3.3.2 抛物线的几何性质-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

(2)设A(x1,出1)，B(2,y2）,由(1)方程联立可知x2+(2b-4)x+b2= 0,名1+x2=4-2b,x1x2=b2.又：1AB1=8,且1AB1=√1+k2, √(x1+x2)2-4x1x2,8=W2×√(4-2b)2-46,解得b=-1,满足 △>0，直线1的方程为y=x-1. 重难聚焦 10.C解析：记直线1：y=4是抛物线的准线，过点P作PH1,垂足 为以，如图所示，则P1=1PH,r(0,）因为点P到：轴的距 离比点P到准线L的距离少子，所以d+1PQ1=PHI-冬+PQI= IPF1+1PQ1-4易知当Q,P,F三点共线时，d+1PQ1最小，且最小 值为3)+(？2子c Q3,元 y= (第10题) (第11题) 11.12解析：设抛物线的准线为1，则1：x=-1.如图，过点P作1的垂 线，垂足为E,过点A作l的垂线，垂足为S,则1PE1=IPF1,又因 为IPF1+|PA1≥|AE1≥|ASI=12,当且仅当A,P,S三点共线且点 P在点A,S之间时等号成立，故1PF1+IPA1的最小值为12.故答案 为12. 黑题应用提优 1.B解析：由抛物线的定义，可知1MF1=)+号，210F1=p,因为 1MF1=210F1,所以0+号=p,即0=号，由点M(,4)在C上，得 16=2px,结合p>0,解得p=4.所以C的方程为y2=8x.故选B. 2.B解析：由题意，设抛物线方程为y2=2px且p>0,显然点(1,3)在 范物线上，所以印=9，则号-}，故焦点P的坐标为(？，0）故 选B. 3.A解析：设A(x1,y1),B(x2y2),C(x3,3), 由题意得抛物线焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1. 因为Fi+F+F元=0，所以x1+x2+x3=3,所以Fi+1F+F元1=x1+ 1+x2+1+x3+1=名1+x2+x3+3=3+3=6故选A. 4.ABD解析：抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),而0=√3×(1-1)， 所以直线1过点F,故A正确；设直线1的倾斜角α，因为直线l:y= 月(-1)的斜率为k=ma=5,0≤a<m,所以a=牙，即直线1的 候斜角为号，放B正确：因为∠FPM=a=号，故C错误；因为点P 在抛物线上，由范物线定义可知，P=1PW1,又因为∠PM=子 所以△FPM是等边三角形，故D正确.故选ABD. (第4题) (第6题) 选择性必修第一册·SJ 5.3解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),因为M(2,2)为AB的中点，所以 x1+x2=4,1+y2=4, 行=2p1两式作差得7乃=2(x1),所以 y2=2px2, 42)归2px,所以本=号，则y=1.因为直线 过M(2,2),代入得p=3.故答案为3. 6。√2解析：设P(x,y),由抛物线方程x2=4y,得焦点F(0,1),准线l: y=-1,点E(0,-1)为准线与y轴的交点，作PQ⊥1于点Q,则 I1PQ1=1PF=y+1,1PE1=V+(+1)=V4+(+1严，则PEI IPFI W4y+(y+1)7 4y+(y+1)Z y+1 (y+1)2 =/1+4y 46 LV(y+1)2=+1.2 y+ y 4 1+ 1 ,当且仅当y=宁即1=1时取等号，所以 2/y· -+2 IPE1的最大值为反.故答案为5. IPFI 解：(1)由题意可知，准线1的方程为=一分，由点P到直线1的距 离与其到x轴的距离都等于2可知，P(2号，±2)，因为点P在C 上，所以2（2-号）（±22，整理得2-40+4=0，解得p=2,故C 的方程为y2=4x (2)由(1)可知，F(1,0),则1QF1=1,由题意可知，直线AB的斜率不 为0，设其方程为=网+2,4(，)，B(,2),由红，消去 (x=my+2, x整理得y2-4my-8=0,则4=16m2+32>0,可得为1+y2=4m,y12= -8,所以1y1y2l=√(y+y2)2-4y1y2=4√m2+2.又因为△ABF的 面积为3，所以子0F1x11-21=3,即之X1×4V7=3,解 得m=±2，故直线AB的斜率为±2 压轴挑战 [1,2)解析：如图，由题意可得，圆x2+(y-1)2=1与x2=2py(p>0)只 有-个交点0(A),联立方程{21，消去x得2+2(p1)y= 0,解得y=0或y=2(1-p),故2(1-p)≤0，则p≥1； 圆x2+(ya)2=4(a>2)与x2=2py(p>0)只有两个交点，联立方程 +-a)2=4,消去得y产+2(p-a)y*2-4=0,a2-4>0,若广 x2=2py, 2(p-a)y+a2-4=0有根，则两根同号. 根据题意可知y2+2(p-a)y+a2-4=0有且仅有一个正根，故 4=4(p-a)2-4(2-4)=0,则可得p+4=2>2p,解得0p<2 (a-p>0, 综上所述，p的取值范围为[1,2).故答案为[1,2). x2=2p O4) 3.3.2抛物线的几何性质 白题 基础过关 1.AD解析：对选项A,y2=-2x,开口向左，故A正确；对选项B, =-2x,焦点为(0），故B结误：对选项C,=-2,准线方程 黑白题042 为x=?,故C错误；对选项D,y2=-2,对称轴为x轴，故D正确故 选AD. 2.A解析：把A(o,2)代人抛物线方程中，得2=号X号→0=士4因为 该抛物线的对称轴为纵轴，所以抛物线y=82上一点A(0,2)到 其对称轴的距离为4.故选A. 3.D解析：：设P为抛物线的任意一点，则点P到焦点的距离等于 点P到准线x=一号的距离，显然当点P为抛物线的顶点时，点P到 准线的距离取得最小值号号>1，即p>2故选D 4.C解析：如图， :101=10B1,A,B两点关于y轴对称，设A(-a,受)，B(e, 2 -=123,解得a=23,B(23,6), am0=233 6=3,0=30°，.LA0B=20=60.故选C 5.0解析：因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称，直线x=m与x轴 垂直，所以y1=-y2,即y1+y2=0.故答案为0. 6.A解析：由抛物线y2=4x,可得p=2,设A(x1,y1),B(x2,2),因为 直线AB过抛物线的焦点，根据抛物线的焦点弦的性质可得IAB1= ++2=10,即+，=8，所以线段AB的中点横坐标为1=4 2 故选A. 7.D解析：抛物线E:x2=8y,焦点为F(0,2),过F的直线1交抛物线 于A,B两点，A,B到抛物线准线的距离分别为3,6，则由抛物线的定 义得|ABI=3+6=9.故选D. 3 8.D解析：由题设知抛物线焦点为 2,令x= 2, 则y2=9y=±3，故1AB=6.故选D. 四重难点拨 抛物线的通径长为2p 9.ABD解析：对选项A,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的 距离是4，所以p=4,F(2,0),故A正确；对选项B,当直线1的斜率 不存在时，l:x=2,所以x1x2=2×2=4,当直线1的斜率存在时，设： 2). 、→k2x2-(4k2+8)x+42=0,所以x1x2=4, 故B正确；对选项C,1AB1=1+x2+p=5+4=9,故C错误；对选项D, 如图所示， A(y) M B B(x2.y2) y2=4x 过A,B,M分别向准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,因为1AA11= IAFI,IBB I=IBFI,ABI=IAFI+IBFI=IAAI+IBBI= 21MM1I,即以AB为直径的圆与C的准线相切，故D正确.故 选ABD. 参考答案 四重难点拨 抛物线y2=2px(p>0)焦点弦的常见性质： 0= 41=-p2; ②AM1⊥BM1,A1F⊥B1F,M1F⊥AB; ③以AB为直径的圆与准线相切，以AF,BF为直径的圆与y轴相切； ④A,0,B1三点共线，B,0,A1三点共线 A(y) B(x2.y) 重难聚焦 10.D解析：根据题意，抛物线户=2：的焦点F(分，0），准线方程 1 1 x=2,如图，设直线PQ与准线交于点A(2,),由抛物线定 义得IPAI=|PFI,根据题意得∠QPR=∠FPR,∠QPR=∠PRF,所 以∠FPR=∠PRF,则IFRI=IPFI,所以IPAI=IRFI,且PA∥FR, 所以四边形APRF为平行四边形，则kR=kA5=-2= 、11,得 22 a=2,所以点P的坐标为(2,2).故选D (第10题) (第11题) 11.y2=3x解析：如图，过点A,B分别作准线1的垂线，垂足为E,D: 准线l与x轴交于点G,设1BF1=a,则1BC1=2a,由抛物线的定义 得1BF1=IBDI=a,|AE1=IAF1=3,所以在Rt△BCD中，∠BCD= 30°.在Rt△ACE中，∠ACE=30°，所以1AC1=21AE1=6,又因 为lACI=1AF1+1BF1+1BC1=3+a+2a=3+3a,则3+3a=6,解得a= 1所以1C1=2,1C1=3.1a1=1,由m/p心得0-18品即 12 3 p =了，解得p=2,所以抛物线方程为子=3x放答案为y尸=3x 黑题 应用提优 1.C解析：依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则通径2p=8,所 以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C 2.A解析：由抛物线方程知抛物线焦点为 号，0)，通径长为2印， 当AB垂直于女轴时，A,B两点坐标为(？，±P),此时 1ABI min=2p<2,且p>0,即抛物线的焦点弦中，通径最短，所以0<p< 1.故选A. 四重难点拨 通径是抛物线最短的一条焦点弦， 3.B 解析：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=,由 (=分可得两个交点的坐标分别为（受P),(台），所以 y2=2px, 1?,2=pP,当直线斜率存在时，设直线斜率为k,则直线方 黑白题043 (5）-号)清同限-空 2=2px, 乃，片（-p2)2综上可得，1=， 0,则y12=-p2,x1=2p‘2p4p2 4 12p2,所以42=p2 =-4.故选B, x1x2 p A 4.A解析：因为线段OP的垂直平分线1交C于A,B两点，所以结合 抛物线的对称性可得AB与OP互相平分，则四边形OAPB为菱形. 设点P(2u,0)且>0，则线段0P的垂直平分线1的方程为x=t,令1 与x轴交于点H,又因为∠OAP=120°，则在直角三角形OAH中， ∠0aH=士∠0AP=60,维而可得1=O-,所以A点坐标 33 为(），代人抛物线C=,可得写=8，解得1=24，在直角 三角形0Mn中，1041=211=2x号×24=16万，所以因边形0APB 的周长为410A1=64W5.故选A. H (第4题) (第5题) 5.B解析：由于以AB为直径的圆与抛物线的准线1相切，以AB为直 径的圆过点M(号，2)，可知AB的中点的纵坐标为2直线AB的 (y2=2px, 方程为y=号则 y=x p可得y2-2py-p2=0,则AB的中点的 2 纵坐标为号-2，解得p=2,该抛物线的方程为户=4红放选B 6.B解析：设A(x,y),且满足y2=2x,则1AB12=(x-3)2+y2= (x-3)2+2px=(x-3+p)2+9-(3-p)2,即当x=3-p时，1AB12的最小 值为9-(3-P)2=8,解得p=2或p=4(舍去)，即抛物线C:y2=4x,焦 点F(1,0),设P(1y1),Q(x2,y2),则1PQ1=x1+x2+2=8,即x1+ x2=6,即线段PQ的中点的横坐标为3.故选B. 7.ACD解析：如图所示，易知F(?,0),设A(x),B(2),直 线AB的方程为y=(-分）即x=太+号，其中=m0,0e (0,)联立 (y2=2px, 2,靠理可得户-号-2=0，可得+ x=ky+2 空=p,则+=名（+)+p(层+1= 片.经卫 2p2p4 对于A,设C(),D(,),易知直线CD的斜率为名，方程 为y=(号)，即x=-+号，同理可得+4=-2，= ,+=p(22+1),=号，所以0.0励=+=日 p2=4p2,可知A正确； 对于B由焦点孩公式计第可得1481=+*p(层+1）p 选择性必修第一册·SJ 2p(+D,1CD1=tx4+p=p(2R+1)+p=2p(2+1),因为AB1 C0,可得四边形AC0面积为S=号1A81C01:号代》， k2 )=9-g(e+层+2）≥0 (2,P·石+2）-8，所以四边形4Cm面积的最小值为8， 即B错误； 1 1 1 1 k2+1 对于C,由B可知AB1GD12p(2+12p(k2+1)2p(2+1) k2 即C正确： 对于D,若M11B1=4,可得(+号)(+号)=与 号号-号+片82，号=，即可得 442 4k2 牡4，解科兮即-得或得（会）.因皮直线极的领 斜角为30°，所以直线CD的倾斜角为120°，即直线CD的斜率为 tan120°=-√3，即D正确.故选ACD. 个y (第7题) (第9题) 8.5解析：设P(x,y),则P=(2-x,-y),P=(3-x,y),从而PM。 P=(2-x)(3-x)+y2=x2-5x+6+y2. 因为点P在抛物线C上，所以y2=3x,所以P.P=(2-x)(3-x)+ y2=x2-5x+6+3x=x2-2x+6≥5，当且仅当x=1时取等号.故答案为5. 3 9. 解新：由题意得F(号.0)，因为直线MD垂直于辅，D(, 2 O),所以点M的横坐标为P,设M(x1,y1),N(x2y2),根据抛物线的 定文知1MP=+号=3，解得n=2,则C:=4,则P1,0, x1=2.设直线MW的方程为x-1=my,联立抛物线方程有 ,1=m可得y子-4my-4=0,4=16m2+16>0,1=-4,则 (y2=4x, （22=16c名=16，则32，=16，解得=号，则11=+号 子+1：号故答案为号 1 .3 压轴挑战 BC解析：抛物线)4和y三6子+5的对称轴都为y轴，因此封 闭菌线B关于)销对称，且抛物线)=石45的图象与了轴交点的坐 标为(0,5). ② A.如图①，任意a∈(0,5)，点A(0,a)在y轴上，在曲线E上取关于y轴 黑白题044 对称的两点M,N,则有IAMI=IANI,故A正确： B.如图②，过点A作垂直于y轴的直线与曲线E的交点M,N关于点A 对称，故B正确； C.由 得∫x=-4,成x=4所以C(-4,4）,D(4,4). (y=4, 取a=1,即4(0，)，港物线y=2可化为=4，焦友为4(0,1)，准 线方程为y=-1,点M(,)在y=2(0≤y≤4)上运动时，0≤≤4，由 抛物线上的点到焦点距离与它到准线距离相等得IMA1=s+1∈[1,5]. 范物线y=6+5可由范物线y=6产向上平移5个单位长度而 得，抛物线y三6子可化为=-16，焦点为(0，-4)，准线方程为y户 4,则抛物线y=6+5的焦点为4(0,1)，准线方程为y=9,点M:,) 1 在)=645(4≤y≤5)上运动时，4≤≤5，由范物线上的点到焦点 距离与它到准线距离相等得1MA1=9-se[4,5],因此当点M,N运动 时，1≤IMA1≤5,1≤INA|≤5，恒有IAMI+|ANI≤10，故C正确； D.取a=1,即A(0,1),直线y=1与抛物线y=42的两个交点关于点A 对称，在此抛物线上关于点A对称的两点只有一对，在抛物线y= 62+5上不存在两点关于点A对称若关于点A对称的两点分别在 y=和y=62+5上，不妨令M,2）,则点M关于点4(0， 1)对称的点(，2-号2）在y62+5上，面方程2-2 6245,即62.3无解，则此时不存在关于点4对称的两点分别 在两条抛物线上，故D错误.故选ABC. 3.3阶段综合 黑题阶段强化 1.A解析：因为抛物线的焦点(2,0)，准线方程为x=-2,点M在C 上，由M到直线x=-3的距离为8，所以M到推线x=-2的距离为 7,由抛物线的定义可知M到准线的距离等于它到焦点的距离，所 以IMF1=7.故选A. 4 2D解析：由题意，联立，解得{=0或 k2 y2=4x, (y=0 则A 4 y=k 冬），同理可得8（告，冬），所以181 8 k .抛物线C:y2= 4x焦点坐标F(1,0),直线AB经过抛物线的焦点F(1,0),则AB⊥ 轴，所以冬=1，解得2=4，解得11=2，所以1B1 8 k =4.故 选D. 3.C解析：因为点A(4,4)在抛物线上，所以16= 8p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则焦 点为F(1,0).又因为反射光线经过点A(4,4)及 F 4-04 焦点F(1,0),=k4-3,所以反射光 0 NB 4 线B的方程为y=3(x-1),联立抛物线方程得 1y2=4x, .1 4 4’所以反射 y=-1, 参考答案 光线AB与抛物线的交点为B 分)，由两点间距高公式可 得IAB= (44) +(441)2=25 ，所以反射光线所在直线被抛 物线做得的弦长为空故选C 4.D解析：由题意，设A(x1,y1),B(x2y2),由抛物线范围可知x≥0， 所以如图①，当点A在原点时横坐标有最小值，为0；由AB的中点M 在=1上，可知1=1，即1=2-，所以1≤2，即如图②，当点B 2 在原点时，点A横坐标有最大值，为2.故选D. 年1V 年1 5.AC解析：易知F(1,0),准线方程x=-1,不妨设l:x=y+1,与抛物 线方程联立有y2=4y+4→y2-4-4=0,4>0,所以y1+y2=4, 2=-4,而·名=4·经=1，故A正确；易知A1(-1,1) B1(-1,2),则A41市=(2，-y1),B1市=(2，-2)，显然A41市.B1市=4+ 2=0,即∠AFB,=7,放B错误；易知kn,=2,ko4 1-1 x1 yi 4 4,显然k0,=k,即A,0,B,三点共线，故C正确；由抛物线定义 y 1x1+x2+2 可知MP1=+1,B=+1→Bx由上知 名名=1，所以名2+2 名，+1，故D错误故选AC 四重难点拨 者8为苑线的东点位，测B号 2 (第5题) (第6题) 6.B解析：因为A,F,B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD. 由抛物线定义知MD1=M1=之MB1,所以LAD=30~因为F到 准线的距离为6，所以1AF1=IBF1=2×6=12.故选B. ?.B解析：抛物线y2=2p的焦点F(号，0），准线1的方程为x ?,过点P作PQ1L,垂足为Q,设△MPF周长为C,C=PA+ PF+AF=PA+PF+ (3-号)+12=PA+PF+g -3p+10,由抛 物线的定义可知Pp=PQ,因此C=PQ+MAP+-3p+10,当P,A,Q 三点在同一条直线上，即PA11时，C有最小值，C=3-气号)片 黑白题045 √4-3p+10=4+5,解得p=2.故选B. R OF 8.√5-2解析：由题意知0为线段BF的中点，又因为AB⊥AF,所以 10A1=10F1=1.设A(x0,0),则x品+=1.由A为C上一点，得= 4x0.将y=4x0代人x+y行=1，可得x+4x0-1=0,解得x0=√5-2（负 值已舍去)，则sLA0F=10A5-2故答案为5-2 (第8题) (第9题) 9.y=一4x解析：根据抛物线的对称性，不妨设点A在第二象限，因为 △MAF为正三角形，所以1AF1=1AM1=4.因为抛物线上的点到焦点 的距离等于该点到准线的距离，所以AM与准线垂直，所以∠MFO= a 牙，因此有F0=g-- 1MF2=4→a=-4,所以抛物线的方 程为y2=-4x.故答案为y2=-4x. 10.3 解析：如图，由i+=M,得+=-本.又因为F(1,0) 为M(3,0),A(-1,0)的中点，所以Wi+NM=2N7=-N2,即N为PF 的三等分点，且INPI=2INFI.又因为PQ∥MF,所以△NMFn △0P,且G-号房以1P0=21W-4不结设P代 0),且在第一象限，P=2,1PQ1=0+号=0+1=4，解得0=3，因为 点P(5o)在抛物线上，所以0=25，所以5am=号5 1.1 3°故答案为4 M 11.解：(1)方法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),1≠2，则乃=2x1, 月=242…片-3=241-242，化简得-2.2 AB的中点为 x1-x2y1+y2 P(1,1)心y2=2,--1,直线1的方程为y-1=x x1一x2 1,即y=x.经检验，符合题意. 方法二：设A(x1,少1)，B(x2,2),当斜率不存在时，显然不成立.当 斜率存在时，设直线1：y-1=k(x-1),显然k≠0，由 1=x-1)得22-(2-2k+2)x+(k-1)2=0,易知4>0， y2=2x. .x1x2= 2-2k+2AB的中点为P(1,1),+名=2，即 k2 选择性必修第一册·SJ 2-2+2=2,解得k=1,直线1的方程为y= k2 (2)由抛物线的定义可知IAF1+|BF1=x1+x2+p, 当斜率不存在时，直线l:x=1,∴.1AF1+BF1=3; 当斜率存在时，设直线1：y-1=k(x-1),显然k≠0，由 1=(x-1),得2-(22-2k+2)x+(k-1)2=0,易知△>0， y2=2x 心+p=22-2+2 +1= 2 时，AF+1BF的最小值为号综上，1hMF+1BFI的最小值为号 12.解：(1)由x2+(y-1)2=1可知圆心坐标为(0,1)，因为抛物线的焦 点与圆心重合，所以2P=1→p=2,所以抛物线的方程为2=4y (2)02,消去x并整理方程可得+(2印-2)y=0,解得■ y1=0,y2=2-2p,抛物线和圆恒有一个公共点(0,0)，且y≥0恒成 立，所以令2-2p≤0，解得p≥1. (3)设A(x1,y1),B(x2y2),直线AB的方程为y=x+1,原点0到 直线AB的距离为山，由+1，消去y可得2-4h-4=0,其中 1x2=4y, △=16k2+16>0,x1x2=-4,12= （x12) 16 =1,所以S△40c=2 hC1d,aw-子1B01·d,则ae=AC-4① S△BOD IBD1 因为IACI·IBDI=(IAFI-ICFI)·(IBFI-IDFI)=IAF1· 1BF1-(1AF1+1BF1)+1=(y1+1)(y2+1)-(y1+1+y2+1)+1= y1y2=1,② 由①②解得14C1=2,1BD1= 2,所以1AB1=1AC1+1BD1+ 1c0=2+寸2=号 9 13.(1)解：由题设知号=1p=2,则C:2=4 (2)解：由题意，直线1的斜率不存在时l:x=-1,与抛物线只有一个 交点，但不相切，令l:y=k(x+1),联立抛物线得x2=4k(x+1),所以 x2-4kx-4k=0,则4=16k2+16k=0→k=0或k=-1,所以直线1为 y=0或x+y+1=0. (3)证明：由题意，山的斜率一定存在，令1为y=x+2,P(x1,y1), Q(x22）,联立抛物线得x2-4-8=0,则x1+x2=4t,x12=-8,而 1PM12=x+(y1-2)2=(1+2)x子，1QM12=x号+(y2-2)2=(1+2)x号， 1 x好+好 所以PW+1OM(1+P)好弱 (+)2-21 (1+t2)xx2 16(2+1).1 64(1+2)4 压轴挑战 (1)解：抛物线y2=2x的焦点F的坐标为 0），准线方程为= 号，当P的横坐标为3时，△PQP为等边三角形，直线PQ与直线：= 号垂直，所以P(3,),0(片，v）,1QF=1Q1,所以 VP+6=3+?,解得p=2(负值舍去)，所以抛物线的方程)2=4x (2)①证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB与准线没有交点，与 已知矛盾，故设直线AB的方程为y=k(x-1),则M(-1,-2h), G0,-.由=，得2-(22+4)+2=0,4=16+16>0，设 (y=k(x-1), 黑白题046 A,B）.所以+与2公4=1两为症（1- -y1),B=(1-x2,y2),Mi=(1+1,y1+2k),Mi=(2+1,2+2k),Mi= 人衣症与成所以A学贤 _1+,所以A1+21- 1+x1 1+2.2-212,所以x+M2=0. 1-x21-(x1tx2)+x1x2 ②解：G=(x1,1+h),C市=(2,2+k),所以G.G=x1x2+y12+k(y1+ y2)+k2.又因为y1·y2=k(x1-1)·k(x2-1)=-4,y1+2=k(x1-1)+ (1)=兰，所以d,a店1-44=+1≥1，所以d.的取值 范围为[1，+∞) 专题探究03 圆锥曲线的离心率 黑题 专题强化 1.B解析：由题意可知a=1,c=√a2+b=√1+b,则F(-c,0), x=-y, 不妨取一条渐近线为y=bx,则l:x=-by,联立方程{ 解得 621, y1=6 ，由对称性可知，点0为线段AB的中点，则 c62-1 1 1××2专=3，即名三=23翰 S△ABr=2S△AOF=2×- 3,解得 6=2(负值舍去)，则c=√1+b=5,所以C的离心率为e=C=5 故选B. 2.D解析：根据题意可知F,A/PB,直线F,B的倾斜角为号由椭 圆焦半径公式得1F,A1=P 2a-cIF3B1=62 -262 a-ccos3 T 2F=2F应1FA1=21F2B1,即2a+e=2(2a-c),化简 262 得2a=3c,6=号故选D 2,双豳线22 若云1中令，解得=片则(）由 直线RM与圆c相切于点D,得1c01=子c又1R,C1= 3 IMFIIFF2I=20,I F:DI=IF;CI2-ICDI-20, 621 m∠MF2=g=号于是2B=ac,即2(c2-a2)=ac,有22-e √2=0，而>1，所以e=√2.故选C. 4 :解析：如图所示，设椭圆的左焦点为F',连接AF',BF',CF', 参考答案 因为点O平分FF',AB,所以四边形FAFB为平行四边形.又因为 BF⊥AC,所以四边形FAF'B为矩形，设|CF|=m(m>0),则 IBFI =IAF'I 4m,I BF'I I AF I 2a-4m,I CF'I 2a-m, Rt△ACF'中，1AF'12+1AC12=ICF'I2,所以(4m)2+(2a-3m)2= (2a-m),整理可得am3m2,所以m=号在△AP中，MP2+ 以日-5放答米为 3 5. 4W3 3 解析：由已知可得少行-行-=0，即 (b2x号-a2y2+a2b2=0, a2y7=62x好-a2b2 a2y2=b2x好+a2b2, 两式相乘可得ayy2=b4[x好x好+a2(x好-x好)- Q]心直线OA,0B的斜率之积为3，心1出2=3，即= )且代人上式海号写 a=31,2的 离心率之积心，·2=·5==6+只=42故答案 ab=。+6=3 6.B解析：如图所示，因为△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形， 所以1PF11=1F1F21=2c,由椭圆的定义可得IPF21=2a-2c.设 乙P所=，因为<2P所10r,所以os0(合号），在 △PF,P中，由余弦定理可得cs9=(2e2+(2e)2-(2a-2e2_ 2x2c×2c 1 a2+2ace2+2e-1,所以-2< 2c2 1分所以 1 2e2 2e-1<0, l2e2+2e-1>0, (第6题) (第7题) 解析：如图，LAPB=?,又1PA1=IPB1,所以1AB1=PA PBL而PH,PB是圆C,的切线则∠A0B=行，在△A0B中，I04= IOB1=b,因此有IAB1=√3b,从而1PA|=IPB|=√3b,而PA⊥OA,所 以1P01=VPA2+10A22h.因为点P在双曲线1上，因 此10P1≥a,所以a≤2b,所以a2≤4b2=4(c2-a2),所以5a2≤4c2, 三≥子所以双南线G的离心率。日汽故法 c2. a[a-.] 解桥：网+时“： 1 IPF 1+IPF2I 2a Pe:1PB,即1P,I·PEI=2ac,PE,·1Pp,≤ mP）广-（会）广-，当且仅当1=p=a时 等号成立1PF1l·1PF21=1PF1l·(2a-lPF11)=-lPF1I2+2a· IPF,l,由于a-c≤IPF,l≤a+c,所以当1PF1l=a-c或1PF1I=a+c 时，有最小值为-(a-c)2+2a(a-c)=-a2+2ac-c2+2a2-2ac=a2-c2= 黑白题0473.3.2抛物线的几何性质 白题 基础过关 限时：25min 题组1抛物线的几何性质及应用 8.过抛物线y2=6x的焦点且垂直于抛物线对称 1.（多选)关于抛物线y2=-2x,下列说法正确 轴的直线l与抛物线交于A,B两点，则IABI= 的是 ( A.开口向左 A.2 B.3 C.4 D.6 B.焦点坐标为(-1,0) 9.(多选)(2025·重庆沙坪坝区高二月考)已知 C.准线为x=1 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距 D.对称轴为x轴 离是4，直线l过它的焦点F且与C交于 2抛物线y上一点4(，2)到其对称轴的 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，M为弦AB的中点， 则下列说法正确的是 () 距离为 A.抛物线C的焦点坐标是(2,0) A.4 B.2 B.x1x2=4 C.√2 D.1 C.若x1+x2=5,则1AB1=7 3.若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的 D.若以M为圆心的圆与C的准线相切， 距离恒大于1，则p的取值范围是 则AB是该圆的一条直径 A.p<1 B.p>1 重难聚焦M C.p<2 D.p>2 题组3抛物线几何性质的综合应用 4.A,B是抛物线x2=2y上的两点，0为坐标原 10.(2025·山西太原高= 点.若1OAI=IOB1,且△AOB的面积为123， 点F是抛物线y2=2x 则∠AOB= 过抛物线上一点P,沿x轴正方向作射线 A.30° B.45° PQ∥x轴，若∠FPQ的平分线PR所在直 C.60° D.120° 线的斜率为-2，则点P的坐标为（ 5.已知抛物线y2=2px(p>0),直线x=m与抛物 A(分-1 线交于A(x1,y),B(x2,2)两点，则y1+ C.(2,-2) y2= D.(2,2) 题组2.抛物线焦点弦的性质 11.(2025·天津滨海新区高二月考)如图，过 6.(2025·陕西渭南高二期中)AB是过抛物线 抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛 y2=4x焦点的弦，且IAB1=10,则线段AB的 物线于点A,B,交其准线1于点C.若 中点横坐标为 ( IBC1=2IBF1,且IAFI=3,则此抛物线的 A.4 B.3 C.2 D.1 方程为 7.已知抛物线E:x2=8y,焦点为F,若过F的直 线1交抛物线于A,B两点，A,B到抛物线准 线的距离分别为3,6，则AB长为 A.3 B.8 C.6 D.9 选择性必修第一册·SJ黑白题058 黑题 应用提优 限时：35min 1.以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原7.（多选）(2025·陕西西安高二月考)已知点F 点的抛物线方程是 ( 是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB,CD是经 A.x2=8yx2=-8y B.y2=-8x 过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0, C.y2=8xy2=-8x D.y2=8x B,C两点在x轴上方，0为坐标原点，则下列 2.（2025·江西萍乡高二期中)直线1过抛物线 结论中正确的是 ( C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于A,B两 od.0丽- A. 点，若使|AB1=2的直线l恰有2条，则p的 B.四边形ACBD面积的最小值为16D2 取值范围为 ( 1 11 A.0<p<1 B.0<p<2 C. IABIICDI 2p C.p>1 D.p>2 D.若IAFI·IBFI=4p2,则直线CD的斜率 3.苏教版教材变式过抛物线y2=2px(p>0)的 为-√3 焦点作一条直线交抛物线于A(x1,y), 8.已知M(2,0),V(3,0),P是抛物线C:y2=3x B(,2),则为 ( 上一点，则PM·P的最小值是 X1X2 9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点 A.4 B.-4 C.p D.-p2 D(P,0),过点F的直线交C于M,N两点，直 4.在平面直角坐标系x0y中，抛物线C:y2=8x, 线MD垂直x轴，IMFI=3,则 P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分 INFI= 线1交C于A,B两点，若∠0AP=120°，则四 压轴挑战 边形OAPB的周长为 (多选)(2025·安徽阜阳高二月考) A.643B.64 C.803D.80 如图，曲线E可以看成是抛物线y= 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F 且倾斜角为的直线与C交于A,B两点， 4和y=G2+45所同成的，点M,N在曲线E 上，给定点A(0,a),则下列说法中正确的是 以AB为直径的圆与准线I切于点 ( M(-2,2),则C的方程为 A. 任意a∈(0,5)，都存在 点M,N,使得IAMI=IANI A.y2=2x B.y2=4x B. 任意a∈(0,5)，都存在 M C.y2=6x D.y2=8x 点M,N,满足这对点关于 6.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，A 点A对称 为C上任意一点，且点A到点B(3,0)距离的 C.存在a∈(0,5)，当点M,N运动时，使 最小值为2√2.若直线过点F交C于P,Q两 得IAMI+IANI≤10 点，且1PQ1=8,则线段PQ的中点的横坐标为 D. 任意a∈(0,5)，恰有三对不同的点M,N,满 足每对点M,N关于点A对称 A.2 B.3 C.4 D.6 进阶突破拔高练P09 第3章黑白题059 3.3 阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min (2025·江苏泰州高二月考)已知抛物线C: 5.(多选)(2025·江苏徐州高二期中)抛物线 y=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直 y2=4x焦点为F,顶点为0，过F的直线l交 线x=-3的距离为8，则1MF1= ( 抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，分别 A.7 B.6 过A,B作准线的垂线，垂足分别为A1,B1,下 C.5 D.4 列说法正确的是 () 2.(2025·广东江门高二月考)两条直线y=kx A.x1·x2为定值 和y=-x分别与抛物线y2=4x相交于不同于 AB,>号 B. 原点的A,B两点，当直线AB经过抛物线的焦 点时，则IAB1为 C.A,O,B1三点共线 ( 1 A.1 B.2 D 11 IAFIIBFI 2 C.3 D.4 6.(2025·吉林长春高二期中)已知抛物线C: 3.（2025·四川成都七中高二月考)抛物线绕它 y2=12x的焦点为F,A为C上的一点且在第 的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于 象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的 加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的 准线于B,D两点，且A,F,B三点共线， 光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线， 则IAFI= 经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知 A.16 B.12 一束平行于x轴的入射光线的一束光线与抛 C.10 D.8 物线y2=2px的交点为A(4,4),则反射光线 7.(2025·江苏徐州高二期中)已知抛物线C: 所在直线被抛物线截得的弦长为 y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(3,1)在C的 内部，若点P是抛物线C上的一个动点，且 △APF周长的最小值为4+√5，则p=() A.1 B.2 射钱 C.3 D.4 B.2 c. 29 D. 8.（2025·山东青岛高二月考)已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,A为C上一点，B为C的 4. 已知线段AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条 准线与x轴的交点，AB⊥AF.若O为坐标原 弦，且AB的中点M在x=1上，则点A横坐标 点，则cos∠A0F= 9.(2025·江西宜春高二期中)已知0为坐标原 A.有最大值，无最小值 点，抛物线C:y2=ax(a<0)上一点A到焦点F B.无最大值，有最小值 的距离为4，设点M为抛物线C准线l上的动 C.无最大值，无最小值 点.若△MAF为正三角形，则抛物线C方 D.有最大值，有最小值 程为 选择性必修第一册·SJ黑白题060 10.(2025·辽宁沈阳高二月考)已知M(3,0),13.（2025·江苏扬州高二期中)已知抛物线C: 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，点A是 x2=2py(p>0)的准线与y轴的交点为A(0,-1). 准线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作 (1)求抛物线C的方程； 准线1的垂线，垂足为Q,直线PF与MQ相 (2)若经过点(-1,0)的直线1与抛物线C 交于点N,若N+NP=M,则△AMN的面 相切，求直线1的方程； 积为 (3)若过点M(0,2)的直线L1与抛物线C交 11.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,直线l过 于n,0两点，证明：pW*10为 点P(1,1),交抛物线于A,B两点 定值 (1)若P为AB中点，求1的方程； (2)求IAFI+IBFI的最小值 12.（2025·江西南昌高二期中)如图，已知抛物 压轴挑战" 线x2=2py(p>0)的焦点为F,过圆x2+ (2025·江苏宿迁高二月考)如图， (y-1)2=1的圆心的直线交抛物线与圆分别 已知抛物线y2=2px(p>0),焦点为 为A,C,D,B(从左到右) F,准线为直线l,P为抛物线上的一点，过点P (1)若抛物线的焦点与圆心重合，求抛物线 作1的垂线，垂足为点Q.当P的横坐标为3时， 的方程； △PQF为等边三角形 (2)若抛物线和圆只有一个公共点，求p的 (1)求抛物线的方程. 取值范围； (2)过点F的直线交抛物线于A,B两点，交直 (3)在(1)的条件下，△AOC,△B0D的面积 线l于点M,交y轴于G 满足：SAAoC=4 SAROD,求弦AB的长 ①若MA=入1A,MB=入2BF,求证：入1+入2 为常数； ②求G.G的取值范围. 第3章黑白题061