阶段检测（一）(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，通过向量线性运算、坐标表示等基础题导入，逐步过渡到正方体、直三棱柱中的共面判定、投影向量等综合应用，构建从基础到复杂的学习支架。 其亮点在于结合具体几何体情境，以数学眼光观察空间形式，通过逻辑推理（如共面判定）和坐标运算（如动点最值问题）培养数学思维与表达能力。学生能提升空间观念和运算能力，教师可用于分层训练与素养评价。

阶段检测（一） （时间：60分钟　满分：100分） 第一章　空间向量与立体几何 1 一、单项选择题（共7小题，每小题5分，共35分） 1. 已知 ＝（2，3，1）， ＝（4，5，3），那么向量 ＝（　　） A. （－2，－2，－2） B. （2，2，2） C. （6，8，4） D. （8，15，3） 解析：向量 ＝ － ＝（4，5，3）－（2，3，1）＝（2，2，2），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册 2. （2026·商丘月考）若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝ a，则（　　） A. m，n，p共线 B. m与p共线 C. n与p共线 D. m，n，p共面 解析：　由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝ m ＋ n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 3. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝（　　） A. a＋b－c B. a－b＋c C. b－a－c D. b－a＋c 解析：　 ＝ － ＝（ － ）－ ，∵ ＝ ＝c， ∴ ＝b－a－c. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 4. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若向量a在基底{ ， ， }下的坐标为（2，1，－3），则向量a在基底{ ， ， }下的 坐标为（　　） A. （2，1，－3） B. （－1，2，－3） C. （1，－8，9） D. （－1，8，－9） 解析：　因为ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，所以{ ， ， }，{ ， ， }都是单位正交基底，因为a＝2 ＋ －3 ＝2 － －3 ＝－ ＋2 －3 ，所以向量a在基底{ ， ， }下的坐标为（－1，2，－3）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 5. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1 上，且DF＝ DD1，记 ＝x ＋y ＋z ，若x＋y＋z＝ ，则 ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　设 ＝λ，因为 ＝ ＋ ＋ ＋ ＝－λ － ＋ ＋ ＝－λ － ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋（ －λ） ，所以x＝－1，y＝1，z＝ －λ，因为x＋y＋z＝ －λ＝ ，所以λ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 6. （2026·河北保定开学考试）如图，A1B1，AB分别是圆台上、下底面 的两条直径，且AB＝2A1B1，AB∥A1B1，C1是 上靠近点B1的三等分 点，则 在 上的投影向量是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　如图，取C1在下底面的投影C，作CD⊥AB，垂足为D. 连接CO，CC1，则∠COD＝ ， 在 上的投影向量是 .设上底面的半径为r，则OD＝ r，AD＝ r＝ AB，故 在 上的投影向量是 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 7. （2026·成都期中）如图，E是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内部 （含表面）一动点，则｜ ＋ ＋ ｜的最大值为（　　） A. B. 2 C. D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1， 0），设E（x，y，z）（0≤x≤1，0≤y≤1， 0≤z≤1），则 ＝（－x，－y，－z）， ＝（1－ x，－y，－z）， ＝（－x，1－y，－z），则 ＋ ＋ ＝（1－3x，1－3y，－3z）.故｜ ＋ ＋ ｜＝ ，当x＝y＝z＝1时取到最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 二、多项选择题（共2小题，每小题6分，共12分） 8. 已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则 下列说法正确的是（　　） A. ｜ ｜＝ B. 与 是共线向量 C. 和 夹角的余弦值是0 D. 与 同向的单位向量是（－ ， ， ） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析： ＝（2，1，0）， ＝（－3，1，1）， ＝（－1，2，1），所以｜ ｜＝ ＝ ，A选项正确； ≠ ，所以 与 不共线，B选项错误； · ＝－2＋2＝0，所以 和 夹角的余弦值是0，C选项正确；与 同向的单位向量是 ＝ ＝（－ ， ， ），D选项正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 9. 如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为2，K为正方形ABCD的中心， M，N分别为棱BF，EF的中点，下列结论正确的有（　　） A. ＝ － ＋ B. · ＝1 C. ｜ ｜＝ D. △KMN的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：以点E为坐标原点，EF，EH，EA所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（0，0，2），B（2，0，2），D（0，2，2），E （0，0，0），K（1，1，2），M（2，0，1），N（1， 0，0）.对于A， ＝（2，0，0）， ＝（0，2，0）， ＝（0，0，－2）， ＝（1，－1，－1）， － ＋ ＝（1，－1，－1），A正确；对于B， · ＝2＋0＋0＝2，B错误；对于C，｜ ｜＝ ＝ ，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 对于D，因为 ＝（－1，0，－1），则 · ＝－1＋0＋1＝0，所以 ⊥ ，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，所以S△KMN＝ ｜ ｜·｜ ｜＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 三、填空题（共2小题，每小题5分，共10分） 10. （2026·安徽六安高二期中）已知a＝（2，－2，4），b＝（－4， 2，x），且a⊥b，则｜a＋b｜＝ ⁠. 解析：∵a＝（2，－2，4），b＝（－4，2，x），且a⊥b，∴a·b＝ 2×（－4）＋（－2）×2＋4x＝0，解得x＝3，∴a＋b＝（2，－2，4） ＋（－4，2，3）＝（－2，0，7），∴｜a＋b｜＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 11. （2026·福建厦门二中期中）斗拱是中国 建筑特有的一种结构，是较大建筑物的柱与屋 顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐 （如图1）.某古代建筑屋顶的简化结构如图2， OB，OC是互相垂直的横梁，OD是与横梁垂直的立柱，从柱顶O上加的一层层探出弓形的承重结构即为斗拱OA，其中，OB＝OC＝OD，且∠AOB，∠AOC和∠AOD都为钝角，若 cos ＜ ， ＞＝－ ， cos ＜ ， ＞＝－ ，则 cos ＜ ， ＞＝ ⁠. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解析：由题可知OB，OC，OD两两垂直，以O为原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设OB＝OC ＝OD＝1，可得B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，1），所以 ＝（1，0，0）， ＝（0，1，0）， ＝（0，0，1），设点A （a，b，c），可得 ＝（a，b，c），设｜ ｜＝ ＝ t.由 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，可得a＝－ t，由 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，可得b＝－ t.因为 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＜0，则c＝－ ＝－ t，所以 cos ＜ ， ＞＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 四、解答题（共3小题，共43分） 12. （13分）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM 上，点P在线段AN上，且MN＝ ON，AP＝ AN. （1）若∠AOB＝60°，∠AOC＝∠BOC＝120°， OA＝OB＝OC＝1，求 · ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解：由题意得， ＝ － . 因为∠AOB＝60°，∠BOC＝120°， OA＝OB＝OC＝1， 所以 · ＝（ － ）· ＝ · － · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠BOC－｜ ｜·｜ ｜· cos ∠AOB＝1×1× cos 120°－1×1× cos 60° ＝－ － ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （2）试用向量 ， ， 表示 . 解：因为M是四面体OABC的棱BC的中点， 所以 ＝ （ ＋ ）. 因为MN＝ ON，所以 ＝ ， 又因为AP＝ AN，所以 ＝ ， 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 ＝ ＋ × ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ） ＝ ＋ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 13. （15分）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB， BC，CD，DA的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 证明：如图，连接BG，则 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ . 由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （2）求证：BD∥平面EFGH； 证明：因为 ＝ － ＝ － ＝ （ － ）＝ ， 又E，H，B，D不在同一条直线上，所以EH∥BD. 又因为EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 ＝ （ ＋ ＋ ＋ ）. 证明：任选一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示.由（2）知 ＝ ，同理 ＝ ， 所以 ＝ ，所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG，FH交于一点M且被M平分. 故 ＝ （ ＋ ）＝ ＋ ＝ ×［ （ ＋ ）］＋ ×［ （ ＋ ）］＝ （ ＋ ＋ ＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 14. （15分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝ 90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点. （1）求BN的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 解：如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B（0，1，0），N（1，0，1）， ∴｜ ｜＝ ＝ ， ∴线段BN的长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （2）求A1B与B1C所成角的余弦值； 解：由（1）中建立的坐标系得 A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）， ∴ ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2）， ∴ · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3. 又｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ . 故A1B与B1C所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 （3）求证：BN⊥平面C1MN. 解：证明：由（1）中建立的坐标系得C1（0，0，2）， N（1，0，1），M（ ， ，2）， ∴ ＝（ ， ，0）， ＝（1，0，－1）， ＝（1，－1，1）， ∴ · ＝ ×1＋ ×（－1）＋0×1＝0， · ＝1×1＋0×（－1）＋（－1）×1＝0. ∴ ⊥ ， ⊥ ，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N， 又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN， C1N⊂平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 $