1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面的平行关系，通过旗杆平台与地面平行、旗杆与战士直线平行的情境导入，引导学生思考方向向量和法向量关系，衔接向量语言表述与证明的知识点，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养为导向，通过一题多解（如例1坐标法与基底法）培养学生多角度思维，探索性问题（如例4线段BD上点的存在性）发展创新意识。采用情境导入、规律总结、分层训练的教学方法，帮助学生深化理解，教师可提升教学效率。

第二课时　空间中直线、平面的平行 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 观察图片，旗杆底部的平台和地面平行，旗杆所 在的直线和护旗战士所在的直线平行.旗杆所在直线的 方向向量和护旗战士所在直线的方向向量有什么关系？ 旗杆底部平台所在平面的法向量和地面所在平面的法向量有什么关系？ 目 录 CONTENTS 知识点一　直线与直线平行 知识点二　直线与平面平行 知识点三　平面与平面平行 提能点　平行关系中的探索性问题 小结与自测 课时作业 知识点一　直线与直线平行 目录 5 问题　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量有什么关系？ 提示：平行. 线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔ ⇔ ∃λ∈R，使得 ⁠. 提醒：利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. u1∥u2　 u1＝λu2　 数学·选择性必修第一册 目录 〔一题多解〕如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝ DB，DA＝ DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直， 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0， 0），A（1，0，0），P（0，0，1），N（0， ， ）， M（ ， ，0），所以 ＝（－1，0，1）， ＝（－ ，0， ）， 所以 ＝ ，又M∉AP，故MN∥AP. 法二　由题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ × （ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ ，又 M∉AP，所以MN∥AP. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 证明两直线平行的两种思路 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，探求直线BD1 与直线CE是否平行. 解：不平行，理由如下： 以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系. 数学·选择性必修第一册 目录 设正方体的棱长为1， 则B（1，1，0），D1（0，0，1），C（0，1，0），E（0， ，1）， 所以 ＝（－1，－1，1）， ＝（0，－ ，1）. 又因为 ≠ ，所以 与 不平行. 因为 为直线BD1的一个方向向量， 为直线CE的一个方向向量，因 此直线BD1与直线CE不平行. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　直线与平面平行 目录 12 问题　如图，直线l与平面α平行，u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法 向量，u与n有什么关系？ 提示：垂直. 数学·选择性必修第一册 目录 线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l∥α⇔ u n⇔ u·n＝0. 提醒：特别要强调直线在平面外. ⊥　 数学·选择性必修第一册 目录 〔一题多解〕在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱 PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点. 证明：PA∥平面EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点， 设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0， a），E（0， ， ），B（a，a，0）. 数学·选择性必修第一册 目录 法一　设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z）， 又 ＝（0， ， ）， ＝（a， ，－ ）， 则有 即即 令z＝1，则 所以n＝（1，－1，1）， 又 ＝（a，0，－a），所以n· ＝（1，－1，1）·（a，0，－ a）＝a－a＝0.所以n⊥ . 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 数学·选择性必修第一册 目录 法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为（ ， ，0）， 所以 ＝（ ，0，－ ）. 又 ＝（a，0，－a）， 所以 ＝2 ，这表明PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 利用空间向量证明线面平行的三种方法 （1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； （2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线； （3）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD， AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝ ，且点M和N分别为 B1C和D1D的中点.求证：MN∥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：如图，以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），C（2，0， 0），D（1，－2，0），B1（0，1，2），D1（1，－2，2）. 因为M，N分别为B1C，D1D的中点， 所以M（1， ，1），N（1，－2，1）. 依题意，可得n＝（0，0，1）为平面ABCD的一 个法向量，又 ＝（0，－ ，0），则 ·n＝ 0，又直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　平面与平面平行 目录 21 问题　如图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具 有什么关系？ 提示：平行. 数学·选择性必修第一册 目录 面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔ ⇔ ∃λ∈R，使得 ⁠. 提醒：证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. n1∥n2　 n1＝λn2　 数学·选择性必修第一册 目录 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD， B1C的中点.证明：平面MNP∥平面CC1D1D. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：以D为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A（2，0，0）， M（1，0，1），N（1，1，0），P（1，2，1）. 易知 ＝（2，0，0）为平面CC1D1D的一个法向量， 由于 ＝（0，2，0）， ＝（0，1，－1）， 且 即 ＝（2，0，0）也是平面MNP的一个法向量，所 以平面MNP∥平面CC1D1D. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 证明面面平行的方法 （1）转化为相应的线线平行或线面平行； （2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形， AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量的 方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝ CF，所以△BCF为正三角形. 因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝ 60°， 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为 z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），D1（0， 0，2），A（ ，－1，0），F（ ，1，0），C（0，2，0），C1 （0，2，2）， 数学·选择性必修第一册 目录 所以 ＝（0，0，2）， ＝（ ，－1，0）， ＝（ ，－1， 0）， ＝（0，0，2），所以 ∥ ， ∥ ， 所以DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1， CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　平行关系中的探索性问题 目录 30 （链接教材P30例3）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面 ABCD. 四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC， ∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝3.问：在线段BD上是否存在点M， 使得直线CE∥平面AFM？ 数学·选择性必修第一册 目录 【破题思维】 题目信息 信息转化 平面ADEF⊥平面ABCD，四边 形ADEF为正方形，四边形 ABCD为梯形且AD∥BC， ∠BAD＝90° 联想到以A为坐标原点，AB，AD， AF所在直线分别为x，y，z轴，可建 立空间直角坐标系 在线段BD上是否存在点M，使 得直线CE∥平面AFM 假设在线段BD上存在点M，利用直线 CE的方向向量和平面AFM的法向量的 关系求解 数学·选择性必修第一册 目录 解：因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD，因为 平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝ AD，AF⊂平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD，又 AB⊂平面ABCD， 所以AF⊥AB，又∠BAD＝90°，故AB，AF，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝3， 所以A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，0，1），C（1，3，0），D（0，1，0），E（0，1，1）， 假设在线段BD上存在点M，使得直线CE∥平面AFM， 数学·选择性必修第一册 目录 不妨设 ＝λ，λ∈[0，1]，即 ＝λ ，当λ＝0时， M与B重合，此时CE与平面AFM不平行， 当λ≠0时，设M（s，t，0），则（s－1，t，0）＝λ（－1，1，0）， 解得s＝1－λ，t＝λ，故M（1－λ，λ，0）. 设平面AFM的法向量为n＝（a，b，c）， 则 数学·选择性必修第一册 目录 令a＝1，则b＝ ，故n＝（1， ，0）， 则 ·n＝（－1，－2，1）·（1， ，0）＝－1－2· ＝0， 解得λ＝ ∈[0，1]， 故在线段BD上存在点M，使得直线CE∥平面AFM，此时 ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 　　有关是否存在一点，使得直线、平面满足平行关系的探索性问题，解 答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐 标，将直线、平面的平行关系转化为直线的方向向量、平面的法向量的关 系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程（组） 有解，则点存在；否则，点不存在. 数学·选择性必修第一册 目录 训练4　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD， CD1上的点，且 ＝ ＝ .若R是AB上的点， 的值为多少时，能使 平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明. 数学·选择性必修第一册 目录 解：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， ＝λ，则 ＝λ （0≤λ≤1）， 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0， 1，0），D1（0，0，1），R（1，λ，0）， ＝（0，－1，1）， ＝（－1，－1，0）， ＝（0，1，0）， 由 ＝ ＝ ，得 ＝ ， ＝ ，得Q（0， ， ），P（ ， ，0）， 则 ＝（－1， －λ， ）， ＝（－ ， －λ，0）， 数学·选择性必修第一册 目录 设平面PQR的法向量为n＝（x，y，z）， 则 令y＝ ，则n＝（ －λ， ， － λ），易知平面A1D1DA的一个法向量为 ＝（0，1，0）， 若平面PQR∥平面A1D1DA，则n＝k ， 即 解得λ＝ ，故 ＝ 时，平面PQR∥平面A1D1DA. 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 40 数学·选择性必修第一册 目录 1. 若直线l1和l2的方向向量分别是a＝（1，－1，2），b＝（－2，2，－ 4），则（　　） A. l1∥l2 B. l1与l2相交 C. l1与l2重合 D. l1∥l2或l1与l2重合 解析：　因为b＝－2a，所以l1与l2平行或重合.故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝（1，2，－1），v＝（－ 3，－6，3），则（　　） A. α∥β B. α⊥β C. α，β相交但不垂直 D. 以上均不正确 解析：　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 〔多选〕若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 （　　） A. a＝（1，0，0），n＝（0，－2，0） B. a＝（1，3，5），n＝（1，0，1） C. a＝（0，2，1），n＝（－1，0，－1） D. a＝（1，－1，3），n＝（0，3，1） 解析：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0.故选A、D. √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝3，点S， P在棱CC1，AA1上，且CS＝ SC1，AP＝2PA1，点R，Q分别为AB， D1C1的中点.