1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线方程的点斜式与斜截式，通过射击手托枪位置与瞄准方向的情境导入，引导学生从几何要素角度理解直线方程定义，衔接点斜式、斜截式的条件及方程形式，强调斜率存在前提等注意事项，搭建知识学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学抽象能力，通过典例研析与跟踪训练强化数学运算，综合应用如证明直线过定点问题发展数学建模思维。通性通法总结助学生掌握解题思路，自我诊断与随堂检测便于巩固，教师使用可提升教学效率，学生能深化知识理解与应用能力。

1.3　直线的方程 第一章　直线与圆 1 课标 要求 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形 式（点斜式、两点式及一般式）（数学抽象、数学运算）. 第一课时　直线方程的点斜式 第一章　直线与圆 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非 常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线， 并且射击手达到了上述的两个动作要求. 【问题】　（1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ （2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　直线l的方程 　如果一条直线l上的每一点的坐标 ，并且以这个方 程的解为坐标的点 ，那么这个方程称为直线l的方程. 都是一个方程的解　 都在直线l上　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　直线方程的点斜式与斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P（x0，y0），斜率 为k ⁠ ⁠ 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交 点为（0，b）（直线l与y轴的 交点（0，b）的纵坐标b叫作直 线l在y轴上的截距） ⁠ y－y0＝k（x －x0） y＝kx＋b 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存在， 则不能用此种形式；（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺 少一个点（x0，y0），后者才是整条直线. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 1. 如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）的位置 有什么联系？ 提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P（0， b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上. 2. 直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？ 提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一 次函数. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程y－y0＝k（x－x0）表示经过点P（x0，y0）的所有直线的方程. （　×　） （2）过点（1，2）与y轴垂直的直线的方程为y＝2. （　√　） （3）方程y＝kx＋b称为直线方程的斜截式，截距b是直线与y轴交点到原点 的距离. （　×　） （4）经过点P（－4，3），倾斜角为45°的直线方程是y－3＝x＋4. （　√　） × √ × √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　） A. 直线经过点（2，－1），斜率为－1 B. 直线经过点（1，－2），斜率为－1 C. 直线经过点（－2，－1），斜率为1 D. 直线经过点（－1，－2），斜率为－1 √ 解析： 　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]， 所以过定点（－1，－2），斜率为－1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 在y轴上的截距为－3，且斜率为4的直线的斜截式方程为 ⁠. 解析：∵直线的斜率为4，又截距为－3，∴由斜截式方程可得y＝4x－3. y＝4x－3　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 14 题型一　直线方程的点斜式 根据条件写出下列直线的方程，并画出图形. （1）经过点A（－1，4），斜率k＝－3； 解： y－4＝－3[x－（－1）]， 即y＝－3x＋1.如图1所示. （2）经过坐标原点，倾斜角为45°； 解： k＝tan 45°＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x. 如图2所示. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （3）经过点B（3，－5），倾斜角为90°； 解： 斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图3所示. （4）经过点C（2，8），D（－3，－2）. 解： k＝＝2，所以y－8＝2（x －2）， 即y＝2x＋4.如图4所示. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求直线方程的点斜式的思路 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 方程y＝k（x－2）表示（　　） A. 过点（2，0）的所有直线 B. 过点（2，0）且不垂直于y轴的所有直线 C. 过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D. 过点（2，0）且除去x轴的所有直线 √ 解析： 　y＝k（x－2）为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直 线，又直线过点（2，0），故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. （2026·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝ （3，2），则直线m的点斜式方程为 ⁠. 解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为.又因 为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝（x－4）. y－5＝（x－4）　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　直线方程的斜截式 根据条件写出下列直线方程的斜截式： （1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3； 解： 因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线 与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－ 3，故所求直线方程的斜截式为y＝x＋3或y＝x－3. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°. 解： 与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率 k为tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直线方程的斜截式为y＝ ±x－6. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 直线方程的斜截式的求解策略 （1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特 别注意截距和距离的区别； （2）直线方程的斜截式y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线 的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一 目了然.因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式 化为直线方程的斜截式，利用k，b的几何意义进行判断. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 √ 解析： 　结合图象易知，sin θ＜0，cos θ＞0，则角θ为第四象限角. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和 在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是 ⁠. 解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为， 在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4. y＝x＋4　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　直线方程的点斜式、斜截式的综合应用 已知直线l：y＝kx＋2k＋1. （1）求证：直线l过定点； 解： 证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点（－2，1）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 解： 设函数f（x）＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线，当－3＜x ＜3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 定点的确定方法 　　把含参直线方程化为点斜式（或斜截式）的形式即可得出定点坐标. （1）点斜式y－y0＝k（x－x0），直线过定点（x0，y0）. （2）斜截式y＝kx＋b，直线过定点（0，b）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 已知直线l：4ax－3y＋a＋3＝0. （1）求证：无论实数a为何值，直线l总经过第二象限； 解： 证明：4ax－3y＋a＋3＝0可化为y－1＝a，即直线恒过定 点（－，1）， 所以无论实数a为何值，直线总经过第二象限. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若直线l不经过第三象限，求实数a的取值范围. 解： 由（1）知直线l的方程可化为y－1＝a.当x＝0时，y＝ ，即直线在y轴上的截距为，要使l不经过第三象限，需 即故a的取值范围是[－3，0]. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 下列关于直线l：y＋2＝（－x）的说法正确的有（　　） A. 过点（，2） B. 斜率为 C. 倾斜角为120° D. 在y轴上的截距为－1 √ 解析： 　对于A，令x＝，则y＝－2，故A不正确；对于B，由y＋2 ＝－（x－），可得直线l的斜率k＝－，故B不正确；对于C， 直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan α＝k＝－，可得α ＝120°，故C正确；对于D，令x＝0，可得y＝1，即直线l在y轴上的截 距为1，故D不正确. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线都通过的 定点坐标为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （3，1） D. （3，－1） √ 解析： 　将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3， －1）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　） A. 方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线 B. 直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C. 直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1 D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 √ √ 解析： 　A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D 只有k存在时成立. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 直线y＝6－3x的斜率为 ，在坐标轴上的截距之和等于 ⁠. 解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在坐 标轴上的截距之和等于6＋2＝8. －3　 8　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 34 1. （2026·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2 倍的直线方程是（　　） A. x＝－1 B. y＝1 C. y－1＝（x＋1） D. y－1＝2（x＋1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是， 由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　） A. 60°，2 B. 120°，2－ C. 60°，2－ D. 120°，2 √ 解析： 该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，∴其倾斜角为 120°，在y轴上的截距为2－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 直线y＝ax＋的图象可能是（　　） √ 解析： 　根据直线方程的点斜式，可得其斜率与在y轴上的截距同号，故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. （2026·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－ a，－b）位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 √ 解析： 　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0， 所以（－a，－b）位于第三象限，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 倾斜角为45°，且在y轴上的截距为－2 026的直线的方程是（　　） A. y＝－x－2 026 B. y＝－x＋2 026 C. y＝x－2 026 D. y＝x＋2 026 √ 解析： 　因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率k＝tan 45°＝1，又 直线在y轴上的截距为－2 026，故所求直线的方程为y＝x－2 026.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕已知直线l：y＝－x＋2，则（　　） A. 倾斜角为60° B. 过点（0，2） C. 直线l的方向向量为（1，－） D. 在y轴上的截距为2 √ √ √ 解析： 直线斜率k＝－，所以倾斜角为120°，故A错误；将点 （0，2）代入直线方程，×0＋2－2＝0成立，故B正确；因为直线l斜率 k＝－，所以（1，－）是直线的一个方向向量，故C正确；令x＝0， 可得y＝2，即在y轴上的截距为2，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 将直线y＝x＋－1绕其上一点（1，）沿逆时针方向旋转15°，得 到的直线方程是 ⁠. 解析：直线y＝x＋－1的倾斜角是45°，逆时针方向旋转15°后倾斜角 为60°，斜率是，则方程是y－＝（x－1），即y＝x. y＝x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 直线y＝kx＋2（k∈R）不过第三象限，则斜率k的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：当k＝0时，直线y＝2不过第三象限；当k＞0时，直线过第三象限； 当k＜0时，直线不过第三象限. （－ ∞，0]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方， 则实数k，b的取值应该满足的条件是 ⁠. 解析：若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2.因为 直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y轴上的截 距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3.故实数k，b的取值应该 满足的条件是k＝2，b＞－3. k＝2，b＞－3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 写出下列直线方程的斜截式. （1）直线的倾斜角为135°且在y轴上的截距是－2； 解： 斜率k＝tan 135°＝－1，可得直线方程的斜截式为 y＝－x－2. （2）直线过点A（3，1）且在y轴上的截距是1. 解： 由题意知直线过点（3，1），（0，1）， ∴斜率k＝0，可得直线方程的斜截式为y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角 坐标系内的图象可能是（　　） √ 解析： 对于A选项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾； 对于B选项，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C选 项，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D选项，由l1得a ＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 直线l：y＝2x－1绕着点A（1，1）逆时针旋转与直线l1重合，则l1的斜 截式方程是 ⁠. 解析：设直线l的倾斜角为α，则tan α＝2，则直线l1的斜率为tan （α＋ ）＝＝－3，所以直线l1的方程为y－1＝－3（x－1），故直线l1的斜 截式方程为y＝－3x＋4. y＝－3x＋4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 已知直线l过点P（2，1），且直线l的倾斜角为直线y＝x＋的倾斜角 的2倍，则直线l的点斜式方程为 ⁠. 解析：由y＝x＋，得斜率为，设直线y＝x＋的倾斜角为α，直线l的倾 斜角为β，斜率为k，则tan α＝，k＝tan β＝tan 2α＝＝.又直 线l过点P（2，1），所以直线l的点斜式方程为y－1＝（x－2）. y－1＝（x－2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底 部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆 的底部靠近道路的一侧修建一条人行道AB，使得人行道与两条垂直的道路 围成的直角三角形的面积最小，求人行道的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为y－4＝k（x－3） （k＜0），所以A（3－，0），B（0，4－3k），所以△ABO的面积S＝ （4－3k）＝，因为k＜0，所以－9k－ ≥2＝24， 当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号， 此时，A（6，0），B（0，8），所以人行道的长度为10米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $