21.2.1二次函数y=ax²的图象与性质（第1课时）教案 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该教案聚焦二次函数y=x²的图象与性质，通过回顾一次函数图象及列表描点连线画法，类比引出二次函数，结合生活抛物线实例图片，搭建新旧知识联系的学习支架。 特色在于完整探究过程，学生动手列表描点连线，观察图象归纳对称轴、顶点等性质，发展几何直观与推理意识。例1及对称点练习强化模型意识，思维导图梳理知识，提升学生数形结合能力，便于教师教学实施。

第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 第1课时 一、教学目标 1．会用描点法画出二次函数y=x2的图象，概括出图象的特点． 2．掌握形如y=x²的二次函数图象的性质，并会应用． 3．经历列表、描点、画图完整探究过程，熟练运用数形结合思想分析函数图象，提升自主作图、观察归纳、数学建模与逻辑推理的综合解题能力． 4．体会从特殊到一般的探究方法，发展直观想象、数学抽象核心素养． 二、教学重难点 重点：会用描点法画出二次函数y=x2的图象，概括出图象的特点． 难点：掌握形如y=x²的二次函数图象的性质，并会应用． 三、教学过程设计 环节一：情境导入 问题1：我们学过的一次函数的图象是什么形状？ 预设：一条直线． 问题2：如何画一个函数的图象呢？ 预设：列表、描点、连线． 思考：二次函数的图象是什么形状的呢？ 展示实际生活中常见的与抛物线相关的三组情景图，如下图： 你能举出类似的生活中的情景吗？和大家说一说． 设计意图：通过回顾已经学习过的函数相关知识，对要学习的新知识有一个明确的方向，通过类比进行延伸，符合学生的认知规律．以生活中存在的实际问题为例，激起学生的求知欲与探索兴趣，营造良好的学习氛围． 环节二：探究新知 【探究】画出二次函数 y=x² 的图象． 引导学生一起说一说画一次函数图象的步骤：列表、描点、连线．同样，我们画二次函数的图象是不是也按照这样的步骤画呢？一起试试画一下吧！ (1)列表：自变量x可以取任意实数，为了取点方便，在原点两侧各取x的一些整数值．列出函数对应值表． (2)描点：根据上表中各列x，y的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)． (3)用平滑曲线顺次连接各点，即可得二次函数y=x²的图象． 【思考】描点后，相邻两点间能用线段连接吗? 预设：这类图象是平滑曲线，两点之间的变化不是均匀的，直线连接会失真，正确做法：多描点，用平滑曲线顺次连接各点． 二次函数的图象，要用平滑曲线顺次连接各点，形成了一条曲线． 【想一想】观察二次函数 y=x² 的图象．你能发现什么？说一说． (1)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 预设：观察图形很容易看出此图是轴对称图形，它的对称轴是y轴． (2)图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？ 预设：曲线是向上无限延伸的，有最低的位置，所以图象有最低点，且最低点就是坐标原点(0，0)． (3)当x＜0时，随着x的增大，函数y如何变化？ 预设：观察图象可知，在y轴的左边，随着x的增大，函数y减小，即当x＜0时，随着x的增大，函数y减小． 追问：当x＞0时呢？ 预设：观察图象可知，在y轴的右边，随着x的增大，函数y增大，即当x＞0时，随着x的增大，函数y也增大． 【总结】函数y=x²的图象是一条关于y轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线；函数y=x²的图象可以简称为抛物线y=x²；抛物线y=x²开口向上；抛物线y=x²的对称轴是y轴(直线x=0)；与抛物线的交点是抛物线的顶点，坐标是(0，0)． 函数y=x² 图象的顶点也是这个图象的最低点． 设计意图：通过实际画图、观察、探究图象的特征，得到相应的结论，让学生体会数形结合思想，通过图象可以读出数学意义，对图形语言、文字语言、符号语言的转化更加熟练． 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答．然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程． 例1：设正方形的边长为a，面积为S，请写出S与a之间的函数表达式，并画出其图象． 分析：根据正方形的面积公式可得，S=a²．再由列表，描点，连线画出其图象． 解：根据正方形的面积公式可得，S=a²． 列表： 描点、连线： 设计意图：通过典例讲解，进一步了解二次函数y=x²的图象和性质． 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解． 1．点A(-4，16)在二次函数y=x2的图象上吗?请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标．点B，C，D在二次函数y=x2的图象上吗? 2．若点(a，b)是抛物线y=x2上任意一点，试说明其关于y轴的对称点(-a，b)也在抛物线y=x2上． 答案： 1．解：当x=-4时，y=(-4)2=16，满足y=x2，所以点A(-4，16)在二次函数y=x2的图象上． 点A关于x轴的对称点B的坐标为(-4，-16)，不满足y=x2，所以不在二次函数y=x2的图象上； 关于y轴的对称点C的坐标(4，16)，满足y=x2，所以在二次函数y=x2的图象上； 关于原点O的对称点D的坐标(4，-16)，不满足y=x2，所以不在二次函数y=x2的图象上． 2．解：法1：∵抛物线y=x2图象关于y轴对称，∴点(a，b)关于y轴的对称点(-a，b)也在抛物线y=x2． 法2：∵点(a，b)在抛物线y=x2上，∴b=a2．而关于y轴的对称点(-a，b)也满足b=a2．∴点(a，b)关于y轴的对称点(-a，b)也在抛物线y=x2上． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯． 学科网（北京）股份有限公司 $