求证：PQ∥RS. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：以D为原点， ， 与 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方 向，建立空间直角坐标系.则D（0，0，0），A（3，0，0），C（0，4， 0），B（3，4，0），D1（0，0，3），A1（3，0，3），C1（0，4， 3），由题意知P（3，0，2），Q（0，2，3），S（0，4，1），R（3， 2，0）， 因为 ＝（－3，2，1）， ＝（－3，2，1）， 所以 ＝ ，又PQ，RS不共线， 所以PQ∥RS. 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：103分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 47 1. 在空间直角坐标系中，已知A（1，2，3），B（－2，－1，6），C （3，2，1），D（4，3，0），则直线AB与CD的位置关系是（　　） A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交但不垂直 解析：　由题意得， ＝（－3，－3，3）， ＝（1，1，－1）， ∴ ＝－3 ，∴ 与 共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知平面α的一个法向量为（1，2，－2），平面β的一个法向量为（－ 2，－4，k），若α∥β，则k＝（　　） A. 2 B. －4 C. 4 D. －2 解析：　因为α∥β，所以 ＝ ＝ ，所以k＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. （2026·驻马店月考）已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为 n，则“m·n＝0”是“l∥α”的（　　） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 解析：　若m·n＝0，则l∥α或l⊂α；另一方面，若l∥α，则m·n＝0. 因此，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点， 则MN与平面BB1C1C的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定 解析：根据题意建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的 棱长为2，则A（2，2，2），A1（2，2，0），C（0，0， 2），B（2，0，2），∴M（2，1，1），N（1，1，2）， ∴ ＝（－1，0，1）.又平面BB1C1C的一个法向量为n ＝（0，1，0），∴ ·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴ ⊥n，又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 〔多选〕已知a＝（λ＋1，0，2），b＝（6，2μ－1，2λ），若a∥b， 则λ与μ的值可以是（　　） A. 2， B. － ， C. －3， D. －3，2 解析：由a∥b，可设b＝ka，即（6，2μ－1，2λ）＝k（λ＋1，0，2），得 解得μ＝ ，λ＝－3或2，故A、C都符合选项.故选A、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知空间中两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则 下列说法中正确的是（　　） A. 若直线l的一个方向向量为a＝（1，－1，2），直线m的一个方向向量 为b＝（2，－2，4），则l∥m B. 若直线l的方向向量为a＝（0，1，－1），平面α的法向量为n＝（1， －1，－1），则l∥α C. 若平面α，β的法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0，2），则 α∥β D. 若平面α经过三个点A（1，0，－1），B（0，－1，0），C（－1， 2，0），向量n＝（1，u，t）是平面α的一个法向量，则u＋t＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　对于A，b＝2a，则a∥b，∴l∥m，故A中说法正确；对于 B，a·n＝0×1＋1×（－1）＋（－1）×（－1）＝0，则a⊥n，∴l∥α 或l⊂α，故B中说法错误；对于C，若n1＝λn2（λ≠0），则（0，1，3）＝ λ（1，0，2），得 此方程组无解，∴α∥β不成立，故C中说法错 误；对于D， ＝（－1，－1，1）， ＝（－1，3，0），∵n＝（1， u，t）是平面α的法向量， ∴ 解得 ∴u＋t＝ ，故D中说法正确. 故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝（2，m，1），A （0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），则实数m＝ ⁠. 解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x ＋y ， ＝ （1，0，－1）， ＝（0，1，－1），∴（2，m，1）＝x（1，0， －1）＋y（0，1，－1）＝（x，y，－x－y），∴ ∴m ＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝（2，2，4），若a＝ （1，1，2），则直线l与平面α的位置关系为 ；若a＝（－1，－ 1，1），则直线l与平面α的位置关系为 ⁠. 解析：当a＝（1，1，2）时，a＝ n，则l⊥α；当a＝（－1，－1，1） 时，a·n＝（－1，－1，1）·（2，2，4）＝0，则l∥α或l⊂α. l⊥α l∥α或l⊂α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，以OA，OB， OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，OA＝OB＝1， OC＝2，若存在一点D，使BD∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为 ⁠ ⁠. （－ 1，1，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：由题意得，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），设所 求点D的坐标为（x，y，z），则 ＝（x，y－1，z）， ＝（－1， 0，2）， ＝（－x，－y，2－z）， ＝（－1，1，0）.由 BD∥AC，DC∥AB⇒ ∥ ， ∥ ，因此 （k1，k2∈R），解得 即点D的坐标为（－1，1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （10分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别 为A1B，AC的中点.求证：MN∥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 证明：如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系.则A（2，0，0），C（0，2，0），A1 （2，0，2），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），所以 ＝（－1，0，－1）， ＝（－2，0，－2）. 