1.4.1空间中直线、平面的平行 第2课时 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中直线、平面的平行关系，核心内容为用向量语言表述并证明线线、线面、面面平行，通过回顾方向向量、法向量概念搭建学习支架，衔接平面向量到空间向量的知识脉络。 其亮点在于采用一题多解（如线面平行证明的法向量法、共面向量法）和探究性变式训练，培养学生数学思维与空间观念，借助坐标法规范向量运算表达。学生能深化平行关系本质理解，教师可通过结构化例题与检测题提升教学效率。

1.4.1　第2课时　空间中直线、平面的平行 第一章　空间向量与立体几何 学 习 目 标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点　用空间向量描述空间线面的平行关系 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 u1∥u2 λu2 u⊥n 0 n1∥n2 λn2 AI·思考辨析 如果直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,此时是否能得到l∥α? 提示 不能得到,直线l的方向向量与平面α的法向量垂直时,l∥α或l⊂α.若要证明l∥α,需说明直线l上有一点不在平面α内. 体验新知 1.已知直线l1的一个方向向量是v1=(3,-2,-1),直线l2的一个方向向量是v2= (-9,6,3),且两条直线不重合,则直线l1与l2的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 B 解析 由题可得v2=-3v1,∴v1∥v2. 又直线l1与l2不重合,∴l1∥l2.故选B. 2.(2026安徽高二期末)已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),若直线l∥平面α,则直线l的一个方向向量u可以是(　　) A.(-2,4,-6) B.(0,0,1) C.(0,3,2) D.(1,1,1) C 解析 因为已知平面α的一个法向量为n=(1,-2,3),且直线l∥平面α,则满足u·n=0. 对于A,若u=(-2,4,-6),则u·n=-2×1+4×(-2)+(-6)×3=-28≠0,故A不符合题意; 对于B,若u=(0,0,1),则u·n=0×1+0×(-2)+1×3=3≠0,故B不符合题意; 对于C,若u=(0,3,2),则u·n=-6+6=0,故C符合题意; 对于D,若u=(1,1,1),则u·n=1×1+1×(-2)+1×3=2≠0,故D不符合题意. 故选C. 3.(人教B版教材习题)设n1,n2分别是空间中两个不重合的平面α,β的法向量,分别根据下列条件判断平面α,β的位置关系. (1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6); (2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9). 解 (1)∵n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6)=-3(-2,1,2)=-3n1, ∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合). (2)∵n1=(1,2,3),n2=(3,6,9)=3(1,2,3)=3n1, ∴n1∥n2,∴α∥β(已知α,β不重合). 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　利用向量方法证明线线平行 【例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点, F为CC1的中点,M为CD的中点.证明: (1)BF∥D1E; (2)BE不与D1M平行. 证明 (1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(2,0,0),D1(0,2,2),E(0,0,1),F(2,2,1),M(1,2,0), 所以=(0,2,1),=(0,-2,-1),则=-. 又因为D1不在直线BF上, 所以BF∥D1E. (2)由(1)知,=(-2,0,1),=(1,0,-2), 显然向量不共线, 所以BE不与D1M平行. 变式训练1　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD, E为CP的中点,N为DE的中点,DM=DB,DA=DP=1,CD=2.求证:MN∥AP. 证明 (方法1)如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1),E(0,1,),N(0,),M(,0), 所以=(-1,0,1),=(-,0,),所以,故MN∥AP. (方法2)由题意可得 ) = )=, 所以MN∥AP. 能力提升点二 利用向量方法证明线面平行 【例2】 (人教B版教材例题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B与A1C1的中点,求证:MN∥平面ADD1A1. 证明 (方法1)以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1), (方法2)由方法1知,=(0,),设=x+y,即(0,)=(0,y,x), ∴x=y=, ∴. ∵M∉平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1. (方法3)易知. 又, ∴,且MN⊄平面ADD1A1, ∴MN∥平面ADD1A1. 变式训练2　(2026北京高二期中)如图,在直角梯形AA1B1B中,∠A1AB=90°, A1B1∥AB,AB=AA1=2A1B1=2.直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转到直角梯形AA1C1C的位置,且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,M为线段BC的中点,P为线段BB1上的动点.是否存在点P,使得直线A1C∥平面AMP?请说明理由. 解 存在.理由:由题可知,直线AC,AB,AA1两两垂直,以A为原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),M(1,1,0), =(0,-1,2),=(0,2,0),=(1,1,0), 假设在线段BB1上存在点P,使得直线A1C∥平面AMP, 设=t=(0,-t,2t),0≤t≤1, 则=(0,2-t,2t). 设平面AMP的法向量n=(x,y,z), 则 取y=-2t,则x=2t,z=2-t,得n=(2t,-2t,2-t). 又=(2,0,-2), 由直线A1C∥平面AMP,得⊥n, 则·n=4t-2(2-t)=0,解得t=, 所以在线段BB1上存在点P,使得直线A1C∥平面AMP,点P为线段BB1上靠近点B1的三等分点. 能力提升点三　利用向量方法证明面面平行 【例3】 (北师大版教材习题)如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F,G,H, M,N分别是该正方体六个面的中心,求证:平面EFG∥平面HMN. 变式训练3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.在棱CC1上是否存在一点Q,使得平面D1BQ∥平面PAO?若存在,指出点Q的位置;若不存在,请说明理由. 解 存在.当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下: 连接D1B,D1Q,BQ. 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.令正方体的棱长为2,设Q(0,2,c)(0≤c≤2), 设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),则 令x=1,则y=1,z=2,故平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2). 若平面D1BQ∥平面PAO,则n1为平面D1BQ的一个法向量, 故n1⊥,n1⊥. ∵=(-2,-2,2), ∴·n1=-2-2+4=0. ∵=(-2,0,c), ∴n1·=-2+2c=0,解得c=1. ∴当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量法判断线线平行; (2)向量法判断线面平行; (3)向量法判断面面平行. 2.方法归纳:待定系数法、坐标法、转化化归. 3.常见误区:(1)不能正确理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性;(2)通过向量和平面平行直接得到线面平行,忽略直线不在平面内的条件. 学以致用·随堂检测促达标 1.(多选题)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是 (　　) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 1 2 3 4 AD 解析 若l∥α,则a·n=0.而A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3 +3=0. 1 2 3 4 2.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　) A.x=6,y=15 B.x=3,y=15 C.x=,y= D.x=6,y= D 解析 由题意可知a∥b,显然x≠0,y≠0,所以,解得x=6,y=.故选D. 3.若平面α∥β,则下面可能是这两个平面的法向量的是(　　) A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 1 2 3 4 D 解析 因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D选项符合. 1 2 3 4 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 1 2 3 4 证明 (1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1). 设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量, 则 令z1=2,则y1=-1,x1=0,所以n1=(0,-1,2). 因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE. 1 2 3 4 (2)由(1)知,=(2,0,0). 设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量. 则 令z2=2,得y2=-1,x2=0,所以n2=(0,-1,2). 因为n1=n2,即n1∥n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 本 课 结 束 平行关系 对应线面 图形 满足条件 线线平行 l1与l2 l1∥l2⇔　  ⇔∃λ∈R,使得u1=      线面平行 l1与α(l1⊄α) l1∥α⇔　  ⇔u·n=   面面平行 α与β α∥β⇔ 　  ⇔∃λ∈R,使得n1=     又因为M是A1B的中点, 所以M的坐标为=,即M. 类似地,可得N.因此=. 又因为AB⊥平面ADD1A1,所以是平面ADD1A1的一个法向量, 而且=(1,0,0),因此=0×1+×0+×0=0,即, 由图可知MN不在平面ADD1A1内,因此MN∥平面ADD1A1. 证明 以点D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略). 设正方体的棱长为a, 则点E,F,G,M,N, H. 则=,=. 所以.所以FG∥平面HMN. 又=,=, 所以. 所以GE∥平面HMN. 又FG∩GE=G,所以平面EFG∥平面HMN. 则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),=(1,-1,0), =(-1,-1,1),=(-2,-2,2). $