阶段检测（二）(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖方向向量、法向量、线线垂直、线面角等核心知识，通过从平面向量到空间向量的过渡，搭建知识支架，帮助学生逐步掌握用向量解决立体几何问题的方法。 其亮点在于以正方体、直三棱柱等模型为载体，通过建立坐标系、向量运算培养数学思维与数学语言表达能力，如第5题用向量点积验证线线垂直，解答题结合几何与代数方法。助力学生提升空间观念与推理能力，为教师提供分层教学素材，提高课堂效率。

阶段检测（二） （时间：60分钟　满分：100分） 第一章　空间向量与立体几何 1 一、单项选择题（共7小题，每小题5分，共35分） 1. 设直线l1的一个方向向量为a＝（2，1，－2），直线l2的一个方向向量 为b＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（　　） A. 1 B. －2 C. －3 D. 3 解析：　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋1×2＋（－2）·m＝0， ∴m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册 2. 设平面α内两向量a＝（1，2，1），b＝（－1，1，2），则下列向量中 是平面α的法向量的是（　　） A. （－1，－2，5） B. （－1，1，－1） C. （1，1，1） D. （1，－1，－1） 解析：　平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 3. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC 的形状是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　因为 ＝（3，4，－8）， ＝（2，－3，1）， ＝（5， 1，－7）， · ＝10－3－7＝0，所以BC⊥AC，而｜ ｜＝ ，｜ ｜＝5 ，所以△ABC是直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 4. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝ 2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，则点B到直线PD的距离为 （　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　因为PA⊥平面ABCD，所以∠PDA为PD与平 面ABCD所成的角，所以∠PDA＝45°，所以PA＝AD ＝4.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（2，0， 0），P（0，0，4），D（0，4，0），则 ＝（0，－ 4，4）， ＝（－2，0，4），所以点B到直线PD的距离d＝ ＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 5. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且 A1E＝ A1D，AF＝ AC，则下列说法正确的是（　　） A. EF至多与A1D，AC之一垂直 B. EF⊥A1D，EF⊥AC C. EF与BD1相交 D. EF与BD1异面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC， DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设 正方体的棱长为3，则E（1，0，1），F（2，1，0）， A1（3，0，3），A（3，0，0），C（0，3，0），D （0，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，3），∴ ＝（1，1，－1）， ＝（－3，3，0）， ＝（－3，0，－3），∵ · ＝0， · ＝0，∴EF⊥AC，EF⊥A1D，B正确，A错误；由 ＝（－3，－3，3）， ＝－ ，故选项C、D错误.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 6. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，点D 是棱AB的中点，则平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系， 令AC＝2，则C（0，0，0），D（1，1，0），B1（0， 2，2），所以 ＝（1，1，0）， ＝（0，2，2）， 设平面B1CD的法向量n＝（x，y，z），则 令x＝1，则y＝－1，z＝1， 所以n＝（1，－1，1），又易知平面ABC的法向量m＝（0，0，1），故 cos ＜n，m＞＝ ＝ ＝ ，设平面ABC与平面B1CD的夹角为θ，θ∈（0， ］，则 cos θ＝ ，故平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为 sin θ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 7. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平 面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段BP长度的取值范围是（　　） A. [1， ] B. ［ ， ］ C. ［ ， ］ D. [1， ] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分 别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由正 方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可得A（1，0，0）， B（1，1，0），D1（0，0，1）.设P（a，b，1），M （0，1，t）（0≤t≤1），则 ＝（a－1，b，1）， ＝（－1，－1，1）， ＝（0，－1，1－t），因为AP⊥平面MBD1，BD1⊂平面MBD1，MD1⊂平面MBD1，所以AP⊥BD1，AP⊥MD1，即 解得 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 ＝（t，1－t，1），所以 ＝ ＋ ＝（0，－1，0）＋（t，1－t，1）＝（t，－t，1），所以｜ ｜＝ ＝ ，因为0≤t≤1，可得｜ ｜＝ 在[0，1]上单调递增，故线段BP长度的取值范围是[1， ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 二、多项选择题（共2小题，每小题6分，共12分） 8. 如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，已知 CM⊥AB，ON⊥AB，垂足M，N为两个不同的点，且＜ ， ＞＝ ，设直线MC与ON所成的角为α，二面角C-AB-O的大小为β，则 （　　） A. α＝ B. α＝ C. β＝ D. β＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：由题意可知，＜ ， ＞＝ ，因为α∈［0， ］，所以α ＝π－ ＝ .因为β∈[0，π]，且由题图可知二面角C-AB-O为锐二面 角，所以β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 9. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1， DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF∥平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　连接BD1（图略），∵EF∥BD1，得EF∥平面ABC1D1，故 A正确；∵B1C⊥BC1，又由D1C1⊥平面BCC1B1，得B1C⊥D1C1，又 BC1∩D1C1＝C1，BC1，D1C1⊂平面BD1C1，∴B1C⊥平面BD1C1.∵BD1⊂平面BD1C1，∴B1C⊥BD1.又∵BD1∥EF， ∴EF⊥B1C，故B正确；∵EF∥BD1，∴EF与AD1所成角为∠AD1B，在 △AD1B中，AD1＝2 ，BD1＝2 ，AB＝2，且△AD1B为直角三角 形，∴tan∠AD1B＝ ＝ ，而tan 60°＝ ，故C错误； ∵EF∥BD1，又D1C1⊥平面BB1C1C，∴∠D1BC1即为EF与平面BB1C1C 所成角，在Rt△D1C1B中，D1C1＝2，D1B＝2 . sin ∠D1BC1＝ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 10. 已知A（－1，2，0），B（1，2，0），C（2，－1，3），点P （x，0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为 ⁠. 解析：由题可得 ＝（－1－x，2，－z）， ＝（2，0，0）， ＝ （3，－3，3），因为PA⊥平面ABC，所以 即 解得 则P（－1，0，－2）. （－1，0，－2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 11. 将边长为1的正方形AA1O1O及其内部绕OO1旋转一周形成圆柱，如 图， 长为 ， 长为 ，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则直 线B1C与平面OAA1O1所成的角的正弦值为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：由题意，∠AOC＝ ，∠A1O1B1＝ ，如图所 示，建立空间直角坐标系，则B1（ ， ，1），C （ ，－ ，0），所以 ＝（ ， ，－ 1），平面OAA1O1的一个法向量为n＝（1，0，0），设直线B1C与平面OAA1O1所成的角为θ，所以 sin θ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 四、解答题（共3小题，共43分） 12. （13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝ ，D是棱AC 的中点，且AB＝BC＝BB1＝2. （1）求证：AB1∥平面BC1D； 解：证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD. 因为O为B1C的中点，D为AC的中点， 所以OD∥AB1. 因为AB1⊄平面BC1D，OD⊂平面BC1D， 所以AB1∥平面BC1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （2）求异面直线AB1与BC1所成的角. 解：建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 则B（0，0，0），A（0，2，0）， C1（2，0，2），B1（0，0，2）， 因此 ＝（0，－2，2）， ＝（2，0，2）. 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，设 异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则 cos θ＝ ，由于θ∈ （0， ］，故θ＝ ，即异面直线AB1与BC1所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 13. （15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的 平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°. （1）求直线BF与平面ABCD所成的角； 解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所 在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD. 以O点 为坐标原点，以OD为x轴，OA为y轴，过O点且平行 于AF的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系. （1）由已知得A（0，1，0），B（－ ，0，0），C （0，－1，0），D（ ，0，0），F（0，1，2）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 因为z轴垂直于平面ABCD， 因此可令平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1）， 又 ＝（ ，1，2）， 设直线BF与平面ABCD所成的角为θ， 则有 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝ ＝ ＝ ，即θ＝ ，所以直线BF与平面ABCD所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （2）求点A到平面FBD的距离. 解：因为 ＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2）， 设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z）， ⇒ 令z＝1得n＝（0，－2，1）， 又因为 ＝（0，0，2）， 所以点A到平面FBD的距离d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 14. （15分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为AB的中 点，且AB＝AC＝2，BC＝2 ，AD＝2. （1）证明：AC⊥BD； 解：证明：因为AB＝AC＝2，BC＝2 ，所以 AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC， 因为AD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC， 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABD， 所以AC⊥平面ABD， 因为BD⊂平面ABD，所以AC⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （2）求平面BCD与平面CDM夹角的余弦值； 解：以A为坐标原点，AB，AC，AD所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0， 0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2）， M（1，0，0），可得 ＝（－2，2，0）， ＝ （0，－2，2）， ＝（1，－2，0）. 设平面BCD的法向量为m＝（x1，y1，z1），则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 令x1＝1，则y1＝1，z1＝1，可得m＝（1，1，1）. 设平面CDM的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 则 令y2＝1，则x2＝2，z2＝1，可得n＝（2，1，1）， 则｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以平面BCD和平面CDM夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （3）在线段BD上是否存在点P，使得直线PC与平面CDM所成角的正弦 值为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 解：设 ＝λ（0≤λ≤1），则 ＝λ ， 设P（x，y，z），则（x－2，y，z）＝λ（－2，0，2）， 得x－2＝－2λ，y＝0，z＝2λ，即P（2－2λ，0，2λ）， 可得 ＝（2λ－2，2，－2λ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 由（2）知，平面CDM的法向量为n＝（2，1，1），设直线PC与平面 CDM所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ，整理可得2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝ 或λ＝2（舍去）， 所以存在点P，使得直线PC与平面CDM所成角的正弦值为 ，此时 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 $