5.1 导数的概念-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

第5章 导 5.1导数的概念 5.1.1平均变化率 白题基础过关 1.A解析：f(x)=x+sinx在区间[0，π]上的平均变化率为 m)-f0)_+sinm-0-sim0-1.故选A π-0 T 2.D解析：从1=1秒到2=2秒这段时间里的平均速度为 s(2)-(11-3故选D, 2-1221241 3.C解析：因为f(x)=2x+1,所以f代-3)=-5，f(-1)=-1,f(0)=1, f(5)=11,所以函数f代x)=2x+1在区间[-3，-1]上的平均变化率 a-1)-3).-1+5-=2,函数f代x=2x+1在区间[0,5]上的平 -1-(-3)1 2 均变化率6=5)f0)11-1 5-05-0 2,所以a=b.故选C. 4.B解析：对于A,y=2在[-1,0]上的平均变化率为0-1， 0-(-1) 对于B,y=在[-1,0]上的平均变化率为0(-1) =1, 0-(-1) 对于C,y= 71 (合) 2 在[-1,0]上的平均变化率为 =-1, 0-(-1) 对于D,y=2在[-1,0]上的平均变化率为。22 故y=x3在[-1,0]上的平均变化率最大.故选B. 5.C解析：作出函数f(x)=ln(x+1)的图象， 如图所示由图可知曲线上各点与坐标原点 的连线的斜率随着x的增大而减小.由1<2< 300,,32 1-0 2-0 1 g,故选c 2 6.2x2-x(答案不唯-）解析：设x)=ar2+bxte,则1+A)f) 1+△x-1 a(1+ax)2+b(1+Ax)tc-(a+b+C）=aAx+2a+b,由题意知 △x {=2,解得a-2,显然c的取值不改变结果，不妨取c=0,则 (2a+b=3, b=-1, f(x)=2x2-x.故答案可以为2x2-x. 18懈标：因为04g810,8 .90-40 160-90 275-160 2=14,25-20 =23, 437.5-275-325,所以本月销售收入的平均增长率越来越大故 30-25 选B. 8.BC解析：在0到o范围内，甲、乙的平均速度都为=0，故A错 误，B正确； 在0到范围内，甲的平均速度为20，乙的平均速度为0，因 t1-to t1-to 为2-50≥91>0,1-0>0，所以2010，放C正确，D错误 t1-to t1-to 故选BC .号解析：f()在[，1上的平均变化率为5， △x )-万，八x)在[1，]上的平均变化率就是直线AB x2一x1 的斜率1心kB=3,故直线AB的倾斜角为写 参考答案 数及其应用 5.1.2瞬时变化率—导数 白题基础过关 1.B Ay 解析：因为y=22-2,所以m, 1a-2（2）a2ax 1 3 △x =马2A(分4+1)小 1,即曲线C在点P处的切线的斜率为1，则倾斜角为45°.故选B. 2.-1解析：mA， Ay=limf(1+Ax)f(1) 21+P6I+42-a △x ima（△x）3+（3a+b）（△x）2+(3a+2b）△=im[a(△)2+(3a+b)· △x △x+3a+2b]=3a+2b,即f(x)在x=1处的切线斜率为3a+2b, 又f(1)=a+b,所以f(x)在x=1处的切线方程为y-(a+b)= (3a+2b)(x-1),即(3a+2b)x-y-2a-b=0, 由题知f(x)在x=1处的切线方程为7x-y-4=0,所以 3a+2h=7,解得0所以a-b=-1.故答案为-1 l-2a-b=-4,1 b=2, 22 aD舞指：空-6》-a 2 △ A423(3+a）所以 与公品马【】名故速D △S 4.B解析：因为0=1.4+0.32，te[0,12],所以m 1410△)+03(00+92-14-30- 7.4a+0.3(△)2- △t △t m(7.4+0.3△)=7.4，即=10s时，“高原版”复兴号动车的加速度 为7.4m/s2.故选B. 5B折：南马-氵6号放选且 6.B解析：函数的平均变化率为Ag-1+4r)-f)_(△)2+2Ar。 △x △x △x △x+2,当△x趋近于0时，2+△x趋近于2，即f(x)=x2在x=1处的导 数为2.