所以 ＝2 .所以 ∥ ，所以MN∥B1C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB， CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，若AB＝ ， AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的 坐标为（　　） A. （1，1，1） B. （ ， ，1） C. （ ， ，1） D. （ ， ，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　由已知得A（ ， ，0），B（0， ，0），D（ ，0， 0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则 ＝（x－ ，x－ ， 1）， ＝（ ，－ ，0）， ＝（0，－ ，1）.设平面BDE的法 向量为n＝（a，b，c），则 即 所以 取b＝1，则n＝（1，1， ）.又AM∥平面BDE，所以 n· ＝0，即2（x－ ）＋ ＝0，得x＝ ，所以M（ ， ， 1）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 〔多选〕已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD⊥ 平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中点，F是PC的中点，建立如图所 示的空间直角坐标系，则下列说法中正确的是（　　） A. 平面ADE的一个法向量是（0，－1，1） B. 直线AE∥平面PCD C. 直线EF∥平面PAD D. 直线DF∥平面PAB √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：由题图得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（ ， ， ），F（0， ， ），所以 ＝（1，0，0）， ＝（ ， ， ），设平面ADE的法向量为n＝（x，y，z），则 令z＝1，得y＝－1，x＝0，所以n＝（0，－1，1），故A正确；易知平面PCD的一个法向量为 ＝（1，0，0）.又因为 ＝（－ ， ， ）， · ＝－ ≠0，所以 与 不垂直，即AE与平面PCD不平行，故B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 易知平面PAD的一个法向量为 ＝（0，1，0），又 ＝（－ ，0，0）， · ＝0，所以EF⊥DC，又EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD，故C正确；设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），又 ＝（0，1，0）， ＝（1，0，－1），则 令x1＝1，得m＝（1，0，1），又 ＝（0， ， ），所以 ·m＝ ≠0，所以直线DF与平面PAB不平行，故D不正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，E， M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点.若点P是平面AA1D1D内的动点， 且满足PE∥平面B1MN，则线段PE长度的最小值为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD＝ AA1＝2，AB＝4，E，M，N分别是棱C1D1，AB， BC的中点，所以B1（2，4，2），M（2，2，0）， N（1，4，0），E（0，2，2），因为点P是平面 AA1D1D内的动点，所以设P（x，0，z），设平面 B1MN的法向量为m＝（a，b，c）， ＝（0，－2，－2）， ＝（－1，0，－2）， ＝（x，－2，z－2），所以有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 ⇒ ⇒m＝（－2，－1，1），因为PE∥平面B1MN，所以 ·m＝－2x＋2＋z－2 ＝0⇒z＝2x，即 ＝（x，－2，2x－2），｜ ｜＝ ＝ ＝ ，所 以当x＝ ，z＝ 时，线段PE长度有最小值 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）〔一题多解〕如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为 正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段 PA，PD，CD的中点.求证： （1）PB∥平面EFG； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三 角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0， 0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）， E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 法一　 ＝（0，1，0）， ＝（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令z＝1，则n＝（1，0，1）为平面 EFG的一个法向量， ∵ ＝（2，0，－2）， ·n＝0，∴n⊥ ， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 法二　 ＝（2，0，－2）， ＝（0，－1，0）， ＝（1，1，－ 1）. 设 ＝s ＋t ， 即（2，0，－2）＝s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴ 解得s＝t＝2. ∴ ＝2 ＋2 ，又 与 不共线，∴ ， 与 共面. ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）平面EFG∥平面PBC. 证明：由（1）知 ＝（0，1，0）， ＝（0，2，0）， ∴ ＝2 ，∴BC∥EF. 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC. 又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面 ABCD为梯形.AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2， ∠PDC＝120°.若M是棱PA的中点，则棱BC上是否存在点F，使得 MF∥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于点H， 因为平面ABCD⊥平面PCD，且平面ABCD∩平面PCD ＝CD，DH⊂平面PCD， 可得DH⊥平面ABCD，又AD⊥DC，所以AD，DC， DH两两垂直， 以D为原点，DA，DC，DH所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°，可得D（0，0，0），P（0，－1， ），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC， 设 ＝λ ，其中λ∈[0，1]，因为M是棱PA的中点，可得M（1，－ ， ），又由 ＝（－2，1，0），得 ＝（－2λ，λ，0）， 所以F（2－2λ，1＋λ，0），所以 ＝（1－2λ， ＋λ，－ ）， 又 ＝（0，3，－ ），设 ＝μ ， 可得 此方程组无解，所以假设不成立，所以棱BC上不存在点F，使得MF∥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $