3.3.1 抛物线的标准方程-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

3.3抛物线 3.3.1抛物线的标准方程 白题 基础过关 限时：25min 题组1抛物线定义的理解 7.（多选)过点(0,1)且与抛物线y2=x有且仅 1.(2025·陕西渭南高二期中)过点A(3,0)且 有一个公共点的直线是 () 与y轴相切的圆的圆心轨迹为 A.x=0 B.y=0 C.x=1D.y=1 A.圆B.椭圆C.直线 D.抛物线 8.直线y=x+2和抛物线y=x2的交点 2.(2025·山东东营高二月考)已知F为抛物线 是 C:y2=8x的焦点，点M在C上，且IMF1=6, 9.已知直线1：y=x+b与抛物线C:y2=4x. 则点M到y轴的距离为 ( (1)若直线1与抛物线C相切，求实数b A.6 B.5 C.4 D.42 的值； 3.(2025·重庆南开中学高二期中)已知 (2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点， P(1,m)为抛物线y2=8x上一点，F为抛物线 且IAB1=8,求直线L的方程 的焦点，则1PFI= A.1 B.2 C.3 D.4 题组2抛物线标准方程的求解及应用 4.(2025·江苏淮安高二期中)过点(1，-2)且 焦点在y轴上的抛物线方程为 Ay=4或2=2 B.y2=4x C产纵或=之D= 重难聚焦 5.(2025·安徽滁州高二期中)在平面直角坐标 系xOy中，动点P(x,y)到直线x=-1的距离 题组4利用抛物线定义求最值 比它到定点(3,0)的距离小2，则点P的轨迹 10.(2025·河北保定高二月 方程为 ( 抛物线y=x2的焦点为 A.y2=6x B.y2=12x 物线上一动点，点Q3 C.y2=-6x D.y2=-12x 的距离为d,则d+PQ的最小值为（ 题组3直线与抛物线的位置关系 6.已知直线y=x-k及抛物线y=2px(p>0),则 B 9 11.（2025·江苏泰州高二月 A.直线与抛物线有一个公共点 知抛物线y2=4x的焦点 B.直线与抛物线有两个公共点 点A(11,1),点P是抛物线上一个动点， C.直线与抛物线有一个或两个公共点 则IPFI+|PAI的最小值为 D.直线与抛物线可能没有公共点 选择性必修第-册·SJ黑白题056 黑题 应用提优 限时：35min 1.(2025·河南南阳高二期中)已知0为坐标原5.(2025·重庆巴蜀中学高二期中)已知抛物线 点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点 C:y2=2px(p>0),直线y=x-1与抛物线相交 M(xo,4)在C上，且1MF1=21OF1,则C的方 于A,B,且AB的中点为M(2,2),则 程为 p= A.y2=4x B.y2=8x 6.（2025·山东枣庄高二月考)已知抛物线x2= C.y2=2x D.y2=x 4y的焦点为F,点P为该抛物线上的动点，点 2.（2025·陕西渭南高二期中)某卫 50,-1)则P的最大值为 星接收天线的曲面与轴截面的交 7.(2025·山东菏泽高二月考)已知抛物线C: 线为抛物线的一部分，已知该卫星 y2=2px(p>0)的准线为l,点P在C上，且点 接收天线的口径IABI=6,深 P到直线l的距离与其到x轴的距离都等 度IMO1=1,信号处理中心F位于焦点处，以 于2. 顶点0为坐标原点，建立如图所示的平面直 (1)求C的方程； 角坐标系xOy,则焦点F的坐标为 (2)设F为抛物线C的焦点，过Q(2,0)的直 B.(, 线与C交于A,B两点，若△ABF的面积 为3，求直线AB的斜率 c.(.o) D. (3j 3.(2025·江苏南通启东中学高二月考)设F为 抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上 三点，若FA+FB+F元=0，则1FA1+1FB1+1F心1= ( A.6 B.4 C.3 D.2 4.（多选)(2025·河北邢台高二期中)已知抛物 压轴挑战 线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=√3(x-1) (2025·广东江门高二月考)如图， 与C在第一象限的交点为P,过点P作C的 已知一酒杯的内壁是由抛物线 准线的垂线，垂足为M,下列结论正确的是 x2=2py(p>0)旋转形成的抛物面 当放入一个半径为1的玻到 A.直线I过点F 玻璃球可碰到酒杯底部的A B.直线1的倾斜角为写 放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰 到酒杯底部的A点，则p的取值范围 C.∠FPM= 2 为 D.△FPM是等边三角形 进阶突破拔高练PO8 第3章黑白题05722 M(x1y1),N(x2y2),联立 -3=1,得到(3n2-1)y产+12y+9= （x=y+2, 0,而3n2-1≠0,4=144n2-36(3n2-1)=36n2+36>0,由韦达定理得 -12n yitya=3n2-1' 所以k1·2= y1 y2 y1y2 9 1+12+1(ny1+3)(y2+3) 1·23n2-1 9 Y1Y2 3n2-1 9 ny+3n(G1+2)+9923n:12m）+49 9n2-36n2+9(3n2-1) 3n2-13n2-1 -1,故1·2是为定值，且该定值为-1 9 方法二：①当直线m的斜率不存在时，直线方程为x=2,可得M(2, 3),N(2,-3),此时k1·k2=-1; ②当直线m的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),联立 2-￥L得到（3-2)x子+42x-42-3=0,而3-2天0. (y=k(x-2), 16k4+4(3-2)(4k2+3)=36（2+1)>0,由韦达定理得 42 x1+*2 k2-3 4k2+3 所以k·2= 2k2(x1-2)(x2-2) x1+1x2+1（x1+1)(x2+1) x1·2-2-3' 2x1x2-2k2(x1+x2)+42 =(42+3)-22·42+42(2-3) x1x2+(x1+x2)+1 4k2+3+4k2+k2-3 9职-1，故，·名是为定值，且该定值为-1 -9k2 综上所述，k1·k2为定值，且该定值为-1. 压轴挑战 解：1)因为渐近线的倾斜角为60，所以m60=片-5，所以6=5 (2)由题意可知直线1的斜率存在，设1：y=x+4,由(1)可知渐近线方 。4 程为)y=士3，联立+4可得 √5-k 不妨取M 44W3 (y=3x, 43 3-k√3-k Y=- (3-k 16 48 8 所以IOMI= W(3-k)2(3-k)213-1 同理可得N 3+'3+4所以10N1= 443 16 48 V(3+k)2(5+k)2 8 I3+k -,所以SAOMN= 10MIx10N1xY3.16,38w3 1 213-3,解得k=±3， 所以1：y=±3x+4, (3)如图，设B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点为D(x3,y3),由题意可知 直线1的斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以k (-0,-√3)U(3,+3), =1 联立 可得-国-片号所以3()之g） x1一x2 又因为2=1+2,2y,=1+2,k=,所以6s,=23,即3%，=3 x1-%2 又因为AB1=1AC1,所以AD1BC,所以kc·ko=-1,所以k.为-4 x3 (3x3=hy3, -1,联立 k.4 ,可得二所以D(k,3),将y=3代人双曲线 =-1, （y3=3, 3 方程2 3=1中，可得x=±2.因为D在双曲线的右支内部，所以>2 参考答案 又因为c3+m=y3,所以m=y3-kx3=3-2,所以m<3-22=-1,即m∈ (-0,-1). 3.3抛物线 3.3.1抛物线的标准方程 白题 基础过关 1.D解析：设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点 P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为 准线的抛物线上.故选D. 2.C解析：由题意及抛物线定义，点M到抛物线C的准线x=-2的距 离为6，所以点M到y轴的距离为6-2=4.故选C 3.C解析：由题设，抛物线准线为x=-2,结合题设及抛物线定义，则 有1PF1=1+2=3.故选C. 四重难点拨 若P(x0,yo)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，则焦半径1PF1= x0+2 4.D解析：由题意，可设抛物线为x2=2py,又因为点(1，-2)在抛物线 上，所以-4=1→p=放所求抛物线为2=子放选D 5.B解析：由题意知动点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3， 0)的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以(3,0)为焦点， x=-3为准线的抛物线，所以p=6,点P的轨迹方程为y2=12x.故 选B. 6.C解析：.直线y=x-k=k(x-1),∴.直线过定点(1,0).∴.当k=0 时，直线y=0与抛物线有一个公共点，即顶点；当k≠0时，点(1,0) 在抛物线的内部，∴.直线与抛物线有两个公共点，综上所述，直线与 抛物线有一个或两个公共点.故选C. 四方法总结 判断直线与抛物线的位置关系的方法： 联立直线与抛物线方程，消元整理后得到的方程的解的个数即为直 线与抛物线的交点个数 ①若二次项系数为0，此时直线与抛物线有一个交点，直线与抛物线 相交； ②若二次项系数不为0，则判断该一元二次方程的判别式的符号 若△>0，则直线与抛物线有两个交点，直线与抛物线相交： 若△=0，则直线与抛物线有一个交点，直线与抛物线相切： 若△<0，则直线与抛物线没有交点，直线与抛物线相离。 7.AD解析：点(0,1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点 的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线，一条平行于抛物线的 对称轴，可得直线x=0是过(0,1)且与抛物线相切的直线，直线y=1 是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足 条件故选AD. 四易错提醒 直线与抛物线只有一个交点包括两种情况： ①相交，但只有一个交点，对应联立后的方程的二次项系数为0； ②相切，对应联立后的方程的二次项系数不为0且△=0. (.(2)解折：展立等得或子因比直 线y=x+2和抛物线y=x2的交点是(-1,1)，(2,4).故答案为(-1， 1),(2,4) :直线1与抛物线C相切，联立仪花6，得2+(2b4): b2=0,∴.△=(2b-4)2-4b2=16-16b=0,解得b=1. 黑白题041 (2)设A(x1,出1)，B(2,y2）,由(1)方程联立可知x2+(2b-4)x+b2= 0,名1+x2=4-2b,x1x2=b2.又：1AB1=8,且1AB1=√1+k2, √(x1+x2)2-4x1x2,8=W2×√(4-2b)2-46,解得b=-1,满足 △>0，直线1的方程为y=x-1. 重难聚焦 10.C解析：记直线1：y=4是抛物线的准线，过点P作PH1,垂足 为以，如图所示，则P1=1PH,r(0,）因为点P到：轴的距 离比点P到准线L的距离少子，所以d+1PQ1=PHI-冬+PQI= IPF1+1PQ1-4易知当Q,P,F三点共线时，d+1PQ1最小，且最小 值为3)+(？2子c Q3,元 y= (第10题) (第11题) 11.12解析：设抛物线的准线为1，则1：x=-1.如图，过点P作1的垂 线，垂足为E,过点A作l的垂线，垂足为S,则1PE1=IPF1,又因 为IPF1+|PA1≥|AE1≥|ASI=12,当且仅当A,P,S三点共线且点 P在点A,S之间时等号成立，故1PF1+IPA1的最小值为12.故答案 为12. 黑题应用提优 1.B解析：由抛物线的定义，可知1MF1=)+号，210F1=p,因为 1MF1=210F1,所以0+号=p,即0=号，由点M(,4)在C上，得 16=2px,结合p>0,解得p=4.所以C的方程为y2=8x.故选B. 2.B解析：由题意，设抛物线方程为y2=2px且p>0,显然点(1,3)在 范物线上，所以印=9，则号-}，故焦点P的坐标为(？，0）故 选B. 3.A解析：设A(x1,y1),B(x2y2),C(x3,3), 由题意得抛物线焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1. 因为Fi+F+F元=0，所以x1+x2+x3=3,所以Fi+1F+F元1=x1+ 1+x2+1+x3+1=名1+x2+x3+3=3+3=6故选A. 4.ABD解析：抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),而0=√3×(1-1)， 所以直线1过点F,故A正确；设直线1的倾斜角α，因为直线l:y= 月(-1)的斜率为k=ma=5,0≤a<m,所以a=牙，即直线1的 候斜角为号，放B正确：因为∠FPM=a=号，故C错误；因为点P 在抛物线上，由范物线定义可知，P=1PW1,又因为∠PM=子 所以△FPM是等边三角形，故D正确.故选ABD. (第4题) (第6题) 选择性必修第一册·SJ 5.3解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),因为M(2,2)为AB的中点，所以 x1+x2=4,1+y2=4, 行=2p1两式作差得7乃=2(x1),所以 y2=2px2, 42)归2px,所以本=号，则y=1.因为直线 过M(2,2),代入得p=3.故答案为3. 6。√2解析：设P(x,y),由抛物线方程x2=4y,得焦点F(0,1),准线l: y=-1,点E(0,-1)为准线与y轴的交点，作PQ⊥1于点Q,则 I1PQ1=1PF=y+1,1PE1=V+(+1)=V4+(+1严，则PEI IPFI W4y+(y+1)7 4y+(y+1)Z y+1 (y+1)2 =/1+4y 46 LV(y+1)2=+1.2 y+ y 4 1+ 1 ,当且仅当y=宁即1=1时取等号，所以 2/y· -+2 IPE1的最大值为反.故答案为5. IPFI 解：(1)由题意可知，准线1的方程为=一分，由点P到直线1的距 离与其到x轴的距离都等于2可知，P(2号，±2)，因为点P在C 上，所以2（2-号）（±22，整理得2-40+4=0，解得p=2,故C 的方程为y2=4x (2)由(1)可知，F(1,0),则1QF1=1,由题意可知，直线AB的斜率不 为0，设其方程为=网+2,4(，)，B(,2),由红，消去 (x=my+2, x整理得y2-4my-8=0,则4=16m2+32>0,可得为1+y2=4m,y12= -8,所以1y1y2l=√(y+y2)2-4y1y2=4√m2+2.又因为△ABF的 面积为3，所以子0F1x11-21=3,即之X1×4V7=3,解 得m=±2，故直线AB的斜率为±2 压轴挑战 [1,2)解析：如图，由题意可得，圆x2+(y-1)2=1与x2=2py(p>0)只 有-个交点0(A),联立方程{21，消去x得2+2(p1)y= 0,解得y=0或y=2(1-p),故2(1-p)≤0，则p≥1； 圆x2+(ya)2=4(a>2)与x2=2py(p>0)只有两个交点，联立方程 +-a)2=4,消去得y产+2(p-a)y*2-4=0,a2-4>0,若广 x2=2py, 2(p-a)y+a2-4=0有根，则两根同号. 根据题意可知y2+2(p-a)y+a2-4=0有且仅有一个正根，故 4=4(p-a)2-4(2-4)=0,则可得p+4=2>2p,解得0p<2 (a-p>0, 综上所述，p的取值范围为[1,2).故答案为[1,2). x2=2p O4) 3.3.2抛物线的几何性质 白题 基础过关 1.AD解析：对选项A,y2=-2x,开口向左，故A正确；对选项B, =-2x,焦点为(0），故B结误：对选项C,=-2,准线方程 黑白题042