故选B. 7.8解折：因为ima+24)a）=25ma+2A)a- x+0 Ax A 2△x 2f'(a),又f'(a)=4,所以im a+2△r)fa=8,故答案为8 △x 8.ABD解析：对于A∫'(xo)不存在时，曲线y=f(x)在点(xo(xo) √x+Ax-压 处不一定没有切线，如f(x)=丘，则∫()=画，△r x 1 A(W+Ax+y/+A+N左2左' =1,当x=0时f”(0)不存 在，但曲线在该点处的切线方程为x=0,故A错误； 对于B,由A可知，曲线y=f代x)在点(xo(x0)处有切线时，f'(xo) 不一定存在，故B错误； 对于C,当∫'(xo)存在时，根据曲线在某点处的导数几何意义知，y= (x)在点(x0(x0)处的切线斜率存在，即为∫(xo),故C正确； 对于D,当曲线y=f(x)在点(xo∫(xo)处的切线斜率不存在时，曲 线在该点处也可能有切线，此时切线垂直于x轴，故D错误 故选ABD. 9.C解析：因为切线方程为3x-y-2=0,可知当x=1时，y=1,且切线 斜率为3，即f1)=1f'(1)=3,所以f1)+f'(1)=4.故选C. 10.B解析：由导数的几何意义可知，∫(1)<0，由题图可知，f(1)>0, 所以∫'(1)<f1),故A成立； 由题图可知，f'(5)>0,f(5)>0,但不确定f'(5)与f(5)的大小关系， 黑白题077 故B不一定成立； 由题图可知，f'(2)=f(2)=0,故C成立； 由题图可知，函数在区间[2，+∞)上的切线斜率为正，且切线越来 越陡，即切线斜率越来越大，所以∫'(3)<f'(4)<f'(5),故D成立 故选B. 5.1阶段综合 黑题 阶段强化 1.C解析fx)=1+-一(As>0)表示)在[1,1+4r]上 △x 的平均变化率.故选C 2.BD解析：因为S(t)=32+2在t∈[1,6]上单调递增，所以S(t)≤ 3×62+2=110,故A错； 该物体在[1,4]内的平均速度为3(4)-SD_3×16+2-3-2-15,故 4-1 3 B正确； 又S'(t)=im 2-2-马3a26-（a+ △t 6t)=6t,则该物体在t=5时的瞬时速度是S'(5)=30,故C错； 该物体的速度和时间t的关系式是u(t)=S'(t)=6t(1≤t≤6)，故 D正确.故选BD. 3D解桥：由导函数的定义得f(x)=m+)九」 △x *4(21 21 x 11 m。 △x x+Ar子故选D 4.B解析：根据导数的儿何意义，如图，∫'(1)，∫'(3)分别表示在点 4(1(1),B(3,f(3)处切线的斜率，又k=3)四_ 3-1 3)fD,由图可知(3)<3))c(1).故选B. 2 2 xo+△x)-f八x0-△x) 5.D解析：因为函数f代x)在x=x0处可导，则im △x0 f(xo+Ax)-f(xo)+f(xo)-f(xo-Ax) f(xo+Ax)-f(xo) m △ △x nf代xo-△x)-f(xo) -△x =2f'(xo).故选D. 6.2解析：因为f'(x)=a,所以f'(1)=a=2,故答案为2. (+aa）-(） 7.2 解析：(x)归 △x △x △x+x(+Ad limo Ax 以曲线在：处的切线方程为y-(6名) ()-o.将=0y-2代入得2-（） (1+写)-)，解得=1，则=1+名-2故答案为2 x 8.解：(1)因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[2024,2025]上的平均变化 率为2025)2024)=20252-2024=(2025-2024)×(2025+ 2025-2024 2024)=4049. （2)由)=，有f()=鸟+a2子 （△x)2+2x△x △x △x 选择性必修第一册·SJ im(△x+2x)=2x,从而f(2)=22=4,f'(2)=2×2=4,则切点坐标为 (2,4),切线斜率为4，所以曲线y=f代x)在点(2(2)处的切线方程 为y-4=4(x-2),即y=4x-4. (3)易知直线x=2与曲线y=∫(x)不相切，故设切点为(x0,x好) (*2),则由f()=6-0司 0-2可得20= 2,即x0(0-4)=0,解得 x0=0或x0=4, 当x0=0时，切点为(0,0)，f'(xo)=2x0=0,此时满足题意的切线方 程为y=0,显然它过点(2,0)， 当x0=4时，切点为(4,16)∫'(x0)=2x=8,此时满足题意的切线方 程为y-16=8(x-4),即y=8x-16,显然它过点(2,0)， 综上所述，满足题意的切线方程为y=0或y=8x-16, 四易错提醒 注意“在点P处的切线”与“过点P的切线”的区别： “在点P处的切线”：点P为切点； “过点P的切线”：点P为切线上一点，不一定是切点 压轴挑战 2解析：根据题意可知，将P(1,2)分别代入两曲线方程得到2=1+ a,2=1+b+c 两个函数的导函数分别是f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b,又f'(1)=3+ a,g'(1)=2+b,则3+a=2+b, 解得a=1,b=2,c=-1,所以a+b+c=2.故答案为2. 5.2导数的运算 5.2.1基本初等函数的导数 白题 基础过关 1.ABC解析：对A,(4)'=0,故A错误； 对B,(h)士故B错误， 对C,(3)'=3*·ln3,故C错误； 对D,(x5)'=5x4,故D正确. 故选ABC. 2.A解析：因为f(x)=cosx,所以f'(x)=-sinx,所以f' () 下5故选入 -sin3=-2 3.A解析：易知r()=2n2,所以1m2+)-2）=”(2) △x 22n2=4ln2.故选A 4.A解析：因为f(x)=x3,所以f'(x)=3x2,又f(x0)=3,所以3x=3, 所以x0=±1.故选A. 1 5.e片解析：因为f(x)=吧m*,则f'(x)=hm所以f'(1) ,1=-2,解得m=e分故答案为ez. In m 6.0解析：因为f(x)=3x2,则f(2)=12,因此[f(2)]'=0.故答案为0. 7.A解析：因为y=sinx,所以y=cosx,设P(xo,sin),则以P为切 点的直线1的斜率k=cosx0∈[-1,1]， 当e-1,o)时，直线1的倾斜角6e[于）片 当e01时，直线的斜角0=0，] 综上，直线的领斜角00，：]~[要)故选人 息BCD解折：对于A,由人)号，可得)0()无 解，所以A不符合题意；对于B,由f(x)=x,可得f'(x)=4x3, ∫(x)=2有解，所以B符合题意；对于C,由f()=0sx,可得 f()=-血()=子有解，所以C符合题意；对于D, 黑白题078第5章 导数及其应用 5.1导数的概念 5.1.1平均变化率 白题 基础过关 限时：25min 题组1平均变化率的计算 6.(2025·陕西咸阳高二月考)已知二次函数 1.（2024·江苏连云港高二月考)函数f(x)= f(x)从1到1+△x的平均变化率为2△x+3,请 x+sinx在区间[0，T]上的平均变化率为 写出满足条件的一个二次函数的表达式 ( f(x)= A.1 B.2 C.π D.0 题组2、平均变化率的应用 7.下表为某大型超市本月的销售收人情况表，则 2一质点按运动方程s()=(s的单位为米，1 本月销售收入（万元）的平均增长率 ( 的单位为秒)做直线运动，则其从t,=1秒到 日期 5 10 15 20 25 30 2=2秒这段时间里的平均速度（单位： 销售收入 20 40 90 160 275 437.5 米/秒)为 ( A.一样 B.越来越大 A.-1 C.-d D.3 C.越来越小 D.无法确定 8.（多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围 3.设函数f(x)=2x+1在区间[-3，-1]上的平均 内路程的变化情况，下列说法正确的是() 变化率为a,在区间[0,5]上的平均变化率为 b,则下列结论中正确的是 A.a>b B.a<b C.a=b D.不确定 4.下列函数中，在区间[-1,0]上的平均变化率 最大的是 ( A.在0到t。范围内，甲的平均速度大于乙的 A.y=x2 B.y=x3 平均速度 c=(广 D.y=2 B.在0到t。范围内，甲的平均速度等于乙的 平均速度 5.(2025·江苏盐城高二期末)已知函数f(x)= C.在t。到t1范围内，甲的平均速度大于乙的 n(+1).则)2/的大小关系为 平均速度 D.在t。到t1范围内，甲的平均速度小于乙的 平均速度 A0<2Rg2 3 9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=f(x)的 图象上，若函数f(x)在[x1,x2]上的平均变化 c. 率为√3，则直线AB的倾斜角为 第5章黑白题105 5.1.2瞬时变化率—导数 白题 基础过关 限时：25min 题组1曲线上一点处的切线 6.(2025·安徽合肥高二期末)f(x)=x2在x=1 1.(2025·江苏南京高二期末)已知曲线C:y= 处的导数为 分-2上一点P1,),则满线C在点P A.2x B.2 C.2+d D.1 处的切线的倾斜角为 ( ) 7. 已知函数f(x)在(-∞，+∞)上存在导数，且 A.30° B.45° C.60° D.120° f'(a)=4,则1im (a+2△x)-f(a) 2.已知函数f(x)=ax3+bx2的图象在(1，f(1)) △x+0 △x 处的切线方程为7x-y-4=0,则a- 题组4导数的几何意义 b= 8.（多选)下列说法中错误的是 题组2瞬时速度与瞬时加速度 A.若f'(xo)不存在，则曲线y=f(x)在x=x0 3.如果质点A运动的位移S(单位：m)与时间 处没有切线 4(单位：)之间的函数关系是5()=-名，那 B.若曲线y=f(x)在x=0处有切线，则 f'(x)必存在 么该质点在t=3s时的瞬时速度为( C.若∫'(o)存在，则曲线y=f(x)在x=x处 R子 的切线的斜率存在 D.若曲线y=f(x)在x=x,处的切线的斜率 4.（2025·河北沧州高二月考)据报道，从 不存在，则曲线在该点处没有切线 2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车 9.(2025·安徽阜阳高二月考)已知函数f(x)的 组将上线新成昆铁路和达成铁路，最高运行 图象在点(1f(1)处的切线方程为3x-y-2= 时速达160千米，全列定额载客676人.假设 0,则f(1)+f'(1) () “高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速 A.8 B.3 度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v=1.4t+ C.4 D.-4 0.3t2,t∈[0,12]，则当t=10s时，“高原版” 10.(2025·湖南长沙长郡中学高二期末)已知 复兴号动车的加速度为 ( 可导函数f(x)的部分图象如图所示，f(2)= A.4.4m/s2 B.7.4m/s2 0,f'(x)为函数f(x)的导函数，下列结论不 C.17m/s2 D.20m/s2 定成立的是 题组3导数的定义与计算 5.(2025·江苏淮安高二期末)已知函数y= f(xo+△x)-f(xo） f(x)在x=xo处可导，且li 0 2345 △x+0 △x 3则r(等于 A.f'(1)<f1) B.f'(5)<f(5) 9 C.f'(2)=f(2) A. B. C.1 D. D.f'(3)<f'(4)sf'(5) 选择性必修第一册·SJ黑白题106 5.1 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：35min 1.(2025·江苏南通高二期末)已知函数f(x)=5.(2025·陕西榆林高二期末)已知函数f(x)在 ,则式子-(40)表示 (x+△x)-f(xo-△x) ( x=o处可导，则1im △x △0 △x A.f(x)在x=1+△x处的导数 ( B.f(x)在x=1处的导数 C.f(x)在[1,1+△x]上的平均变化率 0 B.) D.f(x)在[1-△x,1]上的平均变化率 C.f"(o) D.2f'(x) 2.(多选)(2025·江苏淮安高二期末)已知某物 6.已知函数y=f(x),其中f(x)=ax+4,若 体运动的位移方程为S(t)=3t2+2(1≤t≤ '(1)=2,则a的值为 6),则 7.（2025·山西运城高二期末)已知直线 A.该物体位移的最大值为100 y=x-2与曲线y=x-1相切，则6= B.该物体在[1,4]内的平均速度为15 8.(2025·江苏南京高二期末)已知函数 C.该物体在t=5时的瞬时速度是32 D.该物体的速度v和时间t的关系式是 f(x)=x2. (1)求f(x)在区间[2024,2025]上的平均变 v(t)=6t(1≤t≤6) 化率； 3.函数f(x)=2-的导函数f(x)=( (2)求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线 A.2 c.2+ 1 方程； (3)求曲线y=f(x)过点(2,0)的切线方程. 4.(2025·浙江温州高二期末)已知函数f(x)在 R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等 式正确的是 013 A3)I0(1)(3) 2 B.f(3)<3),f1）f(1) 2 压轴挑战Ⅱ C.f"(3)s"(1)<f3)f1) 已知两曲线f(x)=x3+ax和g(x)= 2 x2+bx+c都经过点P(1,2),且在点 D.1)<3)D"(3) P处有公切线，则a+b+c= 第5章黑白题107