4.2 对数-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（苏教版）

学霸黑白题数学·必修第一册·S小 4.2 4.2.1对数的概念日 白题 基础过关 题组1对数的概念及性质 1.★给出下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫作常用对数； ④以e为底的对数叫作自然对数： 其中正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.*多选(2026·福建三明高一期中)下列 指数式与对数式互化正确的一组是（) A.10°=1与lg1=0 B27i=写与gg月 11 C.log39=2与9i=3 D.log5=1与51=5 3.*有以下四个结论：①lg(lg10)=0; ②ln(1ne)=0;③若10=lgx,则x=10;④若 e=lnx,则x=e2,其中正确的是 () A.①②B.②④C.①③D.③④ 4.*★（2026·江苏淮安高一期中)如果 1og2[log3(log5x)]=0,那么x= 题组2对数恒等式 5.*设51s2x-10=25,则x的值等于（) A.10 B.13 C.100 D.±1001 6.*★(2025·江苏南通高一月考)计算22+2= （) A.7 B.9 C.10 D.20 7.*(2026·重庆两江新区高一月考)关于x 的方程3*=425的解为x= 42 对数 .2.2对数的运算性质 限时25min 题组3对数的运算性质 8.*(2026·江苏盐城中学高一月考)l0g2√2+ lg 2+lg 5= () 3 A.-1 0.2 D.2 9.*多选（2026·安徽合肥一中高一月考) 若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则下列结 论中，正确的是 () A.lg(a-1)+lg(b-1)=0 C.lg(a-1)+lg(b-1)=1 D.k( 10.*（2026·天津一中高一月考)计算 21og,12-log2= 题组4对数的换底公式 11.*(2026·江苏南通高一月考)10g9· log35= () 1 A.4 B.2 C.2 D.4 12.*多选(2025·福建厦门高一期中)下列 数值和log23相等的是 () A.log 6 B. 1 og32 c D.2log3 13.*★(2026·江苏徐州高一期中)若10g23= a,则1og184= .(用a表示)》 易错聚焦Ⅲ 、视频讲 易错点忽略底数或真数的范围限制 14.*若1gx+lg（x+3)=1,则x的值 为 黑题能力提升 1.*(2026·江苏盐城高一期中)在对数式 b=log(a-3)(5-a)中，实数a的取值范围是 () A.(-∞，3)U(5,+∞)B.(3,5) C.(3,4) D.(3,4)U(4,5) 2.*多选(2026·江苏扬州中学高一月考) 下列命题正确的是 () A.若1og2x=3,则x=2√2 1 B.若ogx163 ,则x=64 C.若-4则=4 D.若1ogb2=1,则a=b 3.*(2026·江苏南通高一月考)沙漏也叫作 沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏 (如图)上方装有acm3的细沙，细沙从中间 小孔由上方慢慢漏下，经过tmin时剩余的细 沙量为ycm3,且y=a·e"(b为常数)，经过 8min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细 沙是开始时的g,需经过的时间为() A.8 min B.16 min C.24 min D.26 min 4.**多选(2026·江苏徐州高一期末)已知 2g+0g,b=0,则下列等式一定正确的是 A.(2)2=2 B.a·ema=b C.b=a2 D.logza=logsab 第4章指数与对数黑白题学霸 限时30min|答案P30 5.整(2026·江苏苏州高一月考)若2=3， 3=4,4°=ab,则abc= () 1 A.2 B.1 C.2 D.4 6.(2026·江苏常州高一期中)若10gb+ logia 2,a=b,则ab= 5 () A.6 B.8 C.9 D.10 7.(2026·广东华南师大附中高一月考)已 知x,y,z均为正实数，若3”=4y=6,则 (x+2y）的值为 XY 8.若e=6,则x+nx= 9.*苏教教材变式化简求值： (1)(1-log62)2+log63×log62+log612; (2)若lg2=a,3=10,用a,b表示log1245. 压轴挑战11 视频讲解 10.禁若实数a满足a>0且a3am9=27, 则a= 43对于D,由a+a=（a）'+(a）'=(a+a)(a-1+a) =√5×2=2W5, 由B知on-5,所以e+如25-2，散D正确 a+a5 5.C解析：2=4，得2=(22)=22：=22，得2=22m1,得m= 化为同底数的指数式 2m+1,解得m=-1. 6D解析：由题意，4x8=22x22-22-22+3 a61, 3a+2b= 2+8)3a+2)=6+6t名=12*2/ 46 9a 4b 9a 12+2x6=24,当且仅当a6 ”即=4时，等号成立 23 (b=6 -=1, La b 解析：由3”·3=33，得3”-=33，所以a-2b=-3,故2= 1.8 2-8 81解析：原式=×（仔）广x(12)=2x(仔)）广x12=× 亨1 (x12)）=x(2)=72=1 2解原武=号x(广-11 2)原式=16(a)a)-466中 4(a2b')6(a26) 因为a=27,6=16,所以原式=4a6=4x3x了=6 (1(e1)(1) 10.解：(1)原式= ++ x3+1 (1)(-1）专 -=x°-1+x-x3+1-x’-x’=-x x-1 a6-a6a2+a2-2 (2)原式=(a+a+1)(a-a)a-a1 (a2)-(a23+(a-a)2_(a2-a2)(a+1+a）+(a- (a+a4+1)(a-a1)a-a1(a4+a4+1)(a-a1） a1)=(a+a1)+(a-al)=2a. ◆压轴桃战 11.证明：因为2·3=2°·3=6，故2-1·3-1=1,2-1·341=1，所以 2-1=3*,21=3,所以2-101=311)，2110=3110，故 2a-11-0=2-101-),2a-1d-0=26-10e-l） 4.2对数 4.2.1对数的概念 +4.2.2对数的运算性质 白题 基础过关 1.C解析：零和负数没有对数，故①正确； (-1)2=1,不能写成对数式，故②错误； 0学霸黑白题数学·必修第一册·SJ 以10为底的对数叫作常用对数，故③正确； 以e为底的对数叫作自然对数，故④正确， 2.ABD解析：对于A,10°=1台lg1=0,故A正确； 对于B,2lg写写，故B正确： 对于C,lg9=2-32=9,故C错误； 对于D,10g5=1台51=5，D正确 3.A解析：由对数定义可知，lg(1g10)=lg1=0,故①正确； ln(lne)=ln1=0,故②正确； 10=1gx→x=101°，故③错误； e=lnx→x=e°，故④错误 4.125 解析：由log2[log3(1ogx)]=0,得1og(1g5x)=1,进而得 1og5x=3,解得x=53=125. 5.B解析：由对数的性质，得521)=2x-1=25,所以x=13. 6.D解析：22+1=22·21=4×5=20. 7.1og25解析：由题意3=4=22s=2s25=25,所以x=log25. 8.C解析：根据对数运算性质可知sa2=l0g,2产=，lg2+lg5= g10=1,所以og22+lg2+lg5=2 3 9.AB解析：因为a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,所以lg(a+b)= lgab,所以a+b=ab, 所以lg(a-1)+lg(b-1)=lg(a-1)(b-1)=lg[ab-(a+b)+1]= lg1=0,故A正确，C错误； (合）-⅓地61-0，故B正确，D结误 0,,解析)g,2-g2=lg12-0g,2=1g号 =log/3= N 业c爆折：e9%5号北治2 12.BC解析：对于A,hg6-e,（2X3》_1+s3+g3,放A错误： 1og24 2 1 1 对于B1og,21g2 log23,故B正确； 1og23 对于C,由对数换底公式可得1g3=2,故C正确， 对于D,2log53=2×- og3-2×og:3=4log,3≠og3,故D错误 =2X og22 1 2 2 解析：因为log23=a,则log1s4= 1og24 2 13.2a+1 0g2181og2(32×2) 2 2 2log23+12a+1 方法总结用几个对数式来表示另一个对数式时，首先利用换底公 式统一底数，再利用对数的运算性质配凑得出结果 。易错聚焦 14.2解析：由1g[x(x+3)]=1得x2+3x-10=0,解得x=2或x=-5. 经检验，当x=-5时，对数无意义，舍去，因而x的值为2 易错提醒对于对数式log.N,需满足a>0,a≠1，W>0. 黑题 能力提升 1a-3>0, 1.D解析：要使对数式b=loga-3)(5-a)有意义，需满足a-3≠1，解 5-a>0, 得3<a<4或4<a<5,所以实数a的取值范围是(3,4)U(4,5). 2.AB解析：对于A,若1ogx=3,所以x=(2)’=22,故A正确； 对于，右e6=子则：-6-2，所以2)中：20 64,故B正确； 对于c,因为%)-2即e可得24，即 ±2，故C错误； 对于D,例如a=2,b=-2,则a2=b2=4,可得1ogb2=1,符合题意， 但a=-b,故D错误 3C解折：依题意有a6”=,即6=分，两边取对数得-8贴= h了h2,所以6-，得到y=4e,当上方绍沙是开始时的 名有w合以防别成对装和 8t=8 -3ln2,解得t=24. 4.BCD解析：对于C,依题意，-2loga+logb=0,即logb=loga2,则 b=a2且a,b>0,故C正确； 对于A,（2)2=2·2=2≠2，故A错误； 对于B,a·eaa=a2=b,故B正确； 对于D,由log2a=logsab得3log2a=log2ab,即log2a3=log2ab,所以 b=a2,故D正确. 5.B解析：根据题意2°=3,3°=4，则a=lg23,b=log4,则有ab= 6s,31g4竖3X5；-2,则e=lg(aw)=og2=号故akc=1 lg 2 lg 3 6.B解析：由题知，a>0,b>0,a≠1，b≠1，a≠b,则log b+loga= 属吧6号可得2政2所以6=0设6=。 若b=a2,又a=b,则a°=(a2)°=a2“,所以a2=2a,则a=2或a=0 (舍去)，b=22=4,ab=8; 若6=a,又d=6,则。-(a）=a,所以a=号则。=2 或a=0(舍去)，所以a=4,b=a=2,ab=8,综上，ab=8. 重难点拔根据对数的换底公式可以得到log.b-1ogd 7.2解析：令3=4y=6=k,则x=logk,y=lg4k,z=logk,则1+ 子-e4+2e3=e4+he=g6,得到a2=() y 2）-we360.02 lg 6 lg k 8h6解析：因为e=。所以ne心=h。,即x=lh6-n,所以+ In x=In 6. 9.解：(1)原式=(1og63)2+lg63×l0g62+log612=(1og63)(1og63+ log2)+log12=log63+loge12=log636=l0g662=2. (2)由题意得，s,10=6,甲g3=片，所以g45-冬的 1g12 2 2g3+lg5_2g3+1-g2_6 +1-a2+b-ab 2182+ig92g2*g32a+6 1=2a6+ ©压轴挑战 10.e解析：由a3ah9=27,得ah9=27,即ah7=27,则ehh”= e7,因此lna7=ln27,即ln27·lna=n27,则na=1,所以a= e. 第4章章末检测 黑题 章末提升 1.A解析：原式=log218-41og23=l0g218-2log23=log218-log232= log,g. 2.B解析：因为xlog2=1,所以x=l0g23,所以2+2=2+ 1 2203*写9 3.B解析：-a·a=√a·(--a)=-(-a)(-a)= -(-a)=-(-a). 4.A解析：由某种垃圾的分解率y与时间t(月)近似满足关系y=a· b,因为经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，经过48个月，这 种垃圾的分解率为40%，可得口1a、”解得a三0，b=2,所 (a·b8=0.4,1 以y=0·(2),令y=1,可得0·(2)=1，即(2)1=10，两 边取对数g(2)=-g10,可得4g2=1,解得：=G2380 2424 5.B解析：由lna+lnb=1,得a>0,b>0且ab=e,所以log2(4· 8)=log4°+log8=2a+3b≥2√2a·35=26e.当且仅当2a=3b, √6e a=- 即{ 时等号成立，所以e,(4·8)的最小值为26c 6=V6e 3 6.B解析：因为4°=6=12，所以a=1og12,b=lbg12,所以1- a ke4,言-lg6,所以之-ea4he6-g24hs6=1 7.A解析：依题意，log4a=log3b=log6(12a+12b),则log6(12a+ log64a logs36 logs4a+logs36 12b)= log62 logs3 log62+log63 -=log612ab,因此12a+12b= 化为同底数的对数式 12ab,a+6=b,所以8a+6）-L 1g(ab) 8.B解析：对于2a=9+3×60,令x=log4a,则4=a,所以9s= 9=32,6=6=2·3,即2·4=32+3·2·3，所以2241= 3+32,3,两边同除护得2（仔）广1+3（仔厂，令 (号厂，整理得2-3u-1=0,所以u=3(舍)或u 4 3即(广 对于36=2×4-9，令y=log6b,则6=b,即3·6=2×4-9'，所 以323”=22-3，两边同除3产得3（号广=2（仔）户 1,令=（号厂整理得2-3-1=0，所以3（金）或 (号)广-（号.因比故行若”六 参考答案黑白题学霸31