6.1.3 全概率公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，以“抽签公平性”情境导入引发思考，通过条件概率、乘法公式自然过渡到核心公式，构建从基础到应用的知识支架，帮助学生理解公式推导逻辑与联系。 其亮点在于融合数学抽象与数学运算核心素养，典例研析分题型（两事件、多事件、综合应用）并总结通性通法，结合概率树图直观呈现，跟踪训练与课时作业分层设计。学生能提升逻辑推理与问题解决能力，教师可依托系统资源高效开展教学。

§1　随机事件的条件概率 1.3　全概率公式 第六章　概率 1 课标 要求 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率（数学运 算）. 2.了解贝叶斯公式并会运用（数学抽象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定 让参赛选手通过抽签决定出场顺序.不过，张明对抽签的公平性提出了质 疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不 到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样. 【问题】　张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率 与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P（Bi）＞0（i＝1， 2，…，n），则对任意一个事件A有P（A）＝ ⁠. 称上式为全概率公式. 提醒：全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B） ＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2） ＋…＋P（An）·P（B｜An）. P（Bi）P（A｜Bi） 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　贝叶斯公式* 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P（A）＞0，P（Bi）＞0 （i＝1，2，…，n），则P（Bi｜A）＝ .称上式为 贝叶斯公式. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 1. 怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？ 提示：如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公 式，如果所求概率为条件概率P（A｜B），而B由多个原因引起，此时应用 贝叶斯公式. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 提示：如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P（A｜B）表示原因A 在结果B中的比重. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若P（A）＞0，P（）＞0，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P （）P（B｜）. （　√　） （2）若A1，A2，A3互斥且P（A1）＞0，P（A2）＞0，P（A3）＞0，则P （B）＝P（Ai）P（B｜Ai）. （　×　） （3）全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω.（　×） √ × × （4）贝叶斯公式是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每 个原因的概率. （　√　） √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的 概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车 的概率为 ⁠. 解析：设B表示一辆汽车中途停车修理，A1表示该车是货车，A2表示该车 是客车，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有P（A1｜B）＝ ＝＝0.8. 0.8　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素，经分析师分析，最近利率 下调的概率为60%，利率不变的概率是40%.根据经验，在利率下调的情况 下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下价格上涨的概 率为40%.则该金融产品价格上涨的概率为 ⁠. 0.64　 解析：记事件A为“利率下调”，则事件为“利率不变”. 记事件B为“金融产品价格上涨”，根据题意有 P（A）＝0.6，P（）＝0.4，P（B｜A）＝0.8，P（B｜）＝0.4. 因为P（B）＝P（AB∪B）， 所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.6×0.8＋ 0.4×0.4＝0.64. 因此该金融产品价格上涨的概率为0.64. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，现从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为 ⁠. 解析：设A表示“从乙袋中取出的是白球”，Bi表示“从甲袋中取出的2球 恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P（A｜ B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝·＋·＋·＝. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 15 题型一　全概率公式的应用 角度1　两个事件的全概率问题 在数字通信中心，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干 扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收 为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.分别求接收的信号为0和1的概 率. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：设事件A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”，则为 “发送的信号为1”，为“接收到的信号为1”.由题意得 P（A）＝P（）＝0.5，P（B｜A）＝0.9，P（｜A）＝0.1，P（B｜ ）＝0.05，P（｜）＝0.95. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝0.5×0.9＋0.5×0.05 ＝0.475， P（）＝1－P（B）＝1－0.475＝0.525. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 角度2　多个事件的全概率问题 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的 人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3∶5∶2，现从这三个地区 中任意选取一个人，求这个人患流感的概率. 解：设此人来自A，B，C三个地区分别为事件A，B，C，事件D为这个 人患流感， 所以P（A）＝0.3，P（B）＝0.5，P（C）＝0.2， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05，P（D｜C）＝0.04， 因此P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P （D｜C） ＝0.3×0.06＋0.5×0.05＋0.2×0.04＝0.051. 故这个人患流感的概率为0.051. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 　（变设问）如果此人绝对不是来自地区C，求此人患流感的概率. 解：因为此人绝对不是来自地区C，所以此人来自地区A，B，所以P（A） ＝，P（B）＝， P（D｜A）＝0.06，P（D｜B）＝0.05， P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＝×0.06＋×0.05＝ . 故此人患流感的概率为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 1. 全概率公式的适用范围 所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有 所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 2. 运用全概率公式的一般步骤 （1）求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； （2）求P（Ai）（i＝1，2，…，n）； （3）求P（B｜Ai）（i＝1，2，…，n）； （4）求目标事件的概率P（　B　）. B 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶，且甲、乙、丙三种品 牌的红茶优质率分别为0.9，0.8，0.7.若该红茶批发地甲、乙、丙三种品 牌的红茶市场占有量的比例为4∶4∶2，小张到该批发地任意购买一盒红 茶，则他买到的红茶是优质品的概率为 ⁠. 0.82　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：设事件A，B，C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、 丙品牌，事件D表示他买到的红茶是优质品，则依据已知可得P（A）＝P （B）＝＝0.4，P（C）＝0.2，P（D｜A）＝0.9，P（D｜B）＝ 0.8，P（D｜C）＝0.7，由全概率公式得P（D）＝P（A）P（D｜A）＋P （B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜C）＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7 ＝0.82，所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15， 第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设第 1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产 品，求该产品合格的概率. 解：设B表示“从仓库中随机提出的一台是合格品”，A1表示“提出的一 台是第1车间生产的产品”，A2表示“提出的一台是第2车间生产的产 品”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，则有B＝A1B∪A2B， 由题意P（A1）＝，P（A2）＝，P（B｜A1）＝0.85，P（B｜A2）＝ 0.88， 由全概率公式得，P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝ ×0.85＋×0.88＝0.868，即该产品合格的概率为0.868. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　贝叶斯公式*的应用 8支枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击 时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8 支枪中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准 过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P（B1）＝，P（B2）＝，P （A｜B1）＝0.8，P（A｜B2）＝0.3.根据全概率公式得P（A）＝P（B1） P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＝×0.8＋×0.3＝，所以由贝叶斯 公式得P（B1｜A）＝＝＝.故选B. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　贝叶斯公式其实就是全概率公式的一种变形，它与全概率公式的应用 是互逆的.当结果发生了，求某个原因的概率就用贝叶斯公式. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随 机事件A，B存在如下关系：P（A｜B）＝.某高校有甲、 乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和 0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第 一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学第二天去了 乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 ⁠. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：设A1：第一天去甲餐厅，A2：第二天去甲餐厅，B1：第一天去乙餐 厅，B2：第二天去乙餐厅， 所以P（A1）＝0.4，P（B1）＝0.6，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝ 0.5，P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.54，P （B2）＝1－P（A2）＝0.46，P（A1｜B2）＝＝ ＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　全概率公式和贝叶斯公式*的综合应用 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往 的记录有以下的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 Ⅰ 0.02 0.15 Ⅱ 0.01 0.80 Ⅲ 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率； （1）由全概率公式得P（A）＝P（A｜B1）P（B1）＋P（A｜B2）P（B2） ＋P（A｜B3）P（B3）＝0.012 5. 解：设A表示取到的是一只次品，Bi（i＝1，2，3）表示所取到的产品是由 第i家工厂提供的. 本题的概率树图如下： 易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划 分，且有P（B1）＝0.15，P（B2）＝ 0.80，P（B3）＝0.05， P（A｜B1）＝0.02，P（A｜B2）＝0.01，P（A｜B3）＝0.03. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，该次品来自第 几家元件制造厂的可能性最大. 解：由贝叶斯公式P（B1｜A）＝＝＝0.24. 同理可得P（B2｜A）＝0.64，P（B3｜A）＝0.12.以上结果表明，这只次 品来自第Ⅱ家元件制造厂的可能性最大. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 概率树图法在全概率公式和贝叶斯公式中的应用 　　对于复杂问题，运用概率树图法比较方便.先根据题意，画出图形， 在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到 全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 有两箱同种类型的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只， 其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每 次任取一只，作不放回抽样，试求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率； （1）P（B1）＝P（A1）P（B1｜A1）＋P（A2）·P（B1｜A2）＝×＋ ×＝. 解：设Bi表示第i次取到一等品，i＝1，2，Aj表示第j箱产品，j＝1，2，显 然A1∪A2＝Ω，A1A2＝∅， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的 概率. 解： P（B2｜B1）＝＝≈0.485 6. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2， 0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概率为 （　　） A. 0.65 B. 0.075 C. 0.145 D. 0 √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　设A1表示他乘火车来，A2表示他乘船来，A3表示他乘汽车来，A4 表示他乘飞机来，B表示他迟到.易知：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件 组，由全概率公式得P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.3×0.25＋ 0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为 0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的 2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（　　） A. 0.21 B. 0.06 C. 0.94 D. 0.95 √ 解析： 　令B表示取到的零件为合格品，Ai表示零件为第i台机床的产品， i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P （B｜A2）＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其 中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路， 有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答 案.小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为 ⁠. 　 解析：设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做 对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有 思路的1道题”为事件D，则P（B）＝，P（C）＝＝，P（D）＝，P （A｜B）＝1，P（A｜C）＝，P（A｜D）＝.由全概率公式可得P（A） ＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＋P（D）P（A｜D）＝×1＋ ×＋×＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这 几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记 浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为 邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5.几天后李老师回来发现花还活着，则 邻居记得浇水的概率为 ⁠. 　 解析：记事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，A表示 “花还活着”，由题意得P（B）＝0.5，P（）＝0.5，P（A｜B）＝ 0.8，P（A｜）＝0.3，则P（B｜A）＝ ＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 40 1. 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名 表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两 份，则先取到的一份为女生报名表的概率为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　设A表示“先取到的是女生报名表”，Bi表示“取到第i个地区的 报名表”，i＝1，2，3，∴P（A）＝P（Bi）P（A｜Bi）＝×＋× ＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随 机选一人，则此人恰是色盲的概率是（　　） A. 0.012 45 B. 0.057 86 C. 0.026 25 D. 0.028 65 √ 解析： 　用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示 此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P（C）＝P（A）P（C｜ A）＋P（B）P（C｜B）＝×5%＋×0.25%＝0.026 25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的 四等种子.一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为 （　　） A. 0.8 B. 0.532 C. 0.482 5 D. 0.312 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是 A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设 B表示“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P（B） ＝P（Ai）·P（B｜Ai）＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋ 1%×0.05＝0.482 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动 员进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为，若他第1球投 不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进 的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　记“他第1球投进”为事件A，“他第2球投进”为事件B，由题 知，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，又知P（A）＝，所以P（）＝， 所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有 （　　） A. P（A｜B）＝ B. P（AB）＝P（A）P（B｜A） C. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） D. P（A｜B）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全 概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P（A）P （B｜A）＋P（）P（B｜），故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红 球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这 些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出 一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件Ci表示 “球取自i号盒子”，则（　　） A. P（A）＝ B. P（B）＝ C. P（C1｜A）＝ D. P（C2｜B）＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由题意可得：P（C1）＝P（C2）＝P（C3）＝，P（A｜ C1）＝，P（A｜C2）＝，P（A｜C3）＝1，对于A：由全概率公式可得P （A）＝P（C1）P（A｜C1）＋P（C2）P（A｜C2）＋P（C3）P（A｜C3） ＝×＋×＋×1＝，故A错误；对于B：P（B）＝1－P（A）＝， 故B正确；对于C、D：P（C1｜A）＝＝＝＝ ，故C正确；P（C2｜B）＝＝＝＝，故D 正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车 种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男 性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根 据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 ⁠. 解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%， 解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 70%　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示 事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P （A｜C）＝0.95，P（｜）＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试 验的人患有癌症的概率为0.005，即P（C）＝0.005，则P（C｜A） ＝ .（精确到0.001） 解析：由题设，有P（）＝1－P（C）＝0.995，P（A｜）＝1－P（｜ ）＝0.05，由贝叶斯公式，得P（C｜A）＝ ≈0.087. 0.087　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3 只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次 取出的3个球均为新球的概率为 ⁠. 解析：设A表示“第二次取出的均为新球”，Bi表示“第一次取出的3个球 恰有i个新球”（i＝0，1，2，3）.由全概率公式得P（A）＝P（B0）P （A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜ B3）＝·＋·＋·＋·＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 小张从家到公司上班总共有三条路可以走（如图），但是每条路每天 拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P （L1）＝0.5，P（L2）＝0.3，P（L3）＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概 率分别为P（C1）＝0.2，P（C2）＝0.4，P（C3）＝0.7.假设遇到拥堵会 迟到，那么： （1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？ 解： 由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设 事件C表示到公司不迟到，则 P（C）＝P（L1）×P（C｜L1）＋P（L2）×P （C｜L2）＋P（L3）×P（C｜L3）＝P（L1）×P（C1）＋P（L2）×P（C2）＋P（L3）×P（C3）＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解： P（L1｜C）＝＝ ＝. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他 周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果 周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑 步的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　用事件A，B分别表示“周六跑步”“周日跑步”，则，分别 表示“周六游泳”“周日游泳”，于是P（A）＝0.6，P（｜A）＝0.7， P（B｜）＝0.9，P（）＝0.4，P（｜）＝0.1，因此P（）＝P （｜A）P（A）＋P（｜）P（）＝0.7×0.6＋0.1×0.4＝0.46，所 以P（A｜）＝＝＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%， 第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1， 2，3台车床加工的零件数分别占总数的30%，30%，40%，则下列选项正 确的有（　　） A. 任取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率为0.06 B. 任取一个零件是次品的概率为0.053 C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加 工的零件（i＝1，2，3），则P（A｜B1）＝6%，P（A｜B2）＝P（A｜ B3）＝5%，P（B1）＝30%，P（B2）＝30%，P（B3）＝40%，对于A，任 取一个零件是第1台车床生产出来的次品的概率为P（AB1）＝6%×30%＝ 0.018，故错误；对于B，任取一个零件是次品的概率为P（A）＝P （AB1）＋P（AB2）＋P（AB3）＝6%×30%＋5%×30%＋5%×40%＝ 0.053，故正确；对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的 概率为P（B2｜A）＝＝＝＝，故正 确；对于D，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P（B3｜A）＝＝＝＝，故正确；故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下 后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红 球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则 下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n（n∈N，n≥1）次按下 按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ⁠； 解析： P2＝×＋×＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若n∈N，n≥2，且Pn－1表示Pn的表达式为 ⁠. 解析： Pn＝Pn－1×＋（1－Pn－1）× ＝－Pn－1＋. Pn＝－Pn－1＋　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率 分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （1）由全概率公式得P（A）＝P（Bi）·P（A｜Bi）＝0.2×0.95＋ 0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. 解：设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、 丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.3，P（B3）＝0.5， P（A｜B1）＝0.95，P（A｜B2）＝0.9，P（A｜B3）＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产 的可能性大？ 解：由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝， P（B2｜A）＝＝＝， P（B3｜A）＝＝＝. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $