第4章 指数与对数章末检测&高考演练-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 第4章 黑题 章末提升 @限时：120分钟 □选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.*(2026·江苏淮安高一期中)10g218- 41og43= () A.1 B.0 C.-1og23 D.log23 2.*(2026·江苏盐城高一月考)已知xl0g32= 1,则2*+2= () 4岛 10 C.6 D.9 3.*★(2026·江苏南京高一月考)化简√-a· a(a<0)的结果为 A.-a B.-(-a) C.(-a) D.-a8 4.*★(2026·江苏苏州高一月考)已知某种垃 圾的分解率y与时间t(单位：月)近似满足关 系y=a·b(其中a,beR),经过24个月，这 种垃圾的分解率为20%，经过48个月，这种 垃圾的分解率为40%，则这种垃圾完全分解 大约需要经过()个月.（参考数据：lg2≈ 0.3) () A.80 B.90 C.100 D.120 5.**(2026·江苏徐州高一期中)若lna+lnb= 1,则1og2(4“·8)的最小值为 () A.1+log26e B.2√6e C.√6e D.6e 6.★*★(2026·江苏泰州中学高一期中)若4“= 6=12,则下列各式的值等于1的是（) 11 A. B.11 a2b 2a b +2 2.1 C.- D. a b a b 44 章末检测 ☑满分：150分 7.禁(2026·江苏扬州高一月考)已知正实数 a,b满足2+log2a=1+log3b=log6(12a+12b), 紫Q约值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 8.禁(2026·广西南宁高三月考)已知2a= 9g+3x6”,3b=2x40-90,则9- b A.7-3 B.7+3 2 4 C.7+3 D.7-3 4 目选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分 9.*(2026·江苏常州高一月考)下列各式化 简正确的是 ( A.√(-3)2=3 B.Ig 3+lg 7=1 C.√2√22=2 111 D.log 64 log46 10.**(2026·广东广州高一期中)已知实数 0,6满足等式（兮）°=（任广，则下列可能成 立的关系式为 A.O<a<b B.0<b<a C.a<b<0 D.a=b 11.禁(2026·江苏南通高三月考)设正数a, b满足ahb=2,a血a·bnb=9,则 () A.In a.In b=In 2 B.6a=2 C.In a+ln b=In 6 D.(ab)in(ab)=36 目填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.*★(2026·江苏南通启东中学高一月考) 1 3 63 g2)+盟子+1og2+…+o8 13.**（2026·江苏盐城高一期中)已知 (2)=3,l0g43=y,则2+2= 14.接(2026·江苏南京高一期中)已知1ga+b= 3,a=100,则a82.b= 四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.*(13分)(2026·江苏盐城高一期中)化 简求值： ()(）+(3+1)3-1)+-27； (2)ln6-1g-2g2+3 第4章指数与对数黑白题学霸 16.*(15分)(2026·江苏无锡高一期中) (1)已知m°=20,1ogm2=b,且a-2b=1,求实 数m的值； 2)巴知+4=5，求a-a的值 17.**(15分)已知3a=5,b=10g92,c=lg2. （1)求)的值： (2)用a,b表示log3√30. 45 学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 18.(17分)(2026·湖南衡阳高一期中) (1)当a=1时，解方程log(+a）=logx; (2)若关于x的方程log:(生+a+log2=0 的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值. 46 19.