第29章 圆 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册圆的核心内容，以基础概念、性质应用、综合探究为梯度，融合输水管道、垂钓园设计等现实情境，适配单元复习检测，有效发展几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/24分|等弧定义、圆周角识别、直径性质|如第1题辨析等弧概念，夯实基础| |填空题|10题/30分|圆锥侧面积、动态等腰三角形、平行弦距离|第16题结合点运动考查等腰三角形存在性，体现动态思维| |解答题|9题/96分|切线证明、阴影面积计算、实际问题建模|26题以输水管道为背景计算水面宽度，27题探究木桥最长距离，发展模型意识与创新应用|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—圆 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版 2024九年级上册第29章—圆 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．半圆是弧，弧是半圆 D．面积相等的两个圆是等圆 【答案】D 【分析】本题考查了等弧和等圆概念的理解． 半径相等的圆是等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．据此求解即可． 【详解】A．选项中并没有保证两弧在同圆或等圆中，所以单纯长度相等无法确定是等弧，不符合题意． B．选项中并没有保证两弧在同圆或等圆中，所以单纯圆心角相等无法确定是等弧，不符合题意． C．并非所有的弧都是半圆，不符合题意． D．两个圆面积相等，意味着半径相等，所以是等圆，符合题意． 故选：D． 2．（本题3分）如图，是的直径，点，在上．若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 连接，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等证明，最后根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 故选：． 3．（本题3分）如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】过点O作于点C， 则 ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 4．（本题3分）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【详解】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的都不是圆周角，C中的是圆周角， 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 5．（本题3分）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 6．（本题3分）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可． 【详解】如图，延长，分别交于M，N， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 7．（本题3分）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（本题3分）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理与垂径定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与垂径定理． 连接，先根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，    ∵于点C，， ∴， 在中： ∴． ∴的半径长为5． 故答案为：5 10．（本题3分）把一张半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是______． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的底面积．根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，求出底面圆的半径，即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得． ； 故答案为：． 11．（本题3分）如图，点A，B，C，D在上，，A是的中点，若，则的长是_____________． 【答案】 【分析】连接，先求得，再利用弧长公式解答即可． 本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长是，则圆锥的底面半径________． 【答案】 【分析】先设圆锥的半径为r，再表示求出圆锥的底面圆的周长，根据弧长公式计算即可．本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：设圆锥的半径为r， 圆锥的底面圆的周长， 则， 解得，， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，为弦中点，点是弧的中点，，杯内水面宽，则圆的半径的长是___________．    【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接并延长，交圆于点，，，    ∵，C为弦中点， ∴，， ∴平分， ∵为的中点， ∴点，重合， ∴，，三点共线， 设圆的半径为，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：5． 14．（本题3分）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，判断出与是等底等高的三角形，掌握扇形的面积公式是解题关键．如图：连接，根据已知条件可得是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴与是同底等高的三角形， ∴． 故答案是：． 15．（本题3分）如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是__________．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并结合扇形内点的位置分析角的取值范围．先根据圆周角定理，结合点在扇形内的位置，确定的取值范围． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 当点在优弧上时，； 当点在上时，,    若点接近点，则的度数接近，即的度数接近， 所以的取值范围是． 故答案为：． 16．（本题3分）如图，为半圆的直径，，点O到弦的距离为2，点P从B出发沿方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接，经过_____秒后，为以为腰的等腰三角形． 【答案】1.4或2 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定．作于D，如图，根据垂径定理得，在中利用勾股定理计算出，则，然后分类讨论：当时，作于E，连接，根据圆周角定理得，利用勾股定理计算出，再利用面积法得，则，接着在中，根据勾股定理计算出，由于，所以，则；当时，则，此时． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 当时，作于E，连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 当时，，此时， 综上所述，或 故答案为：1.4或2． 17．（本题3分）已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为__________． 【答案】 2或14 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2），           故答案为：或14． 18．（本题3分）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 三、解答题（共96分） 19．（本题8分）如图，点A，B，C，D在上，．求证：．    【答案】 证明：∵在上，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查弦和弧的关系，根据等弧对等弦得到，进而求解即可． 【详解】略 20．（本题8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握作旋转图形及扇形的面积是关键． （1）分别作出点A与点B绕点C顺时针旋转后的对应点D与点E，连结，和即可； （2）根据勾股定理求得，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，     线段在旋转过程中扫过的图形面积为． 21．（本题10分）如图，在中，圆心角，． (1)求的长； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查求弧长以及不规则图形的面积，熟练掌握基本公式是解题关键． （1）先求出半径，再直接利用弧长公式求解即可； （2）先求出扇形的面积，再减去直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵圆心角，． ∴，且， ∴， ∴的长为：； （2）解：扇形的面积为：， 直角三角形的面积为：， ∴阴影部分拱形面积为：． 22．（本题10分）如图，已知为直径，是弦，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵为直径，是弦，且， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理的应用，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由垂径定理可知，据此即可求证； （2）设的半径为，则，可得；根据即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则， ∵， ∴ ∵为直径，是弦，且， ∴ ∵， ∴， 解得： 23．（本题10分）如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，E是的中点，求阴影部分面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】由等边对等角得，再根据同弧所对的圆周角相等得，即可证明结论； 根据垂径定理求得，设为x，则得，利用勾股定理求出的半径，再利用三角函数求出对应度数，即可求出阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）∵，为直径， ∴， ∵E是的中点， ∴． 设为x，则， 在中，，即，解得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、垂径定理、勾股定理、锐角三角形函数和扇形面积公式，熟练掌握圆的性质和定理是解答本题的关键． 24．（本题12分）如图，是的直径，点C，D是上的点，，分别与，相交于点E，F． (1)求证：点D为的中点； (2)若，，求的直径． 【答案】(1) 证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即是的中点． (2)的直径为10 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）， ， 在中，， ， ， 则， 的直径是10． 25．（本题12分）如图1，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆的切线的性质和直径所对的圆周角是直角，推出，再结合等边对等角的性质，得出，再利用圆周角定理证明即可； （2）连接、，延长交于点，根据等弧可得，进而得出垂直平分，证明四边形为矩形，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：是的切线， ． ． ， 是的直径， ． ， ． ， ． ， ， ． （2）解：如图，连接、，延长交于点， ， ． ， 垂直平分， ，． 四边形为矩形， ． ． ， 在中，， ． ． 26．（本题12分）如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． (1)求的长度； (2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查圆的垂径定理、正方形的性质，求弓形的面积等，能够画出辅助线是解题的关键． （1）连接，，作于点，交于点，并结合正方形的性质，得到，通过平行线间的距离处处相等，得到，再根据垂径定理求解即可； （2）过点作，连接，，先根据垂径定理求出、的值，再通过三角函数的计算推出，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，作于点，交于点， ∵正方形，正方形水平放置在地面，正方形边长均为， ∴， ∴， ∵圆心与地面的距离为， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）如图，过点作，连接，， ∵，， ∴，， ∵，根据勾股定理求得， ∴， ∴，， ∴， ， ∴阴影部分的面积为． 27．（本题14分）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)木桥长度的最大值为米． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，构造出辅助线，找到线段之间的关系． （1）根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立，即可求解； （2）由题意可得，是的中位线，，由为的中点可得，再根据，即可求证； （3）连接，取的中点，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可得，从而确定当点在的延长线上时，最大，最大为，取的中点，连接，则是的中位线，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立， 则，即长度的最大值为； （2）解：∵、分别是、的中点，点是的中点 ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，连接，取的中点，连接，如图： 由题意可得，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵的半径为米， ∴米， ∴米，米， ∵ ∴当点在的延长线上时，最大，最大为， 取的中点，连接，则是的中位线， ∴，米， 在中，米，米， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵米，点是的中点，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴最大为米 答：木桥长度的最大值为米． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年九上单元测试—圆 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版 2024九年级上册第29章—圆 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列说法中，正确的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．半圆是弧，弧是半圆 D．面积相等的两个圆是等圆 2．（本题3分）如图，是的直径，点，在上．若，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列图形中的是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）如图，在中，于点C，若，，则的半径长为_________．    10．（本题3分）把一张半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是______． 11．（本题3分）如图，点A，B，C，D在上，，A是的中点，若，则的长是_____________． 12．（本题3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长是，则圆锥的底面半径________． 13．（本题3分）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，为弦中点，点是弧的中点，，杯内水面宽，则圆的半径的长是___________．    14．（本题3分）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，则阴影部分的面积是______． 15．（本题3分）如图，已知扇形，点D为圆弧上一点，且的度数为，若P为扇形内一点，则的取值范围是__________．    16．（本题3分）如图，为半圆的直径，，点O到弦的距离为2，点P从B出发沿方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接，经过_____秒后，为以为腰的等腰三角形． 17．（本题3分）已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为__________． 18．（本题3分）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 三、解答题（共96分） 19．（本题8分）如图，点A，B，C，D在上，．求证：．    20．（本题8分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 21．（本题10分）如图，在中，圆心角，． (1)求的长； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 22．（本题10分）如图，已知为直径，是弦，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 23．（本题10分）如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． (1)求证：； (2)若，E是的中点，求阴影部分面积． 24．（本题12分）如图，是的直径，点C，D是上的点，，分别与，相交于点E，F． (1)求证：点D为的中点； (2)若，，求的直径． 25．（本题12分）如图1，四边形是的内接四边形，连接、，是的直径．过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求的半径． 26．（本题12分）如图是输水管道的截面示意图，正方形，正方形水平放置在地面上，点，在上．已知的半径为，正方形边长均为，圆心与地面的距离为． (1)求的长度； (2)如图，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度为，求阴影部分的面积． 27．（本题14分）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $