第1章 §1 1.4 两条直线的平行与垂直(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 赢在微点 轻松课堂 数学 第一章 直线与圆 §1　直线与直线的方程 1．4　两条直线的平行与垂直　 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 合作探究·攻重难 细研深究 萃取知识精华 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 —— —— 当堂检测·提素养 即时训练 巩固当堂所学 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 1．4　两条直线的平行与垂直　 当堂检测·提素养 第 * 页 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 赢在字里行间 　 　　过山车是一种富有刺激性的游乐设施。实际上,过山车的运动包含了许多数学、 物理学原理。过山车的两条铁轨是永远平行的轨道,它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着。你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢? 能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 1．两条直线平行 (1)当两直线的斜率都存在时，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔ _______________ (2)当两直线的斜率都不存在时，直线的倾斜角都是eq \f(π,2)，从而两直线互相平行或重合。 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k1＝k2，,b1≠b2。)) 2．两条直线垂直 (1)当两条直线的斜率都存在时，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔ _______________。 (2)当两条直线中有一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为______时，两直线垂直。 k1k2＝－1 0 微提醒 　设直线l1与l2的一般式方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)。 (1)l1∥l2⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；)) 当A2B2C2≠0时，l1∥l2⇔eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)。 (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0。 微思考 如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ 提示：不一定，它们可能是一条直线斜率为0，另一条没有斜率。 类型一 两条直线平行的判定与应用 【例1】　(1)在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________。 解析　因为E，F分别为边AC，BC的中点，所以EF∥AB。所以kEF＝kAB＝eq \f(－1－3,2－0)＝－2。 答案　－2 答案与解析 (2)已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m的取值为(　　) A．－1或3 B．－1 C．－3 D．1或－3 解析　解法一：由l1∥l2得1×3－(m－2)×m＝0，解得m＝－1或m＝3。当m＝－1时，两直线方程为x－y＋6＝0与－3x＋3y－2＝0，两直线平行，满足条件；当m＝3时，两直线方程为x＋3y＋6＝0与x＋3y＋6＝0两直线重合，不满足条件。故m的值为－1。 解法二：由l1∥l2得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1×3－m－2×m＝0，,1×2m－m－2×6≠0，))解得m＝－1。 答案　B 答案与解析 因为A1B2－A2B1＝0仅是l1∥l2的必要条件，而非充要条件，所以求出的m的值未必能确保l1∥l2，因此需检验。本题还可利用l1∥l2的充要条件构建关于m的方程组，此方法求出的m的值无须检验。 【变式训练】　(1)过点P(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y＋5＝0 解析　设平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为x－2y＋m＝0，又所求直线过点P(－1,3)，则－1－6＋m＝0，m＝7。故选C。 答案　C 答案与解析 (2)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ 解　由题意可知， ＝－1，＝a2－2， 因为l1∥l2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,2a≠2，)) 解得a＝－1。 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行。 类型二 两条直线垂直的判定与应用 【例2】　(1)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝________。 解析　显然l2斜率存在且为1，又因为两直线垂直，所以l1斜率为－1，即－eq \f(1,a)＝－1，解得a＝1。 答案　1 答案与解析 (2)△ABC的三个顶点分别为A(2,0)，B(4,4)，C(0,3)，求： ①AC边所在直线的方程； ②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程。 解　①直线AC的斜率为k＝－eq \f(3,2)， 由点斜式得直线方程为y－0＝－eq \f(3,2)(x－2)， 即3x＋2y－6＝0， ②由①知，直线AC的斜率为k＝－eq \f(3,2)，AC⊥DE， 直线DE斜率为eq \f(2,3)，线段AC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))， 由点斜式可得直线DE的方程为y－eq \f(3,2)＝eq \f(2,3)(x－1)，即4x－6y＋5＝0。 判断两直线垂直的方法 (1)若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0判断。 (2)若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1判断。 (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断。 【变式训练】　(1)已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值是(　　) A．1或3 B．1或5 C．1或4 D．1或2 解析　由l1⊥l2得2(k－3)2－2(5－k)＝0，整理得k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4。 答案　C 答案与解析 (2)过点(1,0)且与直线l1：x－2y－2＝0垂直的直线l2的方程是_________________。 解析　设直线l2的方程为2x＋y＋c2＝0，因为直线l2过点(1,0)，所以2＋c2＝0，得c2＝－2，故所求直线的方程为2x＋y－2＝0。 答案　2x＋y－2＝0 答案与解析 两条直线平行与垂直的实际应用 【典例】　如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD为5 m，宽AB为3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM互相垂直？ 【解】　如图，以点B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系。 由AD＝5(m)，AB＝3(m)， 可得C(5,0)，D(5,3)，A(0，3)。 设点M的坐标为(x,0)， 因为AC⊥DM， 所以kAC·kDM＝－1。 所以eq \f(3－0,0－5)·eq \f(3－0,5－x)＝－1，解得x＝eq \f(16,5)＝3.2，即BM＝3.2(m)时，两条小路所在直线AC与DM互相垂直。 建立直角坐标系，通过坐标化的方法将实际问题转化为解析几何问题。 1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　) A．－3 B．3 C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3) 解析　因为l∥AB，且直线AB的斜率k＝eq \f(3－0,3－2)＝3，所以直线l的斜率k＝3。 答案　B 答案与解析 2．若经过点(3，a)，(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为eq \f(1,2)的直线垂直，则a的值为(　　) A.eq \f(5,2) B.eq \f(2,5) C．10 D．－10 解析　由题意得，eq \f(a－0,3－－2)＝－eq \f(1,\f(1,2))＝－2，所以a＝－10。 答案　D 答案与解析 3．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　　) A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180° 解析　由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°。 答案　C 答案与解析 4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________。 解析　因为两直线垂直，所以1×2－2m＝0，得m＝1。 答案　1 答案与解析 5．已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0。求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程。 解　(1)将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又所求直线过点A(2,2)， 所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14。 所求直线方程为3x＋4y－14＝0。 (2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0， 又所求直线过点A(2,2)， 所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2。 所以所求直线方程为4x－3y－2＝0。 $$