培优课 圆锥曲线的综合问题 第1课时 最值、范围及证明问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线的最值、范围及证明问题，通过典例研析导入，衔接圆锥曲线定义与性质，搭建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握解题方法。 其亮点在于一题多解与通性通法结合，如椭圆方程推导的直接法、定义法等培养逻辑推理，通过代数运算与几何性质结合提升数学思维，跟踪训练和课时作业强化应用意识。学生能掌握解题策略，教师可高效实施分层教学。

培优课　圆锥曲线的综合问题 第二章　圆锥曲线 1 1. 理解和掌握圆锥曲线中求最值（范围）问题的基本方法（数学运算）. 2. 掌握圆锥曲线中定点、定值问题与探索性问题的基本解题思路（逻辑推理、数学运算）. 第一课时　最值、范围及证明问题 第二章　圆锥曲线 3 目 录 CONTENTS 典例研析 课时作业 典例研析>> 目录 5 题型一　最值问题 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F的 直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一 个交点为K，求·的最小值. 解：由题意知F（1，0），直线l的斜率k存在且不为0， 设l的方程为y＝k（x－1）， 由可得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 故·＝（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋ · ＝｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜ ＝（x1＋1）（x2＋1）＋（x3＋1）（x4＋1） ＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1 ＝8＋4≥8＋4×2＝16， 当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两 种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面 几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量 或代数表达式表示为某个（些）变量的函数（解析式），然后利用函数方 法、不等式方法等进行求解. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、 右端点，点F是椭圆的右焦点，点P（，）在椭圆 上，设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于｜MB｜，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 解：由已知可得点A（－6，0），点B（6，0），点P. 直线AP的方程是x－y＋6＝0， 设点M的坐标是（m，0），则点M到直线AP的距离是， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 于是＝｜m－6｜， 又－6≤m≤6，解得m＝2. 由椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d， 得d2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝＋15，－6≤x≤6， 由f（x）＝＋15的图象可知， 当x＝时，d取最小值，且最小值为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　范围问题 已知P（0，）和Q（，1）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上的 两点. （1）求椭圆C的方程和离心率； 解：因为P（0，）和Q（，1）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞ 0）上的两点， 所以解得又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.所以椭圆 C的方程为＋＝1，离心率e＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值 范围. 解： 联立方程 消去y得（1＋2k2）x2＋4kx－2＝0，因为Δ＝（4k）2－4× （1＋2k2）×（－2）＝32k2＋8＞0， 所以设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝ －， 所以｜AB｜＝＝×. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝， 所以△AOB的面积S＝×d×｜AB｜＝ ××× ＝＝＝，令t＝4k2＋ 1（t≥1），则S＝＝≤ ＝（当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立），也就是当k＝0时，△AOB的面积取最大值， 又因为当｜k｜→＋∞时，S→0，所以△AOB面积的取值范围是（0，]. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的三个方面 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式或其他不等关系构造不等式，从 而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立 两个参数之间的等量关系； （3）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值 域，从而确定参数的取值范围. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 　已知双曲线－y2＝1，若过点B（0，1）且与x轴不平行的直线和双曲线 相交于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线为m，则直线m在y轴上的 截距的取值范围为 ⁠. （4，＋∞）　 解析：设过点M，N的直线方程为y＝kx＋1（k≠0）， 代入－y2＝1，可得（1－3k2）x2－6kx－6＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝－，则线段 MN的中点为， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 可得线段MN的垂直平分线方程为y－＝－，令x＝0，可 得y＝， 由Δ＝36k2＋24（1－3k2）＞0，解得3k2＜2， 又＜0，解得3k2＜1， 综上可得，0＜3k2＜1，即有的范围是（4，＋∞）， 可得直线m在y轴上的截距的取值范围为（4，＋∞）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　证明问题 〔一题多解〕（2024·全国甲卷20题）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞ 0）的右焦点为F，点M（1，）在C上，且MF⊥x轴. （1）求C的方程； 解： 法一（直接法）　由题意知 得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　由题意知得 所以椭圆C的方程为＋＝1. 法三（巧用椭圆的定义）　设F'为C的左焦点，连接MF'，则｜MF｜＝ ，｜FF'｜＝2， 在Rt△MFF'中，｜MF'｜＝＝＝， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 由椭圆的定义知2a＝｜MF'｜＋｜MF｜＝4， 2c＝｜FF'｜＝2， 所以a＝2，c＝1， 又a2＝b2＋c2，所以b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）过点P（4，0）的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB 交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴. 解：证明：分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴. 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4（t≠0），A（x1，y1），B （x2，y2），Q（1，n）， 联立方程得 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 消去x得（3t2＋4）y2＋24ty＋36＝0，Δ＞0， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为N为线段FP的中点，F（1，0），所以N（，0）. 由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，即＝，得－y2＝n（x2－）， 得n＝， 所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝ ＝0， 所以n＝y1，所以AQ⊥y轴. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 圆锥曲线中证明问题的常见类型 （1）位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直， 直线过定点等； （2）数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代 数运算证明，但有时也会用反证法证明. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且C的右焦点F到 渐近线的距离为. （1）求C的标准方程； 解： 设F（c，0）（c＞0），则a2＋b2＝c2，易知C的渐近线方程为y ＝±x， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即＝＝b， 又＝＝⇒a＝2，则双曲线方程为－＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）过点F作直线l与C的右支相交于A，B两点，O为原点，证明：∠AOB 为锐角. 解：证明：由（1）知c＝3，不妨设l的方程为x＝ty＋3 及A（x1，y1），B（x2，y2）， 显然t≠±，y1，y2异号， 则＝（x1，y1），＝（x2，y2），∠AOB＝＜，＞， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 联立整理得（5t2－4）y2＋30ty＋25＝0，Δ＝400（t2＋1）＞0， 则 易知·＝x1x2＋y1y2＝（t2＋1）y1y2＋3t（y1＋y2）＋9＝， 而y1，y2异号，则5t2－4＜0， 所以·＞0，即cos＜，＞＝＞0， 即∠AOB＝＜，＞为锐角，得证. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 26 1. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的 “特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭 圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已 知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，已知椭圆C2的短半轴 长为b. （1）写出椭圆C2的方程（用b表示）； 解： 由椭圆C2与C1是相似椭圆，得＝＝， ∴椭圆C2的方程为＋＝1或＋＝1. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若椭圆C2的焦点在x轴上，且C2上存在两点M，N关于直线y＝2x＋1对 称，求实数b的取值范围. 解： 由题设知：椭圆C2的方程为＋＝1， 设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N的中点为E（xE，yE），lMN∶y＝－x ＋m. 联立lMN与椭圆C2的方程，整理得3x2－4mx＋4（m2－b2）＝0， ∴Δ＞0，即b2＞m2且x1＋x2＝＝2xE， ∴xE＝，yE＝－xE＋m＝， 由点E在直线y＝2x＋1上，得m＝－，于是b2＞m2＝，∴b的取 值范围为. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知点A（0，－2），椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，F 是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. （1）求E的方程； 解： 设F（c，0），由条件知＝，得c＝.又＝，所以a＝2， b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求 l的方程. 解： 当l⊥x轴时不合题意； 设l：y＝kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2），将y＝kx－2代入＋y2＝1， 得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0. Δ＝16（4k2－3）＞0，即k2＞，x1＋x2＝，x1·x2＝.从而｜PQ｜ ＝｜x1－x2｜＝. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·｜PQ｜＝ . 设＝t，则t＞0，S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝ ±时等号成立，且满足Δ＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ，且 过点（4，－）. （1）求双曲线的方程； 解： 由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线 的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），又双曲线过点（4，－），代入解得λ ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：·＝0. 解： 证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2， 所以F1（－2，0），F2（2，0）.由点M（3，m），得＝（－2 －3，－m），＝（2－3，－m），又点M（3，m）在双曲线上，所 以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2. （1）求C的方程； 解： 由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C 的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率 的最大值. 解： 由（1）知F（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则＝（x2－x1，y2－y1），＝（1－x2，－y2）， 因为＝9， 所以可得 又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即（10y2）2＝4（10x2－9），化简得 ＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率 可以取最大值， 联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0， 令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±， 所以直线OQ斜率的最大值为. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. （2024·上海高考20题节选）已知双曲线Γ：x2－＝1（b＞0）， 左、 右顶点分别为A1，A2，过点M（－2，0）的直线交双曲线Γ于P，Q两点. （1）若Γ的离心率为2，求b； 解： 由双曲线的方程知a＝1， c＝，因为离心率为2， 所以＝＝2，得b＝. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）连接QO（O为坐标原点）并延长交Γ于点R，若·＝1，求b的 取值范围. 解： 由双曲线的方程知A1（－1，0），A2（1，0），且由题意知Q， R关于原点对称. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（－x2，－y2）. 设直线PQ的方程为x＝my－2. 联立直线与双曲线的方程得消去x，得（b2m2－1）y2－ 4b2my＋3b2＝0，Δ＝（－4b2m）2－4×3b2×（b2m2－1）＝4b4m2＋12b2＞ 0，且b2m2－1≠0，即m2≠. 由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 因为＝（－x2＋1，－y2），＝（x1－1，y1）， 由·＝1，得（－x2＋1）（x1－1）－y1y2＝1， 所以（x2－1）（x1－1）＋y1y2＝－1，即（my2－3）·（my1－3）＋y1y2＝ －1，整理，得（m2＋1）y1y2－3m（y1＋y2）＋10＝0， 所以（m2＋1）·－3m·＋10＝0， 整理，得b2m2＋3b2－10＝0， 所以b2＝∈（ 0，］. 又m2≠，所以b2≠＝，得b2≠3，所以b2∈（0，3）∪（ 3， ］，又b＞0， 故b的取值范围是（0，）∪（ ，］. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 已知椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），右焦点为F（，0），且 离心率为. （1）求椭圆C的方程； 解： 由题意知　⇒a＝，又∵a2＝b2＋c2，∴b＝1. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切. 证明：M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝. 解： 证明：①（必要性）若M，N，F三点共线，设直线MN的方程为 x＝my＋， 圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1. 联立⇒（m2＋3）y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0， ｜MN｜＝·＝×＝，必要性成立. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ②（充分性）当｜MN｜＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n. 此时圆心O（0，0）到MN的距离d＝＝1⇒n2－t2＝1， 联立⇒（t2＋3）y2＋2tny＋n2－3＝0，Δ＝4t2n2－4（t2＋3） （n2－3）＝12（t2－n2＋3）＝24. ｜MN｜＝＝⇒t2＝1，∴n2＝2. ∵直线MN与曲线x2＋y2＝b2（x＞0）相切，∴n＞0，n＝， ∴直线MN的方程为x＝ty＋，恒过点F（，0）， ∴M，N，F三点共线，充分性成立. 由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是｜MN｜＝. 1 2 3 4 5 6 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $