3.2.1 双曲线的标准方程-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

3.2双曲线 3.2.1双曲线的标准方程 白题 基础过关 限时：45min 题组1双曲线定义的理解 1.(2025·浙江绍兴高二期中)已知动点M(x, 6(2025·安微蚌埠高二月考)已知方程 红 y)满足√(x+2)2+-√(x-2)2+y2=4,则动 y2 =1表示焦点在x轴上的双曲线，则m m2-4 点M的轨迹是 ( 的取值范围为 A.射线 B.直线 A.(1,2) B.(-2,2) C.椭圆 D.双曲线的一支 C.(2,+0) D.R 2.(2025·广东广州高二期中)已知双曲线C: 421的两个焦点分别为F1,,双曲线C x2y2 7已知双曲线y 。P=1(a>0,6>0)的左、右焦点 分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，若 上有一点P,若IPFI=5,则IPF2I=( A.9 B.1 1PF,I-1PF21=b,且双曲线的焦距为25，则 C.1或9 D.11或9 该双曲线的方程为 3.(2025·江苏泰州高二期中)已知双曲线C: 8.(2025·河南南阳高二期中)若双曲线y 苦-1的左右点分湖为R过R,的 1的焦距为4，则实数m的值为 直线1与双曲线C的右支交于A,B两点，若 9.(2025·辽宁铁岭高二期中)求适合下列条件 IAB1=2,则△ABF,的周长为 的双曲线的标准方程： 题组2双曲线标准方程的求解及应用 (1)a=25,经过点A(2,-5),焦点在y轴上； 4.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足1PM1- (2)过点A(3,2)和B(17,12). 1PN1=22.则P的轨迹方程为 ( (20) A. 221 c451c>0, 42 5.(多选)(2025·吉林白城高二期中)过点(1， 题组3双曲线中的焦点三角形问题 1)且=2的双曲线的标准方程是 ( 0已知F,E2分别是双曲线C:23s =1(a>0, x2 A. y2s1 b>0)的左、右焦点，IF1F2I=2c,点P在C的 右支上，且△PF,F2的周长为6c,则IPFI= 3 3 -2=1 C. 1 D.2 () 1 A.3c-a B.3c+a 2 2 C.2c-a D.2c+a 选择性必修第一册·SJ黑白题046 1.(2025·江西南昌高二期中)若梢圆- 17.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公 2516 共点，则飞的取值范围为 和双曲线=1的共同焦点为P, 18.已知双曲线-上-1(a>0)的左焦点为 a26 是两曲线的一个交点，则cos∠F,PF2的值为 F(-3,0),过点F1作倾斜角为150°的直线 ( 交双曲线于A,B两点 A D.7 (1)求a的值； 21 (2)求IAB1. 12.（2025·江苏苏州高二月考)已知P是双曲 线y 线16a9n-1(a>0)上的点，R,F2是其 左、右焦点，且PF·PF=0.若△PF,F2的面 积为18，则a= ( A.2 B.2√2 C.√2 D.3 题组4直线与双曲线的位置关系 且直线了名+2与双自线-号-1的位登关 系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 14.（2025·四川自贡高二期中)已知直线1： y=2-8,双线C若y=1,则 ( 重难聚焦川 A.直线1与双曲线C有且只有一个公共点 题组5利用双曲线定义求最值 B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点 19.(2025·山西太原高二月考)已 C.直线1与双曲线C的右支有两个公共点 D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个 知定点4(3,1)，F是双曲线 公共点 15.(2025·广东深圳高二月考)已知双曲线E: 21的右焦点，P是双曲线右支上的动 。士=1，则过点(2,5)与E有且只有一个 点，则IPAI+IPFI的最小值为 ( 45 A.2 B.5√2+4 公共点的直线共有 C.52-4 D.√2+4 A.4条 B.3条 20.已知定点A(-5,0),B(5,4),点P为双曲 C.2条 D.1条 16直线2x于10=0与双线5否1的交点 俊C6)1石支上任意-点，测IPB哑 IPAI的最大值为 坐标为 第3章黑白题047 黑题 应用提优 限时：60min 1.平面内动点P到两定点F(-2,0),F2(2,0) 若AF,I=IAB1,则下列说法正确的是 的距离之差为m,若动点P的轨迹是双曲线， 则m的取值范围是 ( A.（-4,+0） B.（4,+∞) C.(-4,4) D.(-4,0)U(0,4) 2.若双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点 的距离之比为2：1，则称此双曲线存在“L os∠FE,B=-V5 A. 点”，下列双曲线中存在“L点”的是( B.b=3 A=1 4 B.2 =1 9 C. AB1-55 2 C店1 n.=1 D.△ABF1的面积为15 24 3. 单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一， 5设R人是双击战C:号1的丙个货点.0 它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力， 为坐标原点，点P在C上，PQ⊥x轴于点Q, 又能用最少的材料来维持结构的完整.如图 且Q在线段F1F2上，IPQI2=IFQ1·IF2Q1, ①，俗称“小蛮腰”的广州塔位于中国广州市， 则IFPI+IPF2I= () 它的外形就是单叶双曲面，某市计划建造类 A.4 B.6 C.2√/10D.40 似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面 图形是双曲线，如图②，最细处的直径为 5设P(x,)是双曲线，4=1的右支上的点 100m,楼底的直径为50√22m,楼顶的直径 则代数式x2+y2-2y+1-√x2+y2-6x+9的最小 为50√6m,最细处距楼底300m,则该地标建 值为 () 筑的高为 A.√10 B.25-√/10 C.√10-√/5 D.W5+√6-3 x2 y2 7.已知双曲线C:。示=1(a>0,6>0)满足6- 3a,C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C 的右支上，PF1的中点N在圆0：x2+y2=c2 A.350m B.375m 上，其中c为半焦距，则sin∠F,PF2=() C.400m D.450m 4.（多选)(2025·重庆江北区高二期中)如图， 已知双自线c:写产-1(6>0)简左，右焦点分 8.已知双曲线C:4x2-y2=1,过点(0,0)作直线1 和双曲线C交于A,B两点.点A在第一象限， 别为F1(-c,0),F2(c,0),直线y=-2(x-c)与双 过点A作x轴的垂线，垂足为H,则直线BH 曲线C右支相交于A,B(其中A在第一象限)， 倾斜角的取值范围是 选择性必修第-册·S黑白题048 9.已知圆A:(x+2)2+y2=9,圆B:(x-2)2+y2=13.（2025·广东广州高三月考)已知双曲线T: 1,圆C与圆A、圆B外切，则圆心C的轨迹方 程为 ”2=1(b>0)与x轴交于A1,A,两点(4， 在A1的右侧)，过点M(-2,0)的直线1交双 10. 设双曲线C:。,=1的左、右焦点分别为 曲线Γ于P,Q两点 F,F2,过点F的直线与双曲线C交于M,N (1)若b=1,△MA,P为等腰三角形，且点P 两点，其中点M在左支上，N在右支上.若 在第一象限，求点P的横坐标； ∠F2MN=∠F,NM,则IMWI= (2)若b2=2,连接0Q并延长，交双曲线T 11.圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广 于点R,若AR·A2P=1,求直线1的 泛的应用.我国首先研制成功的“双曲线电 方程 瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质， 即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双 曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过 双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线C: x2-my2=1的左、右焦点分别为F1,F2,当入 压轴挑战 射光线F,P和反射光线PE互相垂直时（其 （多选)(2025·江苏无锡高二期中) 中P为入射点)，6s∠RR,P=了，则该双曲 已知双曲线c:子兰 a262=1(a>0,6>0) 线的标准方程为 的焦距为4，F1,F2为左、右焦点，A,B,D为双 曲线上不同的三点，其中A,B两点关于原点对 称，直线DA与DB斜率的乘积为1，则下列说 法正确的是 A.若过点F,的直线l与C的右半支交于两点， 12.(2025·江苏连云港高二期中)在平面直角 坐标系x0y中，已知点F1(-2,0),F2(2,0), 则直线1的倾斜角的取值范围为？） 点M满足IMF1I-IMF2I=2,记M的轨迹 B.若P为双曲线C上一点，且IPFI= 为c. 3 (1)求C的方程； 21PF2l,则cos∠FPF,=- (2)过点F2的直线1与C交于A,B两点，且 C.若N为双曲线C上任意一点，则1O △ABF,的面积为24√5，求直线l的 INF,I 方程. INF2I INOI D.若M为双曲线右支上一点，延长MF,交双 曲线右支于点Q,设△MF,F2与△QFF2的 内切圆半径分别为1，r2,则r112=6-4√2 进阶突破拔高练PO6 第3章黑白题0493.2双曲线 3.2.1双曲线的标准方程 白题 基础过关 1.A解析：设F1(-2,0),F2（2,0),由题意知动点M满足 IMFI-1MF2I=4=1F1F2I,故动点M的轨迹是射线.故选A. 四易错提醒 (1)已知|F1F21=2c,动点P满足I1PF1I-1PF2I1=2a,则 ①若a<c,则点P的轨迹为双曲线； ②若a=c,则点P的轨迹为以F1,F2为端点，向F1F2两侧延伸的两 条射线； ③若a>c,则点P的轨迹不存在. (2)若动点P满足的条件是IPF1I-1PF21=2a(或IPF21- IPF,l=2a),则动点P的轨迹只能是双曲线的其中一支或者两条射 线的其中一条. 2.A解析：根据双曲线定义可得11PF1-IPF2I|=2a=4,又IPF1I= 5,所以1PF2I=1或IPF2I=9.又c2=a2+b2=16,c=4,而1PF,I+ IPF21≥2c=8,所以1PF2I=9.故选A 3.12解析：由题意可得a2=4,则2a=4,△ABF1的周长为1AF1I+ IBF1I+IABI.由双曲线的定义可得IAF1I-IAF2I=IBF1I-IBF2I= 4,又IAF2I+IBF2I=IABI=2,所以IAF1I+IBF1I+IABI= IAF1I-1AF2I+IBF1I-IBF2I+21ABI=4+4+4=12,所以△ABF1的 周长为12. 4.A解析：因为M(-2,0),N(2,0),所以IMW1=4.因为动点P满足条 件IPMI-IPNI=2W2<IMWI,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双 曲线的右支 因为点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件IPM1-1PNI=22,所 以c=2,a=2,所以b=√2-a2=√22-(2)2=√2，所以动点P的 教迹方程为号子=1(00，故达入 5.AC解析。=2b2=2a2,当焦点在x轴上时，设二 a22a2=1, 代入点(1，)，科心2=分，此时双曲线方程为千→-1：同理求得焦 2 点在y轴上时，双曲线方程为-=1故选AC 1 四易错提醒 已知双曲线上的点求双曲线的标准方程时，需要对焦点的位置进行 分类讨论 6.A解析：焦点在r轴上，则m1>0,解得1<m<2故选A 1m2-4<0, 四方法总结 若，亡-1表示双曲线，则需要清足m<0,当m>0,a<0时表示焦 m n 点在x轴上的效曲线；当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线， (IPF I-IPF2I=2a=b, 7.x2y2 =1解析：由题意得c2=a2+62, 海低- 2c=25, 该双曲线的方程为2 41故答案为2 41 &3解析：因为方程号少=1表示双雷线，所以m0.双角线的距 为2c=4,c=2,所以22=m+1,m=3.故答案为3. 9.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为 2=1(>0,b>0),由a=25,经过点4(2，-5)，可得（-5)2 y2 x2 (25)2 参考答案 -1，解得6=4，故双曲线的标准方程为二 22 =1. 2016 (2)依题意设双曲线方程为mx2-y2=1(mn>0),则 9-n,,解得ml所以双曲线的标准方程为2上=1 289m-144n=1, ln=2, 1 2 10.D解析：由双曲线定义可知1PF,l-1PP21=2a,则△PF,F2的周 长为IF1F2I+IPF1I+IPF2I=2c+IPF1I+IPF1I-2a=6c,故 IPF11=2c+a.故选D. 11.A解析：由椭圆和双曲线定义，不妨设PF,>PF21,根据椭圆和 双曲线的定义可得1PF11+IPF2I=10,IPF1I-1PF2|=4,联立上面 (IPF1+IPF21=10, 两式PF,-PP21=4 解得1PF1I=7,IPF2I=3. 由双曲线的方程可得c=√4+5=3，所以焦距1F1F2|=2c=6, 所以cos∠F1PF2= 1PF112+1PF212-1F1F21249+9-3622_11 21PF IIPF2I 2×7×342-21 故选A 四重难点拨 在双曲线的焦点三角形PF1F2中，有 1PF112+lPF212-|F1F2124a2+2I1PF111PF2I-4c2 ①cos∠F1PF2= 2IPF IIPF2I 2IPF IIPF2I 262 1-1PF:IIPF2 ②S所，IPF,IPR,l1LR,PR,= b2 ∠FPF2 tan ③PF·PF=IPF11IPF2lcos∠F,PF2=IPF1IIPF21-2b2 12.C解析：由PF·PF=0,得PF1PF由勾股定理得1PF112+ PF212=1F,F212=(2√16a2+9a2)2=100a2.由双曲线的定义 得IIPF,I-1PF21I=8a,所以64a2=PF112+1PF212-21PF1I· 1PF21=100a2-21PF1I·IPF2I,所以IPF11·1PF2I=18a2,则 △PF,P的面积为2PF,·PF,1=92=18因为a>0,所以解 得a=√2.故选C. 3 312 y=2+2,2 得 （2*2》 13.B解析：由 =1,整理得6x=-13 x2y2」 4 9 =1, 49 解得x,故直线和双曲线的位登关系为相交，且只有一个交 点故选B. 四方法总结 判断直线与双曲线的位置关系的方法： 联立直线与双曲线方程，消元整理后得到的方程的解的个数即为直 线与双曲线的交点个数. ①若二次项系数为0，一次项系数也为0，此时直线与双曲线没有交 点，直线与双曲线相离； ②若二次项系数为0，一次项系数不为0，此时直线与双曲线有一个 交点，直线与双曲线相交； ③若二次项系数不为0，则判断该一元二次方程的判别式的符号， 1°若△>0，则直线与双曲线有两个交点，直线与双曲线相交； 2°若△=0，则直线与双曲线有一个交点，直线与双曲线相切； 3°若△<0，则直线与双曲线没有交点，直线与双曲线相离. (y=2x-8, 10 x- 3, 14.C解析：联立直线与双曲线方程得 1t2 解得 或 y2=1 4 4 黑白题033 26 则直线1与双曲线C的右支有两个公共点.故选C 12 y= 5 15.C解析：①若过点(2,5)且与双曲线E:4 x2.y2 =1有且只有一 (x2 y2 个公共点的直线斜率不存在，即x=2,联立{45 1，得 x=2, =2:即直线x=2与双曲线E有且仅有一个交点，符合题意： y=0, ②若过点(2,5)且与双曲线E,上 45 =1有且只有一个公共点 的直线斜率存在，设直线方程为y-√=k(x-2),即y=kx+√5-2k, 45得5-421x2-85-21x-4,5-241220 （y=kx+√5-2k, 0(*), 1若5-42=0，即k=± 2 当k=5时，代入(*)武得-20=0，无解，此时直线y=x+5-2 与双曲线E没有公共点； 当=时，代人()式得0-10=0，解得=此时直线 y=x+√5-2h与双曲线E有且仗有一个交点，符合题意，直线方程 为W5x+2y-4W5=0: 2者5-4≠0，即k生4=645-2的2-45-4) [-45-2-20]=160(5-25,令4=0得=7，与±写 矛盾，舍去. 综上，过点(2，√5)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有 两条：x=2和/5x+2y-4W5=0.故选C. 四易错提醒 直线与双曲线只有一个交点包括两种情况： ①相交，但只有一个交点，对应联立后的方程的二次项系数为0且 一次项系数不为0； ②相切，对应联立后的方程的二次项系数不为0且△=0 2x-y-10=0, 18(6,2.(子） 解析：由{x2y2 消去y得3x2-32x+ -=1, (205 14 x= 3 84=0,解得x=6或x= 4,代人直线得x=6或 3 所以直 (y=2 2 y=- 3 线与双曲线的交点坐标为(6,2)， (3,3故答案为(6,2)， 7142 (子) n.(,)u() 解析：联立直线方程与双曲线方程 =k-1,得(1-2)2+2h-5=0, 0x2-y2=4, 当1-k2=0,即k=±1时，2kx-5=0仅有一个解，直线与双曲线有 个公共点，舍去； 5或 当1-2≠0时，令4=4k2+20(1-2)=20-162<0,即k> 5 ,无公共点 选择性必修第一册·SJ 缘上所述，成k原故答案为(，咨）u(停+） 18.解：(1)F1(-3,0),a2+6=9,解得a=±3.a>0,a=√3. 「x2y2 =1, 36 (2)设直线方程为y=-32(x+3),联立方程/ 整理 √3 y=-3(x+3), 得5-6-27=0解得=3,6=-号：4(3，-2)，8（号 9 23 5 5 重难聚焦 19.C解析：令双曲线的左焦点为F1,根据双曲线第一定义及P是双 曲线右支上的动点可得IPF,I-1PF1=2a,所以IPF1=IPF1I-2a, 所以1PAI+IPFI=PAI+1PF,I-2a=IPAI+|PF1I-4,结合图形可 得1PA1+1PF1I≥1AF,I=√[3-(-4)]2+(1-0)2=52，当且仅当 P,A,F,三点共线时取得等号，即图形中点P在P处取得最小值， 所以IPA1+IPF,I-4≥5√2-4，所以1PA1+1PF1的最小值为5√2-4. 故选C. 20.-4解析：依题意可知a=4,b=3,所以c=√a2+b=5,所以A(-5,0) 为双曲线的左焦点，设右焦点为F(5,0),所以IPB1-IPA|=IPBI (IPF1+2a)=1PB1-1PF1-8≤1BF1-8=4-8=-4.当且仅当P,F,B 三点共线时取等号.故答案为-4. 黑题应用提优 1.D解析：由双曲线的定义可得1ml<4,且m≠0，解得m∈(-4,0)U (0,4).故选D. 2.A解析：不妨设PF1=2PF2,由双曲线的定义可得PF1=4a, PF2=2a,所以4a+2a≥2c,即c≤3a,A选项中a=1,c=5,c<3a,符 合题意：B选项中a=1,c=√10，c>3a,不符合题意：C选项中a= 1,c=4,c>3a,不符合题意；D选项中a=1,c=5,c>3a,不符合题意. 3.C解析：以地标建筑的最细处所在直线为x轴，最 细处的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系如图 所示.由题意可得A(50,0),C(2522,-300).设 B(25,6,0)(o>0),双曲线的方程是-二 a22=1 a=50, (a>0,b>0),则{(25√22)2(-300)2 解得 =1, 502 a=50, 所以双曲线的方程是 x2 3y2 =1. (b=1002 50020000 将点56o代人，得经动6=1，解得0=10m,所 该地标建筑的高为300+100=400(m).故选C. 4.ACD解析：kAB=tan∠AF2x=-2,∠AF2x=∠FF,B, ∴.cos∠F1F2B=cos∠AF2x= =5,故A正确； 1√5 5 根据双曲线的定义可得|AF1I-IAF2I=2a,由IAF1I=|ABI,知 1BF21=2a=2w5,则1BF11=45,1F,F2I=2c=2W5+b2,在△BF,F2 中，由余弦定理可得4(5+6)+2080=-5，解得62=20（舍）或 2×2√5+b2×25 b2=4,故B错误； 设IAF2I=x,则IAF1I=x+2√5，在△AF1F2中，由余弦定理 黑白题034 sLA,F=as（T-∠A）=-c0s LAF,x=5 5 +6-25,可得1M,1=7则181=1a,1+1B,1 12x 兰5空放c正确： L4,Bo(r-LA,)-sLA,-5如∠A,R 25 51E21=2c=25+4=6心S△2=2·1F1P21·1AF2 ∠4，R=子x6x25。 x5=3,Sah=2·1FB1· 2 IB,m(-∠A,E)=号R,R11B那，1·m∠A,E 号×625x25-128a,5au,+5a4=3+12=15,故 D正确故选ACD. 5.C解析：由双曲线方程可得a=2,b=√3，c=√a2+b2=√7， 由IPQ12=|F1Q1·IF2Q1,可得△F1QP∽△PQF2,所以F1P⊥PF2, 故1F1P12+IPF212=1F2F1I2=4c2=28.不妨设P在第一象限，则 1FP1-1PF21=2a=4,故(1F1P1-1PF21)2=1FP12+1PF212- 2IFPIIPF21=16,21FPIIPF2I=12.(IFPI+IPF2 1)2= IFP12+IPF212+21FPIIPF21=28+12=40,FP1+IPF21= 2√/10.故选C. (第5题) (第6题) 6.B 解析：√x2+y2-2y+1-√2+y2-6x+9=√2+(y-1)7 √(x-3)2+y,设A(0,1),F(3,0),上式表示1PA1-1PF1,由于双 曲线2y 54 =1的两焦点为F'(-3,0),F(3,0),a=√5，所以 IPFI=IPF'I-2a=IPFI-25.IPAI-IPFI=IPAI-IPF1+25= -(IPF'I-IPA1)+25,IPF1-1PA1≤IAFI=√32+12=√/10，当P 在FA的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以IPAI- IPF1=-(IPFI-1PA1)+2W5的最小值为25-√10.故选B. 7.A解析：连接ON,则有ON是△PF1F2的中位线，因为ON=c,所以 PF2=2c,所以由双曲线的定义可得PF1=2c+2a. 因为b=√3a,所以c=√a2+b=2a,所以PF1=3c.在△PF1F2中，由 余孩定理可得上RP,==,所以mLR阳， 只故香儿 8(0,）解折：由于直线1过点(0,0)，点A在第一象限，放设直 线1的方程为y=x(k>0),如图，设A(x1,y1),则B(-x1,-1),H （01故m=工=，联立得(4-)2-1=0，若 y=kx, 4-2=0,即k=2,方程无解，此时直线1与双曲线无公共点，不符合 题意，舍去；若4-2≠0，即k≠2,4=4(4-k2)≥0，解得0<k<2, 故专=(0，，尚于直线顿斜角花固为[0，，则直线册级 斜角的取值范围是(0，年)故答案为(0，年)》 参考答案 9.x22」 -3=1,xe(1,+0）解析：设圆C的半径为，圆A:(x+2)2+ y2=9的圆心A(-2,0),半径1=3，圆B:(x-2)2+y2=1的圆心 B(2,0),半径r2=1.因为圆C与圆A、圆B外切，则1CA1=r+3, 1CB1=r+1,所以1CA1-1CB1=2<4=IAB1,所以点C的轨迹是以A,B 为焦点的双曲线的右支.又2c=4,2a=2,则c=2,a=1,b2=c2-a2=3, 所以其轨迹方程为子 3=1,xe(1,+∞).故答案为x2-=1,xe (1,+0). 10.8√2解析：由题意得a=2√2，由双曲线定义可知INF11- INF2I=IMF2I-IMF1I=2a.因为∠F2MN=∠F2NM,所以 INF2I=IMF21.INF2I=IMF2I=x,IMF I=x-2a,I NF I=2a+ x,故1MN1=1NF11-1MF1I=2a+x-(x-2a)=4a=8√2.故答案为 8w2. ①.子4解析：设双曲线C的焦距为2c,因为c∠R,,P=} FPLPE,所I以F,P川=IR,FlowLF5,P=2xx}=g,RPI= VFI-IPPF-号所以2a=IRPI-IRP- Γ5 又双曲线方程为C2-m2=1,所以a2=1,2=1,所以a=1,所以 m 2，解得e=5,所以G48=1日2=25，解得m,所以双 2c 重线G的方程为？-名1放答案为子-云儿 12.解：(1)，IMFI-|MF2I=2<IF,F2I,由双曲线定义可知M的轨迹 为双曲线的右支，.a=1,c=2.b2=c2-a2=3,.M的轨迹方程为 号1e. (2)设直线1的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由 (x=my+2, ,化简得(3m2-1)y2+12my+9=0,则3m2-1≠0，△= -12m 9 14m2-36(3m2-l1)=36m2+36>0,1+7n-3m2-i123m2- SaM,=21FF1·1-21=2V+2)2-42= 144m236 2√3nm-123nm11 m2+1 V(3m2-102-245, 3-2010-212+19=0m2=支m2-号 m2+1 451 .w,y2二2m2-103.m2=是. 1 4心m=±2，所以1的方程 为2xy-4=0. 13.解：(1)若b=1,则x2-y2=1,所以A2(1,0). 因为△MA2P为等腰三角形，且点P在第一象限，设P(x0,y0), x0>0, 若以IMA2I为底，则点P在IMA2I的垂直平分线上，不符合题意； 若以1PA2为底，因为点P在第一象限，必有1MPI>IMA2I,不符合 题意； 所以1PA21=MA21,如图①，即(x0-1)2+y=9.又x号-y=1,联立 以上两方程解得x0= _1+,四（负值合去），所以点P的横坐标 2 为+9 2 黑白题035 (2)如图②，由题意可知A1(-1,0),A2(1,0) 当直线1的斜率为零时，显然不符合题意： 所以设直线的方程为x=my-2,P(x1,y1),Q(x2y2),由连接0Q并 反向延长，交双曲线T于点R,可得R(-x,-y2),联立 (x=my-2, x2-二=1.消去x可得(2m2-1)-8my+6=0,其中2m2-1关0 4=64m2-24(2m2-1)=16m2+24>0,所以1+22m2-1n 8m (1,.(偶1调为成1 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1,化简 可得(m2+1)y1y2-3m(y+y2)+10=0,代入并化简可得2m2-4=0, 解得m=±√2，所以直线1的方程为x=±√2y-2,即x±√2y+2=0. 压轴挑战 ACD解析：设A(x0,yo),D(,y),则B(-o,-yo),.kA·kB= 262-b2 y-yo ytyo_y2-yo a2* a2号*62 62 08-—a1 又2c=4,.c2=a2+b2=4,.a2=b2=2,.a=b=√2，.双曲线C的方程 为号号1 对于A,若1斜率不存在，则1：x=2与双曲线C右支有两个交点 (2,±W2),符合题意；若l斜率存在，如图①，设：y=k(x-2),联立 1x2y2 22=1,得（1-2)2+42x-42-2=0,设1与双曲线C右支的两个 y=k(x-2), 交点坐标分别为()，(，2)，由韦达定理得1+1-2 -4k2 [4=16k4-4(1-k2)(-4h2-2)>0, -4k2 -4k2-2 12,则 11->0, 解得k2>1,即k>1或k< 12= T3π -1直线1的倾斜角的取值范围为(4，车)A正确： Q ② 对于B,如图②，由双曲线定义知1PF1I-1PF21=21PF21-IPF21= IPF2 I=2a=22,..IPFI=42, ∴.cos∠F1PF2= F,PE,-E2216-子B错误 2IPF,I·1PF21 32 对于C,设N(s,t)(1s1≥2)，则1N012=2+2.:F1(-2,0), F2(2,0),.1NF11=√(s+2)2+2,1NF21=√(s-2)2+,.1NF1· 1Nf21=√(s2+2+4s+4)(32+2-4s+4)=V(52+2+4)2-16s2. s2-2=t2,.1N012=2s2-2,1NF11·1NF21=√/(2s2+2)2-16s2= √44-82+4=√4(s2-1)7=2s2-2,1N012=1NF11·1NF21,即 INOI INF2I INF11NO,C正确； 对于D,如图③，设△MF1F2的内切圆I1与MF1,MF2,F1F2分别相切 于点E,H,G,则IME1=IMHI,IEF1I=1GF1I,IHF2I=IGF2I, .IMFI-IMF2I =IEFI-IHF2I=I GFI-I GF2 I=2a.GF1+ 1GF2l=2c,.1GF1l=c+a,1GF2l=c-a,即G(a,0),.1在直线x=a 上，同理可知△QF,F2的内切圆圆心L2在直线x=a上. 1F2平分∠MF2F1,2F2平分∠QF2F1,LMF2F1+∠QF2F1=T, 选择性必修第一册·SJ ∠1P4=2,即1212F又1h上x轴，1山4G1·1hG1= 1GF212=(c-a)2=(2-2)2=6-42,即r1r2=6-42,D正确. M ③ 故选ACD 3.2.2双曲线的几何性质 白题 基础过关 .BGD解析：双曲线C:-号=1的实半轴长a=,虚半箱长5 半焦距c=√a2+b2=2,双曲线C的实半轴长为1，A不正确：双曲线 C的虚轴长为2W5,B正确；双曲线C的离心率e=C=2,C正确；双 a 曲线C的渐近线方程为y=±W3x,D正确.故选BCD. :由椭圆6+)=1，知左、右顶点分别为(-4,0)与( 由16-9=7，知左、右焦点分别为(-√万，0)与(7,0)，设双曲线方程 为*2y2 。P=1,则a=7,√a2+=4,解得6=3，所以可得2上 79 1.故选B. 3C解折：因为双面线号卡=1关于横轴，制轴，原点对称，而点 (2,1)关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为(2，-1)，(-2,1)， （-2,-1),所以只有选项C正确.故选C 4.D解析：双曲线方程可化为子-二=1，其中m<0,因为实轴长是 1 m 虚轴长的2倍，故1=2× √石故4故选D 5.B解析：设P(0,0),且始-设=1，即场=6+26，又直线1过原 点，且双曲线关于坐标原点对称，可得A(3,6)与B关于坐标原点对 称，则B(-3,-6),所以p1=(3-0,6-0),P(-3-0,-6-y0),即 成，防=6-94-6=子-9又6eR,即时成.成-三8-9的最 3 小值为-9.故选B. 6.y22 55=】解析：因为双曲线为等轴双曲线，所以设双曲线方程为 x2-y2=入，入≠0，将点P(2,3)代人得4-9=入，解得入=-5，所以双曲 55=1放答案为上x2 线方程为上2 551 7.BD解析：对于选项A,由号 3一32=1得新近线方程为y=±3x,所以 选项A错误：对于选项B,由子-。1得渐近线方程为y=±3x,所 9 以选项B正确：对于选项c,由号1得清近线方程为y中 所以选项C结误，对于击项D.由号：=1得渐近线方混为y=。 所以选项D正确故选BD. 8.B解析：由已知双曲线的焦距2c=6,即c=3,所以32=m+1,解 √2 、得m=8,即双曲线方程为？-y2=1,则其渐近线方程为y=±x.故 选B. g.D解析：因为双曲线C:上：1(m>0)的一条渐近线的方程为 4 m 黑白题036