(17分)(2026·江苏南京高一月考)现 定义一种新运算“①”：对于任意实数x,y, 都有x①y=log(a+a)(a>0且a≠1). (1)当a=2时，计算3①3； (2)证明：Hx,y,z∈R,都有(x①y)①z=x① （y⊕z); (3)当a=2时，若x①y=x+y,x⊕y⊕z=x+y+ z,求2的最大值 第4章 黑题 真题实战 命题点1指数与对数运算 1.(全国高考)设命题甲为1gx2=0,命题乙 为x=1.那么 () A.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 2.*★（天津高考）化简(2og43+l0g3)·(1og32+ 10gg2)= () A.1 B.S C.2 D.S 3.(浙江高考)已知2=5,1g3=b,则4-30= () A.25 B.5 c D. 4.*（全国高考)设1og34·log48·log8m= log416,那么m等于 () 9 A.2 B.9 C.18 D.27 5.*(浙江高考)已知x,y为正实数，则 ( A.2gx+gy=2g*+28yB.28(x+y)=28*·2gy C.2gx·gy=28*+2gyD.21g()=2g￥.2gy 6.*(四川高考)已知b>0,log5b=a,lgb=c, 5=10,则下列等式一定成立的是（) A.d=ac B.a=cd C.c=ad D.d=a+c 7.(安徽高考)(81 161-4 5 4 '+log4+lg 8.(重庆高考)若x>0,则(2x+3)(2x- 3)-4x2(x-x2)= 第4章指数与对数黑白题学霸 高考演练 限 9.**（2024·全国甲理)E 1 1 且 logsa log 4 a= 命题点2指数与对数的实际应用 10.(2024·北京)生物丰富度指数d=S-1 In N 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分 别表示河流中的生物种类数与生物个体总 数生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某 河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物 个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1 提高到3.15，则 () A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.N2=N D.N=N 11.**(北京高考)根据有关资料，围棋状态 空间复杂度的上限M约为3361，而可观测 宇宙中普通物质的原子总数N约为108， M 则下列各数中与最接近的是（参考数据： 1g3≈0.48) A.103B.103 C.1073 D.1093 12.**(2025·北京)一定条件下，某人工智能 大语言模型训练N个单位的数据量所需要 的时间T=log2N(单位：h),其中k为常数. 在此条件下，已知训练数据量N从10°个单 位增加到1.024×10°个单位时，训练时间增 加20h;当训练数据量N从1.024×10个单 位增加到4.096×10°个单位时，训练时间增 加 A.2h B C.20h D 47得3<a<4或4<a<5,所以实数a的取值范围是(3,4)U(4,5). 2.AB解析：对于A,若1ogx=3,所以x=(2)’=22,故A正确； 对于，右e6=子则：-6-2，所以2)中：20 64,故B正确； 对于c,因为%)-2即e可得24，即 ±2，故C错误； 对于D,例如a=2,b=-2,则a2=b2=4,可得1ogb2=1,符合题意， 但a=-b,故D错误 3C解折：依题意有a6”=,即6=分，两边取对数得-8贴= h了h2,所以6-，得到y=4e,当上方绍沙是开始时的 名有w合以防别成对装和 8t=8 -3ln2,解得t=24. 4.BCD解析：对于C,依题意，-2loga+logb=0,即logb=loga2,则 b=a2且a,b>0,故C正确； 对于A,（2)2=2·2=2≠2，故A错误； 对于B,a·eaa=a2=b,故B正确； 对于D,由log2a=logsab得3log2a=log2ab,即log2a3=log2ab,所以 b=a2,故D正确. 5.B解析：根据题意2°=3,3°=4，则a=lg23,b=log4,则有ab= 6s,31g4竖3X5；-2,则e=lg(aw)=og2=号故akc=1 lg 2 lg 3 6.B解析：由题知，a>0,b>0,a≠1，b≠1，a≠b,则log b+loga= 属吧6号可得2政2所以6=0设6=。 若b=a2,又a=b,则a°=(a2)°=a2“,所以a2=2a,则a=2或a=0 (舍去)，b=22=4,ab=8; 若6=a,又d=6,则。-(a）=a,所以a=号则。=2 或a=0(舍去)，所以a=4,b=a=2,ab=8,综上，ab=8. 重难点拔根据对数的换底公式可以得到log.b-1ogd 7.2解析：令3=4y=6=k,则x=logk,y=lg4k,z=logk,则1+ 子-e4+2e3=e4+he=g6,得到a2=() y 2）-we360.02 lg 6 lg k 8h6解析：因为e=。所以ne心=h。,即x=lh6-n,所以+ In x=In 6. 9.解：(1)原式=(1og63)2+lg63×l0g62+log612=(1og63)(1og63+ log2)+log12=log63+loge12=log636=l0g662=2. (2)由题意得，s,10=6,甲g3=片，所以g45-冬的 1g12 2 2g3+lg5_2g3+1-g2_6 +1-a2+b-ab 2182+ig92g2*g32a+6 1=2a6+ ©压轴挑战 10.e解析：由a3ah9=27,得ah9=27,即ah7=27,则ehh”= e7,因此lna7=ln27,即ln27·lna=n27,则na=1,所以a= e. 第4章章末检测 黑题 章末提升 1.A解析：原式=log218-41og23=l0g218-2log23=log218-log232= log,g. 2.B解析：因为xlog2=1,所以x=l0g23,所以2+2=2+ 1 2203*写9 3.B解析：-a·a=√a·(--a)=-(-a)(-a)= -(-a)=-(-a). 4.A解析：由某种垃圾的分解率y与时间t(月)近似满足关系y=a· b,因为经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，经过48个月，这 种垃圾的分解率为40%，可得口1a、”解得a三0，b=2,所 (a·b8=0.4,1 以y=0·(2),令y=1,可得0·(2)=1，即(2)1=10，两 边取对数g(2)=-g10,可得4g2=1,解得：=G2380 2424 5.B解析：由lna+lnb=1,得a>0,b>0且ab=e,所以log2(4· 8)=log4°+log8=2a+3b≥2√2a·35=26e.当且仅当2a=3b, √6e a=- 即{ 时等号成立，所以e,(4·8)的最小值为26c 6=V6e 3 6.B解析：因为4°=6=12，所以a=1og12,b=lbg12,所以1- a ke4,言-lg6,所以之-ea4he6-g24hs6=1 7.A解析：依题意，log4a=log3b=log6(12a+12b),则log6(12a+ log64a logs36 logs4a+logs36 12b)= log62 logs3 log62+log63 -=log612ab,因此12a+12b= 化为同底数的对数式 12ab,a+6=b,所以8a+6）-L 1g(ab) 8.B解析：对于2a=9+3×60,令x=log4a,则4=a,所以9s= 9=32,6=6=2·3,即2·4=32+3·2·3，所以2241= 3+32,3,两边同除护得2（仔）广1+3（仔厂，令 (号厂，整理得2-3u-1=0,所以u=3(舍)或u 4 3即(广 对于36=2×4-9，令y=log6b,则6=b,即3·6=2×4-9'，所 以323”=22-3，两边同除3产得3（号广=2（仔）户 1,令=（号厂整理得2-3-1=0，所以3（金）或 (号)广-（号.因比故行若”六 参考答案黑白题学霸31 (层广 9.AC解析：对于A,√(-3)7=1-31=3，故A正确； 对于B,lg3+lg7=lg21≠1，故B错误； 对于C,因为2=2,22=2·2=2，V22=(2）=2, 2w2n=222=22,所以W2W2万=(2)产=22，故c正确： 对于n,因为配6-la8=k,2-名w2=分d 2'1ogo44 log464= e-经e2a所a分9=号n银 10B0解标：因为（兮广-（任广-（位）广所以a=2 对于A和B,当a>0,b>0时，a=2b,只能0<b<a,故A错误，B正 确； 对于C,当a<0,b<0时，a=2b,只能a<b<0,故C正确； 对于D,当a=6时，且a=26,只能a=0,等式（分）广=（任）川 成立，故D正确。 11.ABD解析：对ahb=2两边同时取自然对数可得In a=ln2,根 据对数运算法则可得lna·lnb=ln2,故A正确； 由A中lna·lnb=ln2,结合对数的运算法则可得lnba=ln2, 所以b血“=2，故B正确； 对aa·bb=9两边同时取自然对数可得ln(ana·bh)=ln9, 根据对数运算法则可得lnaa+nbab=ln9,即lna·lna+lnb· In 6=In 9. 所以(lna+lnb)2=lna·lna+lnb·lnb+2lna·lnb=ln9+ 2ln2=ln36,所以na+lnb=±√n36,故C错误； 由(lna+lnb)2=ln36可得[ln(ab)]2=ln36,即ln(ab)·ln(ab)= n36,根据对数运算法则可得ln(ab)()=ln36,即(ab)a(a= 36,故D正确. 2-6解折：s合+he子+e子++ls8-e(分×号× 2 1.2 子x…*8器）-e4l2*=-6 3..63 13.27解析：易知4=2=3，(2)=2云=3，所以2=9，所以2*= 2*×2=27. 14.4解析：由。=10，可得ga=lg100=2,所以6=ga代入 2 ga+b=3中，可得Eatlga 2 =3,解得lga=1或lga=2,所以a= 10,b=2或a=100,b=1. 当a=10,b=2时，a82.b=2×2=4; 当a=100,b=1时，a2·b=4×1=4. 综上，a2·b=4. 区0式=（传）产-=+可-（传》广2 5 (2h6-3-2243w=分(e2g2r）+2=e(3× 16.解：(1)由m°=20，则a=logm20,则a-2b=logm20-21ogm2= 2学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 95=1,故a=5 (2)a+a“=(a+a)(a2-a·a*+a2)=(a+a)[(a-a)2+ 1],则4+aa +0-(a-a)2+1=5,则(a-a)2=4,故a-=t2 17.解：(1)因为3"=5，所以a=lg5,而6=lgv2=7g,2,1-c=lg5, 于是c、-2g2·lg5 b(1-c)lg5·log32 2l1og52·log25=2. (2)leg,V30=2g(5x6)=2(og,5+lg6)=2Ilg5+l6g,(2x )(bg.5sbop.2clop.3)(1). 1&解()当a1时.（任1小=所以1=且0， 所10解15成5。 (2)a(a)rg=0,即(n)2=1,所以a2t-1=0, 当a=0时，则x-1=0,解得x=1,经过验证此时满足题意； 当u≠0时，①若4=1+4u=0,则a=-,此时解得x=2.经过验 证满足题意； ②若△=1+4a>0时，方程ax2+x-1=0有两不等实根，设为x1,x2, 显然x1≠0，x2≠0， 由am2+-1=0,得(+)=l,因为0，所以a+>0,即a+ 名0a0,所以名高都满足g(任n)+e:0,所以 此时不满足题意综上可得a=0或a=日 19.(1)解：当a=2时，3①3=1og2(23+23)=log216=log224=4. (2)证明：因为(x④y)④z=log(a+a)①z=log.(a,a*w+a')= log (a*+a'+a), 而x④(y④z)=x④[log.(a'+a)]=log.(a+a,a4a)=log.(a+ a+a), 所以(x④y)①z=x④(y⊕z) (3)解：因为log2(2*+2')=x+y,所以2=2+2'， 又由(2)知(x①y)①z=log(a+a'+a),所以log2(2+2'+2）=x+ y+z,得到2=2+2”+2， 质以2m+2=2=2*·2放2了 又2=2+2≥2√2,2=2√2=2+1，当且仅当2=2时 取等号，所以2宁=2,2≥4，令1=2≥4，所以2石=1+号 t-1 ≤1名子当2”=4即y2时取等号。 综上，当x=y=1时，2取到最大值，最大值为 第4章高考演练 黑题 真题实战 1.B解析：若命题甲为真，则x2=1,故x=±1， x=1→x=±1，但x=±1羚x=1,故由命题乙可以推出命题甲，但由 命题甲推不出命题乙，所以甲是乙的必要条件，但不是乙的充分 条件 2c解析：原式=(2x宁3+号g3）·(2+之e,2） 手g3xs2=2 4 3C解折：因为2r=5,6=g3=3,即2=3，所以4 4% (2)25225 (26)232=91 4B解折：e4e8怎含孕格智-瓷号-2， ∴.lgm=2lg3=lg9,∴.m=9. 5.D解析：对于A,2gy=2·27≠2+26y,故A错误； 对于B,2·2y=2y=2()≠2()，故B错误； 对于C,2sy=(2)61≠2+27，故C错误； 对于D,2(=2y=2*·2y,故D正确。 6.B解析：lg,b=a,l36=c,相除得3,6-a,即1g,10=9 Ig b c 又5=10，所以1og10=d,所以d=a,即cd=a c 7受解桥：原式=[（仔）广门'+h(子×号)名e1智 8.-23解析：原式=(2x)2-(3)2-4x立·+4x立·x立=42 3-4x1+4x7=4-27=-23. 第5章函 5.1函数的概念和图象 白题 基础过关 1.D解析：函数的定义域和值域也可以是有限集，故A错误 对于定义域中的每一个数x,在值域中都有唯一的数y和它对应， 反之则不然，故B错误，D正确，C错误 2.D解析：对于ABC,图象中均存在一个x与多个y对应的情况，故 ABC都不满足函数关系. 对于D,对于定义域内任意x都有且只有一个y与其相对应，故D 是函数关系. 3.AD解析：对于A,因为y=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以对于A中 任何一个元素，在集合B中都有相对应的一个元素，即y是x的函 数，故A正确； 对于B,因为1∈A,但)B,即y不是x的函数，故B错误； 对于C,当x=4时，由y2=4,解得y=±2，即y不是x的函数，故C 错误； 对于D,当集合A中任取一个元素时，集合B中都有唯一元素1与 之对应，即y是x的函数，故D正确. 4.0或1解析：根据函数定义知，对于任意一个x,最多只有一个y 值与之相对应，所以函数y=(x)的图象与直线x=4只有一个公 共点或没有公共点，所以函数y=代x)的图象与直线x=4的交点 的个数为0个或1个. SA解析：要使函数有意义，则x240解得x≥1，敌函数定义蚁 为[1，+∞) ,则210， 6.C解析：对于函数x)=(2x-1)°， 解得x<3且x≠ (3-x>0, 通以a收。之a=整理得(s产 964解析：由题11三31】 5ea-6=0,解得1ga=-1或16ga=6,a=号或64又a>1,所以 a=64 10D解折：南题童得21，是-315则2山=31a从，即 S-1 2lnN,=3nN2,所以N=W. LD解标：设为两边取对数，： 100=1g361 3361 1g10°=361×1g3-80≈93,28，所以x=109,即M最接近10 N 12.B解析：设当N取106个单位、1.024×10个单位、4.096×10个 单位时所需时间分别为T1,T2,T3,由题意，T1=log210= 6klog210, T2=Hog2(1.024×10°)=1og2(2×10)=k(10+6log210), T3=k1og2(4.096×10°)=1og2(22×10)=k(12+6log210), 因为T2-T,=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到4.096×10°个单 位时，训练时间增加4h. 收概念与性质 所以数)-②的定义城为（号）U(任3） 1 3-x 方法总结求具体函数的定义域： ①含有分式的函数：分母不为0：②含有偶次根式的函数：被开方 数≥0：③含有零指数幂的函数：底数不为0. 7.A解析：由a-x≥0可得x≤a,即f(x)的定义域为(-∞，a],所以 a=1,则实数a的取值集合为{1}. 8,-2万，2)解析：22的定义域为R,则+ar+2恒不 为零，即x2+ax+2=0没有实数根，所以△=a2-8<0,解得-2√2<a< 22,所以实数a的取值范围为(-22,22). 9.D解析：f(-2)=1-(-2)3=9. 10.B解析：因为xe[2,6],所以x-1e[1,5],所以2 [号，2小，即)的值坡为[号，2] 11.AB解析：画出y=x2的图象如下图所示，由x2=4解得x=±2， f(x)=x2的图象是函数y=x2的图象的一部分，依题意，(x)=x2 的值域为[0,4]，由图可知f(x)的定义域可以是[0,2]，[-2,1]. -2-1012x 12.2解析：由fx)=2x+1,得f(2m-1)=2(2m-1)+1=4m-1=7,解 得m=2. 参考答案黑白题学霸t33