1.3 空间向量及其运算的坐标表示(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量及其运算的坐标表示，涵盖空间直角坐标系建立、向量坐标运算、平行垂直条件及夹角距离计算，通过飞机航线情境导入，从平面坐标系自然过渡到空间坐标系，搭建学习支架。 其亮点在于结合正四棱锥、正方体等实例，培养直观想象与数学运算，小结系统梳理公式，教材挖掘推广n维向量发展创新意识。助力学生构建空间观念，教师可高效开展逻辑推理与应用教学。

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置（数学抽象、直观想象）. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象、数学运算）. 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度.只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 目 录 CONTENTS 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 知识点四　空间夹角、距离的计算 小结与自测 教材挖掘　向量概念的推广 课时作业 知识点一　空间直角坐标系及点的坐标 目录 5 问题　在平面中，我们可选定一点O和一个单位正交基底{i，j}来建立平 面直角坐标系，类似地，你认为应如何建立空间直角坐标系？ 提示：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直 角坐标系. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 空间直角坐标系及相关概念 （1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j， k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位 长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们 就建立了一个 ⁠； （2）相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 ⁠ 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， ⁠平 面， 平面，它们把空间分成八个部分. x轴、y轴、z轴　 空间直角坐标系Oxyz　 O　 每两 条坐标轴　 Oxy　 Oyz　 Ozx　 数学·选择性必修第一册 目录 2. 右手直角坐标系 如图，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指 指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系 为右手直角坐标系. x轴　 y轴　 z轴　 数学·选择性必修第一册 目录 3. 空间点的坐标 在单位正交基底{i，j，k}下， ＝xi＋yj＋zk，其对应的有序实数 组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A （x，y，z），其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， z叫做点A的 坐标. （x，y，z）　 x　 y　 竖　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 （x，0，0） （0，y，0） （0，0，z） 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 （x，y，0） （0，y，z） （x，0，z） 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P18例1（1））已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧 棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标. 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 所以底面正方形的对角线长为4 ，正四棱锥的高为2 . 所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2 ，0，0），B （0，2 ，0），C（－2 ，0，0），D（0，－2 ， 0），P（0，0，2 ）. 角度1　点的坐标表示 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求空间一点P的坐标的两种方法 （1）利用点在坐标轴上的投影求解； （2）利用单位正交基底表示向量 ， 的坐标就是点P的坐标. 数学·选择性必修第一册 目录 角度2　求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； 解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量 变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）. （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； 解：由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的 分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）. 数学·选择性必修第一册 目录 （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. 解：设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6， y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12， 所以P3的坐标为（6，－3，－12）. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 　　 空间点的对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握 对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相 反”这个结论. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　（1）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1， 点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点 P3的坐标为 ⁠； 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3， 1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关 于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. （2，－3，1） 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面 ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N 在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. ①以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，求图中各点的坐标； ②以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 数学·选择性必修第一册 目录 解：①在正方形ABCD中，AB＝6， ∴AC＝BD＝6 ，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3 . ∴各点坐标分别为A（3 ，0，0），B（0，3 ，0），C（－3 ， 0，0），D（0，－3 ，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1 （3 ，0，4），B1（0，3 ，4），C1（－3 ，0，4），D1（0，－ 3 ，4），M（0，3 ，2），N（－3 ，0，3）. ②同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0， 0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0， 4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 目录 19 问题　（1）在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个 向量 ，借助几何直观如何确定它们的坐标（x，y，z）？ 提示：如图，过点A分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平 面，依次交x轴，y轴，z轴于点B，C，D. 可以证明 在x轴，y轴，z轴上的投影向量分别为 ， ， ，且 ＝ ＋ ＋ .设点B，C，D在x 轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，那么点A （向量 ）的坐标为（x，y，z）. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）类比平面向量运算的坐标表示，若空间向量a＝（a1，a2，a3），b ＝（b1，b2，b3），能得出a＋b，a－b，λa（λ∈R），a·b的坐标表 示吗？ 提示：若空间向量a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a＋b＝ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3），a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3），λa ＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R），a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 ＝a.由空间向量基本定 理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数 组 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记 作a＝ ⁠. （x，y，z）　 （x，y，z）　 数学·选择性必修第一册 目录 2. 空间向量运算的坐标表示 （1）设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝ ⁠ 减法 a－b＝ ⁠ 数乘 λa＝ （λ∈R） 数量积 a·b＝ ⁠ （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 （a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 （λa1，λa2，λa3）　 a1b1＋a2b2＋a3b3　 数学·选择性必修第一册 目录 （2）设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 ＝ ⁠ .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 坐标 起点坐标. （x2－x1，y2－ y1，z2－z1）　 减去　 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P18例1）在△ABC中，A（2，－5，3）， ＝（4，1， 2）， ＝（3，－2，5）. （1）求顶点B，C的坐标； 解：设B（x，y，z），C（x1，y1，z1）， 所以 ＝（x－2，y＋5，z－3）， ＝（x1－x，y1－y，z1－z）， 因为 ＝（4，1，2）， 数学·选择性必修第一册 目录 所以 解得 所以点B的坐标为（6，－4，5）. 因为 ＝（3，－2，5）， 所以 解得 所以点C的坐标为（9，－6，10）. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求 · ； 解：因为 ＝（－7，1，－7）. 所以 · ＝－21－2－35＝－58. 数学·选择性必修第一册 目录 （3）若点P在AC上，且 ＝ ，求点P的坐标. 解：设P（x2，y2，z2），则 ＝（x2－2，y2＋5，z2－3）， ＝（9－x2，－6－y2，10－z2）， 于是有（x2－2，y2＋5，z2－3）＝ （9－x2，－6－y2，10－z2）， 所以 解得 故点P的坐标为（ ，－ ， ）. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 空间向量坐标运算的规律 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确 定（终点坐标减去起点坐标）； （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式 计算； （3）由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程 （组），求出其坐标. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　（1）（2026·江门高二调研）若a＝（－1，2，－1），b＝ （1，3，－2），则（a＋b）·（a－b）＝（　　） A. －8 B. －10 C. 8 D. 10 解析：由题知a＋b＝（－1＋1，2＋3，－1－2）＝（0，5，－3），a－b＝（－1－1，2－3，－1＋2）＝（－2，－1，1），则（a＋b）·（a－b）＝0×（－2）＋5×（－1）＋（－3）×1＝0－5－3＝－8.故选A. √ 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面.M，N分别是AB，PC的 中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求出向量 ， ， 的坐标. 数学·选择性必修第一册 目录 解：因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD， AB⊥AD，以{ ， ， }为单位正交基底，建立空 间直角坐标系如图所示. 所以 ＝ ＝0i＋1j＋0k＝（0，1，0）， ＝－ ＝－i＋0j＋0k＝（－1，0，0）， ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ （ ＋ ）＝－ ＋ ＋ （ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＝0i＋ j＋ k＝（0， ， ）. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　空间向量平行、垂直的坐标表示 目录 33 问题　类比平面向量平行和垂直的坐标表示，设空间向量a＝（a1，a2， a3），b＝（b1，b2，b3），a，b均为非零向量，你能得出a∥b及a⊥b 的坐标表示吗？ 提示：a∥b⇒（a1，a2，a3）＝λ（b1，b2，b3）（λ∈R）⇒a1＝λb1，a2 ＝λb2，a3＝λb3；a⊥b⇒a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有： （1）平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔ ， ⁠ ， （λ∈R）； （2）垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔ ⁠ ⁠. a1＝λb1　 a2＝ λb2　 a3＝λb3　 a1b1＋a2b2＋ a3b3＝0　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），a∥b，则一定有 ＝ ＝ 成立吗？ 提示：不一定，当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a∥b⇔ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P20例2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F， G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； 证明：如图，以A为坐标原点，以{ ， ， }为正 交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A （0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0， 1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1， 1）.由中点坐标公式，得E（1，1， ），F（1， ，0），G（ ，1，0），H（ ， ，1）. 数学·选择性必修第一册 目录 （1） ＝（1，0，1）， ＝（ ，0， ）， ＝（－ ，－ ， ）. 因为 ＝2 ， · ＝1×（－ ）＋1× ＝0， 所以 ∥ ， ⊥ ，即AB1∥GE，AB1⊥EH. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）A1G⊥平面EFD. 证明： ＝（ ，1，－1）， ＝（1，－ ，0）， ＝（1，0， ）. 因为 · ＝ － ＋0＝0， · ＝ ＋0－ ＝0， 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE. 因为DF∩DE＝D，DF，DE⊂平面EFD，所以A1G⊥平面EFD. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 向量平行、垂直的应用 （1）已知向量平行、垂直，可构造方程（组）求参数； （2）利用向量法证明空间线面的平行、垂直关系 ①证明平行的关键是构造向量之间的线性关系； ②证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理，将垂直问题 转化为线线垂直，然后利用向量的数量积为零证明. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b 与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A. 1 B. C. D. 解析：　ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2），（ka＋ b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝ . √ 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE. 证明：如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为（ ， ，0），（0，0，1）. 数学·选择性必修第一册 目录 ∴ ＝（－ ，－ ，1）. 又点A，M的坐标分别是（ ， ，0），（ ， ，1）， ∴ ＝（－ ，－ ，1）. ∴ ＝ .又NE与AM不共线， ∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点四　空间夹角、距离的计算 目录 44 问题　类比平面两点间的距离公式，你能利用空间向量运算的坐标表示推 导出空间两点的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1（x1，y1，z1），P2（x2， y2，z2）是空间中任意两点， ＝ － ＝（x2－x1，y2－y1，z2－ z1）， 于是｜ ｜＝ ＝ ， 数学·选择性必修第一册 目录 所以P1P2＝｜ ｜＝ ， 因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB＝｜ ｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 1. 若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）， cos ＜a，b＞＝ ＝ ⁠. 　 数学·选择性必修第一册 目录 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1P2＝｜ ｜ ＝ ⁠. 提醒：（1）空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所 成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜；（2）求空间中线段的长度 即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算 公式. 　 2. 空间两点间的距离公式 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂 直，CA＝CB＝1，∠BCA＝ ，AA'＝2，点N是A'A的中点. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）求｜ ｜； 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）. 则 ＝（1，－1，1）， ｜ ｜＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求 cos ＜ ， ＞的值. 解：由题意，得B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B' （0，1，2）. 因为 ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2）， 所以｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ ， · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题. 数学·选择性必修第一册 目录 训练4　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的 角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝ 1，AD＝2. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）求BP的长； 解：如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）. 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2 . ∴P（0，0，2 ）. ∴BP＝ ＝4 . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解：由（1）得， ＝（2，0，－2 ）， ＝（－2，－3，0）， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 56 数学·选择性必修第一册 目录 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　） A. 向量 的坐标与点B的坐标相同 B. 向量 的坐标与点A的坐标相同 C. 向量 与向量 的坐标相同 D. 向量 与向量 － 的坐标相同 解析：　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不 正确；因为 ＝ － ，所以D正确，故选D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 〔多选〕（2026·山东潍坊高二期末）已知向量a＝（1，－2，－ 2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　） A. a＋b＝（7，－5，0） B. a－b＝（5，－1，4） C. a·b＝8 D. ｜a｜＝ 解析：因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝ ＝3，故D不正确.故选A、C. √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. （2026·湖南怀化高二质检）已知A（2，－5，1），B（2，－2， 4），C（1，－4，1），则向量 与 的夹角为 ⁠. 解析：∵ ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），∴｜ ｜＝ 3 ，｜ ｜＝ ， · ＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，又∵＜ ， ＞∈[0，π]，∴＜ ， ＞＝ . ​ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB， BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角 坐标系Oxyz. （1）写出点E，F的坐标； 解：E（a，x，0），F（a－x，a，0）. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求证：A1F⊥C1E. 解：证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a）， ∴ ＝（－x，a，－a）， ＝（a，x－a，－a）， ∴ · ＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0， ∴ ⊥ ，∴A1F⊥C1E. 数学·选择性必修第一册 目录 教材挖掘　向量概念的推广 目录 63 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际 问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以 再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维 向量空间，a＝（a1，a2，…，an）. 对于n维向量空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn），则 a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）； λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R； 数学·选择性必修第一册 目录 a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋ anbn； ｜a｜＝ . n维向量空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的 “距离”｜AB｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 【迁移应用】 某班共有30位同学，则该班期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量 表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表 示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了 的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩. 数学·选择性必修第一册 目录 解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别 加起来，然后再乘以 ，即 ai＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5）， 其中 aij为第j门课程的平均成绩. 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 68 1. （2026·南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4i－8j＋3k，b＝－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（　　） A. （2，－11，10） B. （－2，11，－10） C. （－2，11，10） D. （2，11，－10） 解析：　a＋b＝2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位 正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. （2026·孝感高二期中）已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若 ＝ （O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 解析：　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）＝ . ∴点C的坐标为 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 设点B是A（2，3，5）关于坐标平面Oxy的对称点，则｜ ｜＝ （　　） A. 10 B. C. 38 D. 解析：因为点B是A（2，3，5）关于坐标平面Oxy的对称点，所以B（2，3，－5），所以｜ ｜＝ ＝10. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知 ＝（1，5，－2）， ＝（3，1，z），若 ⊥ ， ＝ （x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝（　　） A. B. C. 1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　由BP⊥平面ABC，可得BP⊥AB，BP⊥BC，又 ⊥ ， ∴ 即 解得x＝ ，y＝－ ，z＝4，∴x＋y＝ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 在空间直角坐标系中，已知三点O（0，0，0），A（1，2，1），B （1，－1，0），若点C在平面OAB内，则点C的坐标可能是（　　） A. （－1，－1，3） B. （3，0，1） C. （1，1，2） D. （1，－1，2） 解析： 　由 ＝（1，2，1）， ＝（1，－1，0），显然 ， 不 共线，根据平面向量基本定理可得 ＝λ ＋μ ＝（λ＋μ，2λ－μ， λ），故C点坐标为（λ＋μ，2λ－μ，λ），经验算只有B选项符合条件，此 时λ＝1，μ＝2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC的边长为2，三棱柱 的高为1，BC，B1C1的中点分别为D，D1，以D为原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则（　　） A. A1（0， ，1） B. C1（1，0，1） C. ＝（0，－ ，1） D. ＝（ ， ，－1） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：在等边三角形ABC中，AB＝2，BD＝1，所以AD＝ ，则A（0， ，0），A1（0， ，1），C1（1，0，1），D1（0，0，1），B1（－1，0，1），则 ＝（0，－ ，1）， ＝（1， ，－1）.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕（2026·湖北部分名校联考）在空间直角坐标系Oxyz中，已 知A（1，3，－5），B（－2，1，1），则下列结论正确的有（　　） A. ｜ ｜＝7 B. · ＝4 C. 若n＝（4，2，t）且n⊥ ，则t＝ D. 若m＝（1，1，k）且m∥ ，则k＝－3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析： 　由A（1，3，－5），B（－2，1，1），得 ＝（－3，－ 2，6），对于A，｜ ｜＝ ＝7，A正确；对于 B， · ＝1×（－2）＋3×1＋（－5）×1＝－4，B错误；对于C， 由n＝（4，2，t），n⊥ ，得n· ＝－12－4＋6t＝0，解得t＝ ，C正确；对于D，由m＝（1，1，k）且m∥ ，得 ＝ ＝ ，无 解，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ， 若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为 ⁠. 解析：a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝ 7，得a·c＝－7，而｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜a，c＞ ＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°. 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 在空间直角坐标系中，已知A（1，－2，－3），B（2，－1，－1）， 则直线AB与坐标平面Oxz的交点坐标为 ⁠. 解析：设直线AB与平面Oxz的交点为P（a，0，b），因为A，B，P三 点共线，则 ∥ ，因为A（1，－2，－3），B（2，－1，－1），所 以 ＝（a－1，2，b＋3）， ＝（1，1，2），则 ＝ ＝ ，解 得 则P（3，0，1）. （3，0，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）（2026·阳泉检测）已知四边形ABCD是平行四边形，且A （1，－ ，3），B（0， ，5），C（1， ，4）. （1）若m∥ ，且｜m｜＝ ，求m的坐标； 解：因为A（1，－ ，3），B（0， ，5），所以 ＝（－1， 2 ，2）， 由m∥ ，可设m＝λ ，λ∈R，所以m＝（－λ，2 λ，2λ）， 因为｜m｜＝ ，所以 ＝ ， 解得λ＝±1， 所以m的坐标为（－1，2 ，2）或（1，－2 ，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求点D的坐标. 解：设点D（x，y，z），则 ＝（1－x， －y，4－z）. 由（1）知 ＝（－1，2 ，2）， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ， 即 解得 即点D的坐标为（2，－ ，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 已知a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角 为钝角，则x的取值范围是（　　） A. （0，＋∞） B. （0，3） C. （3，＋∞） D. （0，3）∪（3，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　因为a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），且a与b 的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不反向共线，因为a·b＜0，则－ 1×1－2（x－1）－1×1＜0，解得x＞0，若a与b反向共线，设b＝ta（t ＜0），则 解得 综上可得x的取值范围是（0， 3）∪（3，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 〔一题多解〕（2026·顺义一中期中）在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是正方形ABCD的中心，则 · 的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　法一　以D为原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，则A（1，0，0），O（ ， ，0），设P（0， 1，z），则 ＝（－1，1，z）， ＝（－ ， ，0）， 所以 · ＝－1×（－ ）＋1× ＋z×0＝1. 法二　延长AO至点C，由题可知，AO＝ AC＝ ， 在 上的投影 向量为 ，所以 · ＝｜ ｜｜ ｜＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 已知空间三点A（0，1，2），B（－4，－1，8），C（2，－5， 6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为 ⁠. 解析：由已知得 ＝（2，－6，4）， ＝（－4，－2，6），所以｜ ｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝2 ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，又＜ ， ＞∈[0，π]，则 sin ＜ ， ＞＝ ＝ ，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积 为S＝ ×2 ×2 × ×2＝28 . 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是 DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：CF⊥平面DEF； 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0， 0，0），E（0，0， ），B（1，1，0），C（0，1， 0），F（ ， ，0），G（1，1， ）. 所以 ＝（1，1，0）， ＝（ ， ，－ ）， ＝ （ ，－ ，0）， ＝（1，0， ）， ＝（0，－1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （1）证明：因为 · ＝ ×1－ ×1＝0， · ＝ × － × ＝0， 所以 ⊥ ， ⊥ ，即CF⊥DB，CF⊥EF， 又DB，EF⊂平面DEF，DB∩EF＝F， 故CF⊥平面DEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求异面直线EF与CG所成角的余弦值. 解：因为 · ＝ ×1＋ ×0＋（－ ）× ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，M，N，E分别为棱AA1， BB1，CC1，B1C1的中点. （1）证明：DE∥平面AMN； 解：证明：取MN的中点为F，连接EF，AF，因 为D，E，F分别为AA1，B1C1，MN的中点，结合题意得AD∥EF，且AD＝EF，故四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥AF， 又DE⊄平面AMN，AF⊂平面AMN， 所以DE∥平面AMN. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）若AB＝AC，且 ＝λ，则当λ为何值时，有BN⊥AB1？ 解：因为AB＝AC，取BC的中点G，连接AG，则有AG⊥BC，连 接EG，由题意得EG⊥底面ABC， 如图，以G为原点，GC，GA，GE所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB＝AC＝1，BC＝2x（x＞0），AA1＝2λx， 则A（0， ，0）， B（－x，0，0），N（x，0，λx）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 B1（－x，0，2λx）， ＝（2x，0，λx）， ＝（－x，－ ，2λx）， 则 · ＝－2x2＋2λ2x2＝－2x2（1－λ2）＝0， 得λ2＝1，λ＝±1， 由题意得λ＝1， 即当λ＝1时有BN⊥AB1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $