圆的位置关系不可能是外切. (2)将圆C的方程化成标准形式,为x2+(y-2)2=1, 其圆心为C(0,2),半径r=1. 解法一:设P(x0,kx0-1), 第1讲　描述运动的基本概念 若圆P与圆C有公共点, 则1-1≤ ≤1+1成立,即关于x0的不等式(k2+1) -6kx0+5≤0有解, 所以Δ=(-6k)2-20(k2+1)≥0, 解得k≤- 或k≥ . 解法二:原问题可转化为圆C':x2+(y-2)2=4与直线y=kx-1有公共点, 则 ≤2, 解得k≤- 或k≥ . 解后反思　本题(2)中, ≤1+1表示圆心C到直线上一点P的距离小于或等于2,因此就等价 为圆心C'(0,2)与直线y=kx-1有公共点.解题时可通过画图理解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    (1)若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4分别相切于点A,B,则|AB|=( ) A.1　    B. 　     C. 　    D.2  (2)已知圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0,则两圆的公切线方程为_______________________ __________. =0,x=0         y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:如图所示,设直线l与x轴交于点M,连接AC1,BC2,   由题意得AC1⊥l,BC2⊥l, ∴AC1∥BC2, ∵|BC2|=2=2|AC1|, ∴C1为MC2的中点,A为MB的中点, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴|MC1|=|C1C2|=2, 由勾股定理可得|AB|=|MA|= = = . 解法二(考场速解):由题易知直线l是两圆的外公切线, 由公式可得|AB|= = . (2)圆O1:x2+y2+2x+6y+9=0即(x+1)2+(y+3)2=1,其圆心为O1(-1,-3),半径r1=1; 圆O2:x2+y2-6x+2y+1=0即(x-3)2+(y+1)2=9,其圆心为O2(3,-1),半径r2=3, 因为|O1O2|= =2 >r1+r2, 所以两圆外离,故两圆有四条公切线. 当公切线的斜率存在时,设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,则  第1讲　描述运动的基本概念 解得 或 或  所以公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0. 当公切线的斜率不存在时,公切线方程为x=0. 综上,两圆的公切线方程为y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0. 易错警示　本典例(2)中易忽略斜率不存在的情况,防止出现这种情况的有效方法就是先判断出两圆的 位置关系,确定公切线的条数,再求解.若通过设斜截式方程求得的直线条数少于先前确定的条数,则一 定有斜率不存在的公切线. 第1讲　描述运动的基本概念 15　两圆的公共弦问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.两圆的公共弦所在直线方程的求法 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 联立  ①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③.有以下结论: (1)当两圆相交时,③是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程. (2)当两圆外离时,③是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程,且垂足与两圆心的距离之比等于两圆 的半径之比. (3)当两圆相切时,③是两圆的一条公切线的方程. (4)若两圆(不重合)是等圆,则③是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 2.两圆公共弦的长度的求法 (1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点的坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在直线的方程;②求出其中一个圆的圆心到公共弦所在 直线的距离d;③利用勾股定理求出公共弦的长度,即公共弦的长为2 (r为对应圆的半径). 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 两圆的公共弦问题,本质上可从代数和几何两个维度理解: 1.代数维度:公共弦的端点坐标同时满足两个圆的方程,因此将两圆方程相减,消去x2、y2项(这两项系数 在两圆方程中通常是分别相等的,若不等需先统一),得到的二元一次方程就是公共弦所在直线的方程 ——这是求公共弦所在直线方程的核心方法,避免了先求交点坐标,然后利用两点式确定方程的复杂计 算; 2.几何维度:两圆的公共弦与两圆圆心所连的线段存在“垂直且平分”的关系——这一特性是计算公 共弦的长、判断公共弦位置的关键依据. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知线段AB的端点B的坐标是(6,5),端点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动. (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程; (2)设圆C1与曲线C2的两个交点分别为M,N,求线段MN的长. 思路点拨    (1)利用相关点法求轨迹方程. (2)由(1)知轨迹C2也为圆,先将两圆方程作差求得直线MN的方程,再利用半弦长、半径、弦心距为同一 直角三角形的三边长结合勾股定理计算. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0), (相关点法:动点P的变化依赖于已知曲线上的动点A) 因为点B的坐标是(6,5),且点P是线段AB的中点, 所以  于是有 ① 因为点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动, 所以(x0-4)2+(y0-3)2=4②. 把①代入②, 得(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4, 第1讲　描述运动的基本概念 整理得(x-5)2+(y-4)2=1, 所以点P的轨迹C2的方程为(x-5)2+(y-4)2=1. (2)将圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4与曲线C2:(x-5)2+(y-4)2=1的方程相减,得2x+2y-19=0. 曲线C2:(x-5)2+(y-4)2=1的圆心为(5,4),半径r=1,且圆心(5,4)到直线2x+2y-19=0的距离d= = , 所以|MN|=2 =2× = .(点拨:也可利用C1的圆心到直线2x+2y-19=0的距离和半径求解,结果 一致) 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题中已知两圆有两个交点,所以它们必然是相交的关系,将两圆方程作差即得公共弦所在 直线的方程,但是在解决其他有关两圆的公共弦问题时,要先确定它们满足相交的关系才能通过作差得 公共弦所在直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 16　圆系方程 第1讲　描述运动的基本概念 圆系方程的几种形式与适用范围 圆系类型 方程形式 以(a,b)为圆心的同心圆系 (x-a)2+(y-b)2=λ(λ>0) 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系 x2+y2+Dx+Ey+λ=0(D2+E2-4λ>0) 过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R) 过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0交点的圆系 ①x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)或x2+y2+D2x+E2y+F2=0; ②x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1- F2]=0(λ∈R) 第1讲　描述运动的基本概念 经过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+λ[(x2-x1)(y-y1)-(y2-y1)(x- x1)]=0(λ∈R) 过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0上任意一点(x0,y0)且与C相切的圆系 x2+y2+Dx+Ey+F+λ[(x-x0)2+(y-y0)2]=0(λ≠0,λ≠-1) 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 圆系方程为满足某一条件的一类圆的方程,所以在写出某类圆系方程时需先确认圆所满足的条件,比如 同圆心、过交点等;过圆与圆或直线与圆的交点的圆系方程,可以类比直线系方程进行记忆. 特别说明     1.当λ=-1时,①中方程为一次方程,若两圆相交,则该方程为两圆的公共弦所在直线的方程;若两圆相切, 则该方程为两圆的公切线方程. 2.②中方程即为过圆C1与两圆公共弦所在直线的交点的圆系方程,此种形式可避免讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程; (2)求与圆x2+y2-4x-8y+15=0相切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程. 思路点拨    (1)思路一:当直线与已知圆的相交弦为待求圆的直径时,待求圆的面积最小.联立方程求得 交点坐标,从而得到所求圆的圆心和半径,即得方程;思路二:设出符合条件的圆系方程,根据题目要求求 参即可.(2)直接设出符合条件的圆系方程,将点的坐标代入求参即可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一(常规方法):依题意可知,所求圆一定是以直线2x+y+4=0被圆x2+y2+2x-4y+1=0所截得的 弦为直径的圆. 联立  解得 或  不妨设P(-3,2),Q . 则线段PQ的中点为 ,|PQ|= , 即所求圆的圆心为 ,半径为 , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴所求圆的方程为 + = . 解法二(圆系方程法):过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点的圆的方程可设为x2+y2+2x-4y+1+λ(2 x+y+4)=0(λ∈R), 即[x+(λ+1)]2+ = λ2-4λ+4, 该圆的半径为 =  =  , 故当λ= 时,对应圆的半径最小,且最小半径为 , ∴所求圆的方程为 + = . (2)易知A(3,6)在圆x2+y2-4x-8y+15=0上,故可设与圆x2+y2-4x-8y+15=0相切于点A(3,6)的圆的方程为x2+y2-4 第1讲　描述运动的基本概念 x-8y+15+λ[(x-3)2+(y-6)2]=0. ∵该圆过B(5,6), ∴把(5,6)代入方程可求得λ=-2, ∴所求圆的方程为x2+y2-4x-8y+15-2[(x-3)2+(y-6)2]=0,即x2+y2-8x-16y+75=0. 解后反思　求过一直线和已知圆交点的圆或求过已知两圆交点的圆的方程时,通过联立方程求出交点 坐标进行求解是普遍思路,但运算量比较大,巧用圆系方程解题则便捷很多. 第1讲　描述运动的基本概念 17　隐圆、辅助圆 第1讲　描述运动的基本概念 　　有些与圆有关的题目中,题设条件并没有明确给出圆的具体信息,但通过分析、转化已知条件后会 发现这些题目条件中隐含了圆的定义或圆的方程,从而可以利用圆的相关知识来求解,我们称这类问题 为隐圆、辅助圆问题. 破解隐圆、辅助圆问题的关键是定隐圆,一般有以下几种方法: ①用定义定隐圆:利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆. ②用垂直关系定隐圆:若动点P与两定点A,B的连线的夹角为直角,则动点P的轨迹为圆(不包括A,B两点). ③用向量关系式定隐圆:已知两定点A,B,若动点P 满足 · =0,则动点P的轨迹是以AB为直径的圆. ④用勾股定理定隐圆:已知两定点A,B,若动点P满足|PA|2+|PB|2=|AB|2,则动点P的轨迹是以AB为直径的 圆. 第1讲　描述运动的基本概念 ⑤用阿波罗尼斯圆定隐圆:已知平面上两个相异的点A,B,设点P 与点A,B 在同一平面内,且满足|PA|=λ| PB|,则当λ>0 且λ≠1 时,点P的轨迹就是圆,该圆称为阿波罗尼斯圆. 除了上述方法确定隐圆外,还存在“四点共圆”模型,常见的有两种情形:一是若四边形的对角互补,则 该四边形的四个顶点共圆;二是共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等(即同弧所对 的圆周角相等). 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 隐圆、辅助圆问题的求解步骤 1.识别模型.分析题目条件,匹配模型,优先看是否出现“定点、定长”“距离的比值为定值”“斜率的 乘积为定值”“距离的平方和为定值”. 2.求隐圆的参数(圆心坐标、半径).将已知条件代数化,求出隐圆的方程. 3.转化问题,利用圆的性质解题.常见的转化方向:点与点的距离转化为点与圆心间的距离,交点问题转 化为直线与圆的位置关系,或圆与圆的位置关系问题. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知平面直角坐标系Oxy中,点E( ,0),F(2 ,0),记满足|PF|= |PE|的动点P的轨迹为曲线D. (1)求曲线D的方程; (2)过点Q(3,3)向曲线D作切线QS,QT,切点分别是S,T,求直线ST的方程; (3)若点A(-2,2),B(-2,6),C(4,-2),当点P在曲线D上运动时,求2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值. 思路点拨    (1)设出动点的坐标,列出关系式整理即可. (2)求出以OQ为直径的辅助圆,转化为公共弦问题. (3)利用三角换元,转化为三角函数求最值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设P(x,y), 由|PF|= |PE|得|PF|2=2|PE|2, 即(x-2 )2+y2=2[(x- )2+y2],整理得x2+y2=4, 故曲线D的方程为x2+y2=4. (2)由题意知,QS⊥OS,QT⊥OT, 因此S,T在以OQ为直径的圆上, 易知OQ的中点坐标为 ,|OQ|=3 , 所以以OQ为直径的圆的方程为 + = ,即x2+y2-3x-3y=0, 又S,T在曲线D,即圆D上, 故直线ST为两圆公共弦所在的直线,两圆方程作差,并整理得直线ST的方程为3x+3y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由(1)知P(x,y)在圆x2+y2=4上, 则2|PA|2+|PB|2+|PC|2 =2[(x+2)2+(y-2)2]+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2 =4x2+4y2+4x-16y+76=4(x2+y2+x-4y+19) =4(4+x-4y+19)=4(x-4y+23). 设x=2cos θ,y=2sin θ,0≤θ<2π, 所以2|PA|2+|PB|2+|PC|2=4(2cos θ-8sin θ+23) =4[2 sin(θ+φ)+23] =8 sin(θ+φ)+92 其中tan φ=-  , 所以2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为92+8 ,最小值为92-8 . 第1讲　描述运动的基本概念 思维提升    1.平面内与两定点的距离的比值为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆. 2.圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0)的参数方程是 其中α是参数,且α∈[0,2π),解题时可合理利用. 第1讲　描述运动的基本概念 $