河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（5）---指对幂函数

**基本信息** 聚焦指对幂函数核心内容，通过基础辨析与综合应用，考查数学抽象、运算推理及问题解决能力，适配新高三暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域（题1）、集合运算（题2）、指对幂函数比较大小（题3）|基础概念辨析，突出数学抽象| |多选题|3/18|指数对数运算（题10）、函数性质（题11）|多角度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|函数求值（题12）、奇偶性（题13）、定义域含参（题14）|小切口深挖掘，强化运算能力| |解答题|5/77|幂函数解析式与奇偶性（题15）、指函数恒成立（题16）、单调性与不等式（题18）|综合应用，体现数学思维与问题解决|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（5） 范围：指对幂函数 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 8．函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 10．下列各式运算正确的有（     ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的最小值为 C．函数的递减区间是 D．若幂函数过点，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．若函数，则________． 13．已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 14．若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 16．(本小题15分）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．(本小题15分）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 18．(本小题17分）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 19．(本小题17分）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B C A B ABC BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】要使函数有意义，需满足真数大于0，即，解得， 因此函数定义域为. 2．D 【详解】对于不等式，对数定义域要求； 不等式变形为，因为是单调递增函数，因此，即；，解不等式得，因此，所以. 3．A 【详解】由对数函数的性质可知，由指数函数的性质可知，， 所以. 4．D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，，所以. 综上可得.故选项D是错误的. 5．B 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点，所以， 所以，即得 6．C 【详解】因为，所以，又因为，故. 7．A 【详解】设，的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 8．B 【详解】要使在上单调递增， 因为外层函数在上单调递增， 所以只需求内层函数在上单调递增， 又因为内层函数是二次函数，开口向上，其对称轴为， 所以，解得根据函数定义域有，结合单调区间等价于对所有恒成立，即综上，取两个条件的交集，得. 9．ABC 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 10．BCD 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，将所有根式化为分数指数幂，，故C正确； 对于选项D，用换底公式计算：，D正确. 11．AD 【详解】A：因为函数的定义域为， 所以有，因此函数的定义域为，因此本选项说法正确； B：因为，所以，因此函数的最大值为，因此本选项说法不正确；C：由，或， 所以该函数的定义域为，显然区间不是该函数定义域的子集，所以区间不可能是该函数的单调区间，所以本选项说法不正确； D：因为幂函数过点， 所以，所以本选项说法正确. 12． 【详解】易知，所以. 13．/0.5 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即，故，所以. 14． 【详解】依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． 15．【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）为奇函数， 证明如下：定义域为，，故是奇函数. 16．【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以，又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，，因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立，即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减，所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 17．(1)或 (2)【详解】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得，所以， 所以或，解得或； （2）由，且，若，则，， 若，则，，综上，的取值范围是． 18．【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即，所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为，若，则即不等式解集为.综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 19．【详解】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $