3.2.2 双曲线的几何性质-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

(2)如图②，由题意可知A1(-1,0),A2(1,0) 当直线1的斜率为零时，显然不符合题意： 所以设直线的方程为x=my-2,P(x1,y1),Q(x2y2),由连接0Q并 反向延长，交双曲线T于点R,可得R(-x,-y2),联立 (x=my-2, x2-二=1.消去x可得(2m2-1)-8my+6=0,其中2m2-1关0 4=64m2-24(2m2-1)=16m2+24>0,所以1+22m2-1n 8m (1,.(偶1调为成1 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1,化简 可得(m2+1)y1y2-3m(y+y2)+10=0,代入并化简可得2m2-4=0, 解得m=±√2，所以直线1的方程为x=±√2y-2,即x±√2y+2=0. 压轴挑战 ACD解析：设A(x0,yo),D(,y),则B(-o,-yo),.kA·kB= 262-b2 y-yo ytyo_y2-yo a2* a2号*62 62 08-—a1 又2c=4,.c2=a2+b2=4,.a2=b2=2,.a=b=√2，.双曲线C的方程 为号号1 对于A,若1斜率不存在，则1：x=2与双曲线C右支有两个交点 (2,±W2),符合题意；若l斜率存在，如图①，设：y=k(x-2),联立 1x2y2 22=1,得（1-2)2+42x-42-2=0,设1与双曲线C右支的两个 y=k(x-2), 交点坐标分别为()，(，2)，由韦达定理得1+1-2 -4k2 [4=16k4-4(1-k2)(-4h2-2)>0, -4k2 -4k2-2 12,则 11->0, 解得k2>1,即k>1或k< 12= T3π -1直线1的倾斜角的取值范围为(4，车)A正确： Q ② 对于B,如图②，由双曲线定义知1PF1I-1PF21=21PF21-IPF21= IPF2 I=2a=22,..IPFI=42, ∴.cos∠F1PF2= F,PE,-E2216-子B错误 2IPF,I·1PF21 32 对于C,设N(s,t)(1s1≥2)，则1N012=2+2.:F1(-2,0), F2(2,0),.1NF11=√(s+2)2+2,1NF21=√(s-2)2+,.1NF1· 1Nf21=√(s2+2+4s+4)(32+2-4s+4)=V(52+2+4)2-16s2. s2-2=t2,.1N012=2s2-2,1NF11·1NF21=√/(2s2+2)2-16s2= √44-82+4=√4(s2-1)7=2s2-2,1N012=1NF11·1NF21,即 INOI INF2I INF11NO,C正确； 对于D,如图③，设△MF1F2的内切圆I1与MF1,MF2,F1F2分别相切 于点E,H,G,则IME1=IMHI,IEF1I=1GF1I,IHF2I=IGF2I, .IMFI-IMF2I =IEFI-IHF2I=I GFI-I GF2 I=2a.GF1+ 1GF2l=2c,.1GF1l=c+a,1GF2l=c-a,即G(a,0),.1在直线x=a 上，同理可知△QF,F2的内切圆圆心L2在直线x=a上. 1F2平分∠MF2F1,2F2平分∠QF2F1,LMF2F1+∠QF2F1=T, 选择性必修第一册·SJ ∠1P4=2,即1212F又1h上x轴，1山4G1·1hG1= 1GF212=(c-a)2=(2-2)2=6-42,即r1r2=6-42,D正确. M ③ 故选ACD 3.2.2双曲线的几何性质 白题 基础过关 .BGD解析：双曲线C:-号=1的实半轴长a=,虚半箱长5 半焦距c=√a2+b2=2,双曲线C的实半轴长为1，A不正确：双曲线 C的虚轴长为2W5,B正确；双曲线C的离心率e=C=2,C正确；双 a 曲线C的渐近线方程为y=±W3x,D正确.故选BCD. :由椭圆6+)=1，知左、右顶点分别为(-4,0)与( 由16-9=7，知左、右焦点分别为(-√万，0)与(7,0)，设双曲线方程 为*2y2 。P=1,则a=7,√a2+=4,解得6=3，所以可得2上 79 1.故选B. 3C解折：因为双面线号卡=1关于横轴，制轴，原点对称，而点 (2,1)关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为(2，-1)，(-2,1)， （-2,-1),所以只有选项C正确.故选C 4.D解析：双曲线方程可化为子-二=1，其中m<0,因为实轴长是 1 m 虚轴长的2倍，故1=2× √石故4故选D 5.B解析：设P(0,0),且始-设=1，即场=6+26，又直线1过原 点，且双曲线关于坐标原点对称，可得A(3,6)与B关于坐标原点对 称，则B(-3,-6),所以p1=(3-0,6-0),P(-3-0,-6-y0),即 成，防=6-94-6=子-9又6eR,即时成.成-三8-9的最 3 小值为-9.故选B. 6.y22 55=】解析：因为双曲线为等轴双曲线，所以设双曲线方程为 x2-y2=入，入≠0，将点P(2,3)代人得4-9=入，解得入=-5，所以双曲 55=1放答案为上x2 线方程为上2 551 7.BD解析：对于选项A,由号 3一32=1得新近线方程为y=±3x,所以 选项A错误：对于选项B,由子-。1得渐近线方程为y=±3x,所 9 以选项B正确：对于选项c,由号1得清近线方程为y中 所以选项C结误，对于击项D.由号：=1得渐近线方混为y=。 所以选项D正确故选BD. 8.B解析：由已知双曲线的焦距2c=6,即c=3,所以32=m+1,解 √2 、得m=8,即双曲线方程为？-y2=1,则其渐近线方程为y=±x.故 选B. g.D解析：因为双曲线C:上：1(m>0)的一条渐近线的方程为 4 m 黑白题036 y子，所以√仔号解得m=白放选D 2 10.B解析：行子1中，心2=2，=4，故2=2+6=6，放焦点坐标 h 为（±√6,0），渐近线方程为y=±x=±√2x,故焦点(V6,0)到渐近 线=：的距离为石-2，由对带性可知.双请线子上 √1+2 24 -=1 的焦点到渐近线的距离为2.故选B. 四重难点拔 双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 1.B解析：双曲线的离心率为e=日=2，解得c=2a,6?=2-2 3a2,所以b=3a.双曲线两条渐近线方程分别是y=√3x和y= -√3x,它们倾斜角分别是60°和120°，从而双曲线两条渐近线的夹 角为120°-60°=60°.故选B. 12.2y2 84】解析：由题意设双曲线C的标准方程为 少2=A,代 人点(4,2)，得54=入，得A=4,所以双曲线C的标准方程为 千-1故答案为号片 84=1 四重难点拨 与-1共断近线的双曲线系为二y a26尔=A(A≠0)，其中>0 时表示焦点在x轴上的双曲线，入<0时表示焦点在y轴上的双曲线. 13.1解析：如图，设P(x,y),由1PF1I=√21PF21,得√(x+3)2+y2= √2√(x-3)2+y2,整理得x2+y2-18x+9=0,即(x-9)2+y2=72,所以 点P(x,y)在圆(x-9)2+y2=72上，圆心为(9,0)，半径为62. 又渐近线y= 。*,即6x-ay=0与圆(x-9)2+y2=72有交点，所以 9b √a2+b2 ≤62，即8e2≥962=9(c2-a2),整理得a2≥C =1,解得 a≥1，即a的最小值为1.故答案为1. (第13题) (第17题) 14.A解析：由题意双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分， 则2a=了·2c,解得e==3,故A正确故选A a 1皮。B解新：因为双自线方程为号兰1，所以双自线的商近线方程 为=±分x由点(4,2)在直线y名上，可得2=分4，即名=2。 b 和以电货约车率为子-（侣了-放选尽 16.B解析：依题意可得，△F,PF2是等腰直角三角形，所以 1F1PI=2c,IF2P1=22c.根据双曲线的几何定义可得2a= 1F,P1-EPI=(25-2)c,所以a=(2-1)c,则e=C=1= a√2-1 √2+1.故选B. 17.51解析：方法一：如图，不妨设双曲线：-亡 a262=1(a>0,b> 0,令=6，可得y=±二，所以1481-2公伏题查可得1 参考答案 1B,1,所以2沙=2又62=2-a2,所以c2-ae-a2=0,解得5= a 1+5又因为c20>0,所以e=C=1+5 2 a 2 方法二：如图，连接AF1,在Rt△AF1F2中，IF1F2I=2C, l451-4,1=2a=5c-c=(5-1)e,所以离心率e=2 a 2c-5+1 (5-1)c2 方法三：15，=2c,依题意知A(c,c)在双曲线上，故-c a262s1, 整理得e4-3e2+1=0,e2=)2,所以e2=2=5±25+1- 2 4 (）广，所以5（取）减答案为5 1±5)2 2 1浪。C释折：双简线号21(m>0的高心疼为。n2 √m 22,因为心0，所以=√2名即C的高心 m m 率的取值范围为（√2，+∞）.故选C 19.B解析：由题意知双曲线左支上存在点P使得1Pp,1= 2c-2a, 设P(x,y),则1pE21=(x-c)2+y2=/(x-c)2+2(x2-a2)= √尽-2ata2=ag≥a6:@）-atc,当且仅当点P与双通 /c2 线的左顶点重合时等号成立，从而双曲线左支上的点到右焦点的 最短距离为a*c,放1R,=子-2a≥a+c,即之c≥3a,放e=8≥ 6,即离心率的取值范围为[6，+0).故选B. 20.D解析：以线段F,F2为直径的圆的方程是x2+y2=c2,与直线ax- b+2ac=0有交点，则圆心到直线的距离d=一12acl =2a≤c, √/a2+(-b)2 则双曲线的离心率e=。≥2故选D, 21.(1,2]解析：设双曲线C的焦距为2c,由题可知 PF,-IPF,1=2a,解得1PF,1=3a,PF=a,由1P,1≥c-a (IPF1I·IPF2I=3a, 得a≥c-a,则C≤2，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,2].故 答案为(1,2]. 重难聚焦 22.C解析：因为PF·PF=0,所以PF1PF,所以点P在以线段 F5为宜径的圆上，圆的方程为4忖=5，与号子=1联立可得 2W6 lxl= 5'根据双曲线的对称性可知四边形PP,P,P为矩形， 1 lyl=- 其面积为41xly1=8,6。 5,故选C 23 23.1<e<3 b 解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±。*，要使该 双曲线右支上存在两点B,C使得△ABC为正三角形，由双曲线的 对称性可知BC1:轴，则需过右顶点A,且斜率为的直线与双曲 线有两个不同的交点，也只需其斜率大于商近线y=名：的斜 3b 率，3.63】 号，即<写，即有<+写，即为e 黑白题037 2即有1e39枚答案为1c 2W5 2w3 31 黑题应用提优 1.D解析：由题意，设等轴双曲线方程为x2-y2=入，注意到双曲线的 焦点在x轴上，则>0，双曲线方程可化为女- =1.由焦点 入入 (-2,0)可知，入+入=4，则入=2，于是实半轴为√入=√2，于是实轴长 是2√2.故选D. 2C解折：C的焦点在x销上设C的标准方程为子1Q>0. 0),则a2+62=c2=4,=5,解得a=1,6=3.所以C的标准方程 为-号=1故选C 3.C解析：根据双曲线的性质可得P3(-4,3),P4(4,3)在双曲线上， 则P1(4,2)一定不在双曲线上，则P2(2,0)在双曲线上，a=2, 61解得3以7ca76=吕号放 选C. 4.A解析：设椭圆的长轴长为2a,双曲线的长轴长为2a',焦距为2c, 设点P在第一象限，所以1PFI+1PF2|=2a,IPF1I-1PF2I=2a',两 个式子平方和为2IPF1I2+2IPF212=4a2+4a2,IPFI2+ 1PF212=2a2+2a2,且点P在以F,F2为直径的圆上，所以1PF112+ 1PF22=4c2,所以2a2+2a2=4c2,a2+a2=2c2,即。2+c2=2,所以 a2a'2 号时2故选A 11 四重难点拨 共焦点的椭圆与双曲线问题： 存京-1o>0)与双南段号若=1(>0A心0)有外共 若椭圆之2 的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,它们在第一象限的交点为P, ∠F1PF2=0,则： DIPFI=a+m,IPF2I=a-m; ②l-cos0+1+oe0-2 e e吃 5.D解析：由于M在以1F1F2I为直径的圆上，故F,M⊥F2M,设 ∠MF2F1=0,则1MF,1=2csin0,1MF2l=2ccos0,根据双曲线的定义 知1MF11-1MF21=2a,所以2csin0-2ccos0=2a,所以C= a 1 in0-cos0、 m(a) 9e(牙，设)，所以9-e [品石]又y血0-=0在0e(行行)上单调递增，当0 号时血0-m0,当08时，=am(0-） 如君-号所以ym(0-）(信咨）所以 2,3+1故选D. 6.A解析：由1OPI=1PF1,则P在线段OF的中垂线上，而F(2,0), 即P在直线1上设MN:的1且k0,k行则P(,至） 3 1 叉双曲线准线为士B,联立3，则7一不 不 （x=hy-1, 妨令M 13 15 3k-1'√5k-1 月，同理可得N(隔+541，则 选择性必修第一册·SJ 11=2， 3k-13k+1 5,34 所以32=2今k=±3，所以直线1的斜率为 3k-13k+1k’ 故选 7.BC解析：如图，由题意可得c=2,a2=c2-1=3,则a=±5，故A错 误由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知1CF2|=IAF,1, 则11AF,1-1CF,I1=11CF21-CF1I1=12al=23,B正确.设任一边 所在直线为y=+b(斜率存在时)，联立+6， 1x2-3y2-3=0, 得(1- 3k2)x2-6kx-362-3=0,则1-3≠0，即k≠±3，C正确由 SaA8cn=4S△coD,设h:x=y+2(1t<√3)，C(x1,1）,D(x2,2),， (x=y+2, -46 2-33=0,联立得(-3)7++1=0,1+22231 1 -3<0,则S0o0=Sac0n,+S00,=21-%1·2=ly1-2l= √(y1+y2)2-4y1y2 23·F打，设+1=m,则1≤m<2, 12-31 23m-23m_25 SACOD=。2.D4-m24二又y=-m单调递减，则0 m 4 m 25≥2，故50≥D错误放 -m≤3，.Sacn=4 选BC. 8.6解析：由之 910 =1,可得a=3,b=√10，设F2为右焦点，连接 P2F2,由双曲线的对称性，知IP1F1I=1P2F2I,所以IP2F,I 1P1F11=1P2F1I-1P2F21=2×3=6.故答案为6. 9.y=±2x解析：根据题意，作图如下： B 依题意，OA为∠COB的平分线，且ICB|=4IOA|=4|CAI=4a,设 10C1=m,由角平分线定理可得0Bl=AB1-3,则1OB1=3m在 IOCI IACI △0AC中，由余弦定理得cs∠0CA=1AC2+1C012-10A2,m2 21ACIICOI 2am 20在△0BC中，由余弦定理可得，10B12=10C12+1BC12- 210cC18c1cs∠0CM,即9m2=m2+16d2-2Xmx4×2%解得2- 2,3,故cos∠C0A=cos∠OCA=22=3,tan∠C0A=√②，所以的渐 近线方程是y=±√2x故答案为y=±√2x. 108解折：双线子-子-1，则a=1b=2,e=V公5，则右焦 点为(5,0).因为过右焦点作直线交双曲线于A,B两点，使得 IABI=入的直线恰有3条，由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于 黑白题038 x轴或y轴.若l⊥x轴，由 41解得=4或所 x=√5x=√5， x=√5， 以4B1=8,即入日8，符合题意：若山轴由2 -41解得 (y=0, （亿01攻0：比时481=A=2,为最知弦长，只有二个解，而不 是三个解，不符合题意，故舍去综上可得入=8故答案为8 11. 「52W31 L2’3」 解析：由题意得点(2a,a)在双曲线外部或在双曲线 上，则2a)2a2 a2 b2 2≤1，得b2≤】.假设存在以(2a,a)为中点的弦， ≤ 设弦与双曲线交于点A(11),B(22),则2三24,2= 2 x好 a262 =1, a,由点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上，得 两式作差 好归 (a261， 得)() 。（y+2)(1-2 a2 62 ，·k=2 x1-x2 b2(x1+x2）b2.4a_2b2 a2(+)022a。户不存在该中点弦直线AB与双曲线 a 2.1+—≤©三八十3一，一三。 2 -≤e≤ 3故答案为 [5231 23J 12.解：(1)由题意D(2,0),即a=2.又 F(-℃，0)，F2(c,0),则D=(-c-2,0) DF=(c-2,0),则DF·DF= -(c+2)(c-2)=4-c2=-1,即c2=5,则 2e21,即c若y-1 (2)由(1)知：F,(5,0),将x=5代人双曲线，得y=±2， 不妨令P5,方），又双曲线渐近线为士2=0，如图所示，所以 IP1=5,P85则1P1P81=号 4 5 5 18期：(1)当m=2时，曲线c:号+号=1是箱圆，1F,51=2 2×√9-2=27. 因为四边形AF,BF2是矩形，所以AF1⊥AF2,IAFI2+IAF2I2= 1F1F212=28,由椭圆的定义得1AF1I+1AF21=6,所以IAF1· 1MC,1=451+A,)2-(IA12+1M,12）_36-284 2 ②设4小，则=70号正1设P则号 2 云1，与号这1相成得 如，所以写一=一g,所 9 x2-场 瓷亏分微1满ac双 以k2= 曲线，且曲线c 9y2=1 ①因为号=1，所以离心率= 33 ②1F1F2|=2×√9+1=2√10. 压轴挑战 D解折：由E为黄金分制双线可得e即心2+a=(),对 参考答案 （*)两边同除以a2可得e2-。1=0,则e=5+ ,A正确； 变形得ac=c2-a2=b2,所以1AB12+1BF12=a2+b2+c2+b2=a2+c2+2(c2 a2)=3c2-a2,1AF12=(a+c)2=a2+2ac+c2=3c2-a2,所以AB⊥BF,所以 ∠ABF=90°，又∠AOB=90°，所以∠BA0=∠FB0,∠AB0=∠BF0,所以 △A0Bo△B0E,所以|O8=1所以10A10F1=10B2,B正确； 设P(x1,y),Q(x2y2),M(x0,y),将P,Q坐标代入双曲线方程可得 好异 =1, a2 b2 好好」 (a2621, 西与写。，即.力 作差后整理可得2当.y1.62 210a2 a2e2-1=5+1 所以kg·6ow=2-a2 ,故C正确； 设直线0P:y=,则直线00：y=,将y=c代人双曲线方程62- a2y2=a2b2,可得x2= -a,则2=a26 a262 62-a2e,所以10p=2+2= 换段-得10：， 10p12+ 1（6-a2)2+1).2-Q2_11与a,6的值有关，故D错误 1001 a262(k2+1) a22 故选D. 3.2 阶段综合 黑题 阶段强化 1C解折：双曲线G,的渐近线方程为)=±，双曲线G,的渐近线 方程为y=±√m 号 ,所以m=22故选C. 2A解折：因为双自线号兰=1(00,0)的网条新近线将坐标平 面四等分，所以渐近线方程为y=±x,因此a=b,则实轴与虚轴相等。 又因为以双曲线C: 号二=1(o>0,6>0)的实轴、虚轴为两条对角 a2 b2 线的四边形的面积为16，则】×2a×2a=16,即a2=8,因此该双曲线 2 的标准力程为号 -=1.故选A. 3.C解析：如图，设线段AF2的垂直平分线与x轴的交点为B,不妨设 点P在第一象限，则1FB1=2e-=3C2,1F3B1=, 2 (IPF]I-IPF2I=2a, 1PF11=2 a 再由勾股定理得|PF12 IPF I=51PF2I IPF21=a 1F,B12=1PF212-1F2B12,所以 (空)（分） (2）广，等式两边同除以。2整理可得2+e-3=0,得e=1+厅 2 或1-（合去）.故选C 双曲线C (第3题) (第4题) 4.C解析：如图，因为P为双曲线C右支上一点，所以IP℉1I 1PF21=2a=2√16=8.因为0为坐标原点，Q为线段PF1的中点，所 黑白题039 以001=之Pr,,lFQ1=之1PE,1,则1PT1=1f,Q1-1Qm= IF,QI-I0Q1=2(IPFI-IPF21)=4.故选C 5.ABD解析：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为√2，容易 知道y=x是实轴所在直线，y=一x是虚轴所在直线，坐标原点是对称 中心，联立实轴方程y=x与反比例函数表达式y=】得实轴顶点 (1,1),(-1,-1),所以a=√2，c=2,其中一个焦点坐标应为(2， √2)而不是(2,2)，由双曲线定义可知1IPM1-1PN11=2a=22.故 选ABD. 巴重难点拨 渐近线的夹角与双曲线的离心率存在对应关系 &B解折双曲线兰云1(0>0)的条渐近袋方是为y4。 a 子，所以a=3,e=5,当点M在双曲线的左支时，1M,1- 16 1=2a=6,W,1=1W,1+6,所以1M+7M产IM1+ 16 +6≥2ME6+6=14,当且仅当1M,I=MB 1MF11=4,1MF21=10时等号成立.当点M在双曲线的右支时， IMF,I-M,=2a=6,MP2=IMF1I-6,所以1MP,I+MP, 16 1F1+1M6(共中1M,1≥a+e=8),对于函数+16 16 1616 (x≥8)，任取8≤x1<x2fx1)-f(x2)=1+ =x1-x2-16· x1-x2（x1-x2)(x1x2-16 x1X2 ,由于名1-x2<0,x1x2-16>0,x12>0,所 X1X2 以f(1)-f(x2)<0,f(x1)<x2),所以f(x)在[8，+∞)上递增，所以 fn8=8台-10，所以W1+=1F1+品-6 16 的最小值为10-6=4综上所述，MP21+,6的最小值为4故选B 7.B解析：如图，延长QF2与双曲线C交于点P',因为FP∥F,P',根 据对称性知1F1P1=1F2P'1,连接QF1,F1P, 个y Q F、F, 设1F1PI=1F2P1=2,则1F2PI=5,1F2Q1=10t,可得1F2PI- 15P=3=2a,即4=子a,所以1PQ1=1224 a,则1QF11= 10,1+2a=a,1RPI=RPI=9,所以1P@12+1RP 1QF112,可知∠F1P'Q=∠F1PF2=90°，在△P'F1F2中，由勾股定理 得1P+1RP2=1R,R1,即(g）+(9）广=4，解 得e=:2 故选B. &号解析：如图，由于1A1=21P,B1,AB1=1B1,且1BR,- 1BF1I=2a,|AF2I-IAF1I=2a,设1BF1I=m,则|AF11=2m,故 1BF2|=3m,所以3m-m=2a,即m=a,则1BF1I=a,1AF11=2a, 1BF2I=3a,IAF2|=4a,在△BAF2中，由余弦定理得cos∠F1BF2= 9a2+9a2-16a21 2x30x309放答案为g 选择性必修第一册·SJ (第8题) (第9题) g.30解析：由慝意知A(-a,0,4(a0,r(,白）为双曲线C: 1616 x2 y2 22=1(o>0,b>0)上一点，则pm·kp写本。‘。=g,解得 256 9又：点P在双曲线C上，则写是1，解得尔=16， 4(-3,0),4(3,0),则0-(5)4=(6.0)，所以. A142=30.故答案为30， 解：(1)因为双曲线C与双曲线2-)=1有相同的渐近线，不妨设 双曲线C的方程为-三=A(A≠0)，又因为双曲线经过点（2 2 0),解得A4,所以双直线C的际准方裂为子专1 (2)不妨设A(x1,y1),B(x2,y2), A 因为线段AB的中点为M(3,3),所以1+x2=6,少1+y2=6.因为A,B 好六=， 48 两点都在双曲线C上，所以 可得 8(m+2)(1 48 万)=子（+)(，即g()子(，则 1 1 42=2,所以直线4B的方程为y3=2(x-3),即y=2x-3. x1一x2 (3)由感可设直线1的方程为。+子=1，即6征+-ab=0,由原点 到直线的距离为日得4：功心月。 Va2+6c4c,即16a2(c2-a2)= 3c4,两边同时除以a4得16(e2-1)=3e4,整理得3e4-16e2+16=0, 解得口=子或4，放双曲线的离心率为：=2或：=2 11.解：(1)因为11PF11-1PF211=2,所以点P的轨迹为以F(-2,0), F,(2,0)为焦点的双曲线，设此双曲线方程为号二 a262=1(a>0,b> 0),易知2a,2又由=2-42=3，解得即轨迹E的方程 c=2, b2=3, 为 (2)因为直线1经过点A(5,0),倾斜角为45°，所以直线1的方程为 y=x-5,联立 s代ga62- y=x-5, 和点D(-7,-12),则A花=(-3，-3)，A=(-12,-12),由A花=入A 得(-3，-3)=A(-12,-12),解得入=4 1 (3)方法一：由题意得直线m不可能与x轴重合，设m:x=y+2, 黑白题040 22 M(x1y1),N(x2y2),联立 -3=1,得到(3n2-1)y产+12y+9= （x=y+2, 0,而3n2-1≠0,4=144n2-36(3n2-1)=36n2+36>0,由韦达定理得 -12n yitya=3n2-1' 所以k1·2= y1 y2 y1y2 9 1+12+1(ny1+3)(y2+3) 1·23n2-1 9 Y1Y2 3n2-1 9 ny+3n(G1+2)+9923n:12m）+49 9n2-36n2+9(3n2-1) 3n2-13n2-1 -1,故1·2是为定值，且该定值为-1 9 方法二：①当直线m的斜率不存在时，直线方程为x=2,可得M(2, 3),N(2,-3),此时k1·k2=-1; ②当直线m的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),联立 2-￥L得到（3-2)x子+42x-42-3=0,而3-2天0. (y=k(x-2), 16k4+4(3-2)(4k2+3)=36（2+1)>0,由韦达定理得 42 x1+*2 k2-3 4k2+3 所以k·2= 2k2(x1-2)(x2-2) x1+1x2+1（x1+1)(x2+1) x1·2-2-3' 2x1x2-2k2(x1+x2)+42 =(42+3)-22·42+42(2-3) x1x2+(x1+x2)+1 4k2+3+4k2+k2-3 9职-1，故，·名是为定值，且该定值为-1 -9k2 综上所述，k1·k2为定值，且该定值为-1. 压轴挑战 解：1)因为渐近线的倾斜角为60，所以m60=片-5，所以6=5 (2)由题意可知直线1的斜率存在，设1：y=x+4,由(1)可知渐近线方 。4 程为)y=士3，联立+4可得 √5-k 不妨取M 44W3 (y=3x, 43 3-k√3-k Y=- (3-k 16 48 8 所以IOMI= W(3-k)2(3-k)213-1 同理可得N 3+'3+4所以10N1= 443 16 48 V(3+k)2(5+k)2 8 I3+k -,所以SAOMN= 10MIx10N1xY3.16,38w3 1 213-3,解得k=±3， 所以1：y=±3x+4, (3)如图，设B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点为D(x3,y3),由题意可知 直线1的斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以k (-0,-√3)U(3,+3), =1 联立 可得-国-片号所以3()之g） x1一x2 又因为2=1+2,2y,=1+2,k=,所以6s,=23,即3%，=3 x1-%2 又因为AB1=1AC1,所以AD1BC,所以kc·ko=-1,所以k.为-4 x3 (3x3=hy3, -1,联立 k.4 ,可得二所以D(k,3),将y=3代人双曲线 =-1, （y3=3, 3 方程2 3=1中，可得x=±2.因为D在双曲线的右支内部，所以>2 参考答案 又因为c3+m=y3,所以m=y3-kx3=3-2,所以m<3-22=-1,即m∈ (-0,-1). 3.3抛物线 3.3.1抛物线的标准方程 白题 基础过关 1.D解析：设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点 P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为 准线的抛物线上.故选D. 2.C解析：由题意及抛物线定义，点M到抛物线C的准线x=-2的距 离为6，所以点M到y轴的距离为6-2=4.故选C 3.C解析：由题设，抛物线准线为x=-2,结合题设及抛物线定义，则 有1PF1=1+2=3.故选C. 四重难点拨 若P(x0,yo)为抛物线y2=2px(p>0)上一点，则焦半径1PF1= x0+2 4.D解析：由题意，可设抛物线为x2=2py,又因为点(1，-2)在抛物线 上，所以-4=1→p=放所求抛物线为2=子放选D 5.B解析：由题意知动点P(x,y)到直线x=-3的距离与它到定点(3， 0)的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以(3,0)为焦点， x=-3为准线的抛物线，所以p=6,点P的轨迹方程为y2=12x.故 选B. 6.C解析：.直线y=x-k=k(x-1),∴.直线过定点(1,0).∴.当k=0 时，直线y=0与抛物线有一个公共点，即顶点；当k≠0时，点(1,0) 在抛物线的内部，∴.直线与抛物线有两个公共点，综上所述，直线与 抛物线有一个或两个公共点.故选C. 四方法总结 判断直线与抛物线的位置关系的方法： 联立直线与抛物线方程，消元整理后得到的方程的解的个数即为直 线与抛物线的交点个数 ①若二次项系数为0，此时直线与抛物线有一个交点，直线与抛物线 相交； ②若二次项系数不为0，则判断该一元二次方程的判别式的符号 若△>0，则直线与抛物线有两个交点，直线与抛物线相交： 若△=0，则直线与抛物线有一个交点，直线与抛物线相切： 若△<0，则直线与抛物线没有交点，直线与抛物线相离。 7.AD解析：点(0,1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点 的直线共有3条：其中两条是抛物线的切线，一条平行于抛物线的 对称轴，可得直线x=0是过(0,1)且与抛物线相切的直线，直线y=1 是过(0,1)且平行于抛物线的对称轴的直线，BC选项的直线不满足 条件故选AD. 四易错提醒 直线与抛物线只有一个交点包括两种情况： ①相交，但只有一个交点，对应联立后的方程的二次项系数为0； ②相切，对应联立后的方程的二次项系数不为0且△=0. (.(2)解折：展立等得或子因比直 线y=x+2和抛物线y=x2的交点是(-1,1)，(2,4).故答案为(-1， 1),(2,4) :直线1与抛物线C相切，联立仪花6，得2+(2b4): b2=0,∴.△=(2b-4)2-4b2=16-16b=0,解得b=1. 黑白题0413.2.2双曲线的几何性质 白题 基础过关 限时：45min 题组1双曲线的几何性质及应用 题组2双曲线的渐近线方程及应用 1（多选)已知双尚线c:-号-1，则 7.（多选)(2025·陕西汉中高二期中)以y= ±3x为渐近线的双曲线可以是 () A.双曲线C的实半轴长为2 B.双曲线C的虚轴长为2√3 3y2=1 A C.双曲线C的离心率为2 D.g=1 D.双曲线C的渐近线方程为y=±√3x 2.(2025·江苏徐州高二期中)以椭圆+ =1 8(2025·浙江台州高二期中)已知双曲线 m 169 y2=1(m>0)的焦距为6，则该双曲线的渐近 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准 线方程为 方程为 （) A. yx 791 B. x =1 A.y= B.y= 79 4* C.2 3 9161 =1 C.y=± 916 3* D.±35 35* 3.已知点(2,1)在双曲线名、 =1上，则( 9(2025·江苏徐州高二期中)双曲线c. 4 A.点(-2，-1)不在双曲线上 B.点(2，-1)不在双曲线上 兰=1(m>0)的一条渐近线的方程为y=行， 2 C.点(-2,1)在双曲线上 则m值为 D.以上均无法确定 A.m=9 B.m= 4 9 4. (2025·江苏常州高二期中)双曲线x2+mw2=1实 4 C.m= 16 轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为( 3 D.m 9 A司 (2025·江苏镇江高二月考)双曲线=1 10. 24 C.-2 D.-4 的焦点到渐近线的距离为 ) 5.(2025·重庆南开中学高二期中)已知P为双 曲线1上一动点，过原点的直线1交 A.√2 B.2 C.√6 D.23 3 612 11.(2025·四川南充高二月考)已知双曲线C: 双曲线于A,B两点，其中A(3,6),则PA· x PB的最小值为 ( 。26P-1(>0,b>0)的离心率为2，则双曲 A.-6 B.-9 C.-12 D.-15 线两条渐近线的夹角为 6.(2025·江苏南通高二月考)过点P(2,3)的 A.30 B.60° 等轴双曲线的标准方程为 C.90° D.120° 选择性必修第一册·SJ黑白题050 12.(2025·山东聊城高二月考)已知双曲线C 19. 已知双简线c:-1(a>0,0)的左.有 经过点(4,2)，且与双曲线=1具有相 焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线 同的渐近线，则双曲线C的标准方程 为 左支上存在点P使得1R,1-多-2，则离 x2y2 心率的取值范围为 ( 13.已知双曲线C。&1(a>0,b>0)的左，右 A.(1,4] B.[6,+∞) 焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),若点P在 C.[4,+∞) D.[2,+∞) 20.(2025·黑龙江牡丹江高二期中)已知双曲 C的渐近线上，且IPFI=√2IPF2I,则a的 最小值为 线C:XX(@>0.b>0)的左、右焦点分别 题组3求双曲线离心率的值 为F1,F2,焦距为2c.若以线段FF2为直径 14.若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三 的圆与直线ax-by+2ac=0有交点，则双曲线 等分，则该双曲线的离心率为 C的离心率取值范围为 ( A.3 B.3 C.2 D.√2 A.(1,2) B.（2,+0) 15(2025·浙江宁泼高二期中)已知双曲线 C.(1,2] D.[2,+∞) 21已知双角线c茶-1(e>0,60y的左.右 1的一条渐近线过点(4,2)，则此双曲线 焦点分别为F1,F2,P是双曲线的右支上 的离心率为 ( 点，且IPFI·IPF2I=3a2,则双曲线C的离 心率的取值范围为 A.3 B.√5 D.√2 重难聚焦川 16过双曲线”子 云-1(0>0，b>0)的左焦点万，作 题组5双曲线几何性质的综合应用 x轴的垂线交双曲线于点P,F2为右焦点，若 22.若双曲线C:≤1 ∠FP℉2=45°，则双曲线的离心率为 ( 焦点分别为F,F2,P为×山 A.1 2 B.2+1C.2 D.2 C上一点，满足PF·PF=0的点P依次记 17.（2025·福建泉州高二期中)过双曲线E的 为P1,P2,P,P4,则四边形PP2P3P4的面 两个焦点分别作实轴的垂线，交E于四个 积为 点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则 85 A. B.25 E的离心率为 5 题组4求双曲线离心率的取值范围 23. x2y2 已知双曲线B:261 18已知双曲线C:二 =1(m>0),则C的离 mm+2 b>0),右顶点是A,若x四x卫 心率的取值范围为 右支上存在两点B,C,使△ABC为正三角 A.(1,√2) B.(1,2) 形，则双曲线E的离心率e的取值范围 是 C.(√2，+∞) D.(2,+o) 第3章黑白题051 黑题 应用提优 限时：60min 1.(2025·山东青岛高二期中)等轴双曲线C的 6.(2025·重庆南开中学高二期中)已知双曲线 个焦点为(-2,0)，则它的实轴长为( 子号1的左顶点和右焦点分别为AR,0为 A.√2 B.2 坐标原点，经过点A的直线1与双曲线的两条 C.4 D.22 2.(2025·江西南昌高二期中)若双曲线C的一 渐近线交于点M,N,设M,N的中点为P,满 个焦点为(2,0)，其中一条渐近线与直线3x+ 足IOPI=1PF1,则直线l的斜率为() √3y-1=0平行，则C的标准方程为 ( 6 A.±2 x A. 3y2=1 1 7.（多选)(2025·山东临沂高二月考)双曲线 C.x =1 3 D. 31 7号1的瓶点为(-2.0.520，过5 3已知双虚线号茶-1(0>0,6>0，四点 的直线，与双曲线的左支相交于A,B两点，过 F2的直线12与双曲线的右支相交于C,D两点， P1(4,2),P2(2,0),P3(-4,3),P4(4,3)中恰 若四边形ABCD为平行四边形，则 有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 A.=√3 ( B.IIAF,I-ICF,I1=2/3 5 A. n C.平行四边形ABCD各边所在直线斜率均不 2 4. (2025·淅江绍兴高二期中)已知椭圆C1与 为号 双曲线C2有公共焦点F1,F2,C1,C2的一个 √3 公共点P恰在以F,F2为直径的圆上，e1,2分 D.SGARCD≤ 3 别为椭圆C,与双曲线C,的离心率，则二+ e 8刻图，双自线C:号片-1的东袋点为片.双 的值为 ( 曲线上的点P,与P2关于y轴对称，则 5 A.2 B. 2 C.1 0.2 IP2F,I-IP,F,I的值是 5.(2025·江苏南京师大附中高二期中)已知双 曲线若-1（®0b0的左，有能点分别为 F,F2,M为双曲线右支上的一点，若M在以 P6,为直径的圆上，且∠M,e(停智)，则 9.（2025·陕西西安高二期中)设A为双曲线 r:=1(o>0,>0)的-个实轴顶点，B,C 该双曲线离心率的取值范围为 a2 b2 A.(1,2) B.(2,+)》 为T的渐近线上的两点，满足B心=4AC, C.(1,W3+1) D.(2,W3+1) 1AC1=a,则T的渐近线方程是 选择性必修第-册·SJ黑白题052 10.(2025·重庆江北区高二月考)过双曲线x2- (2)若P是C上与A,B不重合的点，且直线 1的右焦点作直线交双曲线于A.B PA,PB的斜率分别为1，k,若2g 1 点，若使得|AB1=入的直线恰有3条，则实数 ①求此曲线C的离心率； 入= ②求1FF21. 11.(2025·浙江宁波高二期中)已知双曲线C: 。尔=1(0>0,6>0)，若双曲线不存在以点 x2y2 (2a,a)为中点的弦，则双曲线离心率e的取 值范围是 12.(2025·湖北武汉高二月考)已知双曲线C: x2y2 。2=1(u>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,C的右顶点D在圆x2+y2=4上，且 DE·DF=-1. (1)求C的方程； 压轴挑战∥ (2)点P在C上，且PF2⊥x轴，过点P作C (2025·福建龙岩高二月考)公元前 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B, 300年前后，欧几里得撰写的《几何 求IPAI·IPBI. 原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述： 把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长 的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这 个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金 分割比”倒数的双曲线叫作“黄金双曲线”.黄 金双线去号茶=1(o0,6>0的-个顶右 为A,与A不在y轴同侧的焦点为F,E的一个 虚轴端点为B,PQ为双曲线任意一条不过原点 且斜率存在的弦，M为PQ中点.设双曲线E的 离心率为e,则下列说法中，错误的有() A.e=5+1 2 13.(2025·吉林长春高二期中)已知曲线C: B.I0AIIOFI=10B12 父=1(m<8且m≠0)的左，右焦点分别 9+m C.koM·kro=e 为F1,F2,直线y=kx与C交于点A,B. D.若0P100,则1 10P21001=e恒成立 1 (1)若m=2,且四边形AF,BF2是矩形， 求IAFI·IAF21的值. 进阶突破。拔高练PO7 第3章黑白题053 3.2阶段综合 黑题 阶段强化 限时：60min 已知双角线G:香1(m0)与双前线Ga 5.(多选)(2025·陕西汉中高二月考)某数学兴 1. 趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1 =1(m>0)有共同的渐近线，则m= 2 m 的图象是双曲线，两条渐近线分别为x轴和 y轴，设其焦点为M,N,若P为其图象上任意 A.√2 B.2 一点，则 C.22 D.4 A.y=一x是它的一条对称轴 B.它的离心率为2 已知以双曲线C:。2-1(a>0,6>0)的实 2. C.点(2,2)是它的一个焦点 轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为16， D.IIPMI-IPNII=22 且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分， 则该双曲线的标准方程为 ( 6(2025·江苏宿迁高二月考)双曲线号 a2i61 A. x2 881 x2y2 (o>0)的一条渐近线方程为y=3x,F,B,分 4 B. =1 1616 C 4￥1 D.1 别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的 816 3.(2025·江苏常州高二期中)已知F1,F2分别 一点，则ME,+MF, 16 的最小值为() 是双曲线 。京=1(a,b>0)的左、右焦点，A A.2 B.4 C.8 D.12 为双曲线的右顶点，线段AF,的垂直平分线 7.(2025·江苏徐州高二月考)如图，已知F1,F2 交双曲线于点P,其中|PFI=5|PF2I,则双 曲线的离心率为 ( 分别是双曲线C:。=1的左右焦点，P,Q A. -1+√/17 B.1+I7 为双曲线C上两点，满足FP∥F,Q,且 2 2 IF2Q|=21F2P1=51FPI,则双曲线C的离心 C. -1+√13 D.1+13 率为 2 2 4.（2025·吉林延边高二期中)已知双曲线C: 6)1的左右焦点分别为R,B,P为双 曲线C右支上一点，0为坐标原点，Q为线段 √/29 PF的中点，T为线段QF1上一点，且IQTI= A. B v29 2 10Q1,则1F,T1= C.V19 w19 D. A.3 B.W10 C.4 D.5 2 3 选择性必修第一册·SJ黑白题054 8.已知F,F2分别为双曲线C的左、右焦点，过 (3)已知点T(-1,0),过点F2作直线m与 F,的直线与双曲线C的左支交于A,B两点， 轨迹E交于M,N两点，记直线TM,TW 若IAF1I=2IFBI,IABI=IBF2I,则 的斜率分别为k1,k2,试问：k1·飞2是否 cos∠F1BF2=」 为定值？若是，求出该定值；若不是，请 9.(2025·江苏南通高二期中)已知0为坐标原 说明理由. 点P6,)为双线c若=1(a>0b 0)上一点，A1,A2分别为双曲线C的左、右顶 点，且直线PA,与直线A,的斜率之积为， 则0.A4= 10.(2025·江苏泰州高二期中)已知双曲线C 的中心在原点，过点(2,0)，且与双曲线x2- )=1有相同的渐近线 压轴挑战 (1)求双曲线C的标准方程； (2025·江苏常州高二期中)已知双 (2)已知A,B是双曲线C上的两点，且线 段AB的中点为M(3,3),求直线AB的 曲线Ex =1(6>0),其中一条渐 方程； 近线的倾斜角为60°，点A(0,4),坐标原点0 (3)设双曲线C:。云1(a>0,6>0)的半焦 (1)求b的值； (2)直线l经过点A,与E的两条渐近线分别交 距为c,直线1过(a,0),(0,b)两点，已 知原点到直线1的距离为。，求双曲线 于点M,N若△0MN的面积为83，求直线 1的方程； 的离心率 (3)如图，直线y=x+m交双曲线E的右支于 不同两点B,C,若1AB1=IAC1,求实数m的 取值范围。 11.(2025·江苏扬州高二期中)已知F(-2, 0),F2(2,0),点P满足1IPF11-IPF21I=2, 记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程. (2)直线1经过点A(5,0),倾斜角为45°，与 轨迹E交于C,D两点（点C在点A,D 之间)，若AC=入AD,入∈R,求入的值 第3章黑白题055